专题2.6 对数及对数函数(原卷版)

第讲对及数数【套路籍】一．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果(>0，≠1)的b次幂等于N，即＝N，那么称b是以a为N对数，记作＝log，其中，叫做对的底数叫真数．②底数的对数是1，即＝1,1的数是0，即log1＝0.a(2)几种常见对数对数形式一般对数常用对数自然对数4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质

特点底数为aa>0且≠1)底数为10底数为e

记法logNlgNlnN①a

logN

＝>0且≠1，；②log＝(>0且≠1)(2)对数的重要公式logN①换底公式：log＝(均于零且不等于1，>0)logb1②log＝(，均于零且不等于1)log(3)对数的运算法则如果a且≠1>0，>0那么①log()＋log；aaM②log＝logM；a③log＝log(∈R)a④

logMam

n

n＝logM.ma二．对数函数的定义

11b3𝑎𝑎x11b3𝑎𝑎x1.形如＝logx(>0，≠1)函数叫作对数函，其中x是自变量，函数的定义域(，＋∞)．2．对数函数的图象与性质>10<a图象定义域：(0，＋∞)性质

值域：R过点(1,0)，即当＝1，y＝0在0，＋∞)上是单调增函数

在0，上是单调减函数3.反函数指数函数y＝(>0且a≠1)对数函数＝logx(>0且≠1)为反函数，它们的图象关于直线＝对称．【套路修】考一对的算【例1）lg2·lg250＋lg5·lg＝.（2若3=5=225，+=。𝑎𝑏（4若，，𝑎

。【套路总结】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合将数式化为同底数的和、差数算然逆用对数的运算性质转化为同底对数真的积、商、幂的运算【举一反三】1．已知a＝log2，那么log－2log6表为．212．若3＝4＝36，则＋＝.

11113．设2＝5＝，且＋＝2则＝a34.计算：

＋log2·log18＝.log1115.已知均不为的正ab，满足a＝＝c，＋＋＝0求的值．x6.设log，logC是方x

－3＋1的两根，求logC的．ab357.方程－的实数解为．36考二对函的断【例2】函数(

2

为数函数，等于)8A．3B．

C．

D．8【套路总结】对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于、底数大于0且不等于1。【举一反三】1．下列函数是对数函数的()A．

1)

B．C．

D．

2

1)2．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10

B．y=logx

C．y=log

13

–1）3．在M=log（x+1中，要式子有意义x取值范围为A∞，3]B，4）∪（4，+）∞）D）【例3）数𝑥

2

考三对的调的调递减区间为。（2若函数fx＝log(－ax－3)在区间－，－2]是减函数，则实数a的值范围是________．

21212222121222【路结复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”【举一反三】2𝑥12𝑥

满足对任意

成a取值范围）A．

2

B．,2

C．,2

D．,2．函数y=ln（4-xnx的单调递增区间为（）A．−2,1)

B．

C．∞

D．−2,4)3．已知(

12

2在间上增函数，则实数的值范围______2考四比大【例4设＝log12b＝log15，＝log18则，，大小关系________．(用“”连接)【路结比较大小问题是每年高考的高频考点，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【举一反三】1.设＝log，＝log，c2，a，的小关系________．2.已知＝log3＋log3，＝log－log3，＝log，则，，的小关系________．3.已知函数yf(＋2)图象关于直线x＝－2对，且当x，＋时，f()＝|logx，＝－13)，＝(2)，a，，的小关系________4.设＝log，＝log，c＝log3，则ab，c的小关系是________用“”连接考五对数函图

431【例5】(1)如是对数函数y＝log的数a的值别取3，，时对应的图象则相应的C，3510CC的a的依次________．(2)已知函数f)是定义在上的函数当x≥0时x)＝ln(x＋1)函数f(x的大致图象()1(3)当0<≤时4<logx，则a的取值范围________2【举一反三】1。数y＝2log(1的图象大致是)|x≤102.已知函数fx)＝1－x，>10，2

若ab互不相等，且f(a＝()＝(，则的取值范围是________．3.若函数y＝(>0且≠1)的域{yy≥1}则函数＝log||图象大致()

考六定义域值【例6知函数（）＝log的义域是2，16]设g（）＝f）f（）]．（1）求函数（）的解析式及定义域；（2）求函数（）的最值．【举一反三】1.函数

1

2

的域。22．函数(

2

22的域，则实的取值范围为。3.已知函数(

，−，中且.（1求函数(定义域；（2若函数(最大值是2求的值；（3求成的的取值范.

13−1.523.4173𝑥+121113−1.523.4173𝑥+1211【例7】已知函数（）=2

考七反数的反函数为ygg（）的值为（）2A．【举一反三】

BC．12．21．已知函数(1，则

(1)（）A．0

BCD．32．已知

x+12x

，其反函数为

，则______3．

2

（）的反函数

________【套路用】1．若

2

25

,

3

,，a、b、c的大小关系是。2．，，的小关系是。23．已知2，54，

5

0.3

，则。4.若函数

2定义域为，则的值范围是。5．函数(

2

的义域为，则实数k的值范围是______．86．函数)的值域为________.𝑥−17．定义在3,]

上的偶函数，[时，(

，则(的域为_____．.8．函数)(4

2

𝑥+1

的最小值是__．9．函数

2

2𝑥的域为_________10．函数

2

2

的调递增区间________.11．

2

(,,的大值___________2412．函数y=1（1-

2的定义域是。13.已知函数f)＝x≥1，

若()的值域为R则实数a的取值范围____________1214．已知函数()＝log(2－a)在区间f()>0，则实数a的值范围是________315．若函数fx)＝log(－在区间0,2]上最大值为，则＝________.

4132271723413227172316．计算）

23

（2求值：

3

273

lg4

_______________（3）

𝑙𝑛2

3______（4）3lg24√31)

=_____________.（5）3)

3

9（6）𝑙⋅𝑙3

（7）2

14

27

1

3lg1（8）

3

x－117．已知函数().x＋1(1)计算：(2＋－2020)；(2)对于x∈[2,6]，()<lg

m恒成立，求实数m的取范围．18.已函数(＝3－2logx，()＝logx(1)当∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f()＋1]·)的值域；(2)如果对任意的∈[1,4]，不等式(

)·(x)>·()恒成立，求实数k的值范围．

19．已知函数(

𝑎

，𝑎且．𝑎求数的义域；求足实数的值范围．20．已知函数(

𝑎

，，𝑎且𝑎𝑎（I若函数，求函ℎ的义域；（II）求不等的集.21．已知函数(

．（1若函数)

−，断的偶，并求的域；（2若关于的方程𝑥有根，求实数的取值范围

22．已知函数(

𝑎

（，）.（1若函数(的函数是其本身，𝑎的值；（2当时求函数的小.423．已知函数(=

𝑎

−+其中且a≠1𝑎（1求函数(的义域；（2若函数(有小值而无最大值，求的调增区。24．已知函数(

𝑎

2

𝑎𝑎𝑎.（1当时求的域和单调减区间；（2若(存单调递增区间，的取值范围．

221mf(x)221mf(x)25．已知函数(

2

𝑎𝑎

，．若

，a的；3在的件下，关于x的方程(实数根，求实数t的值范围．226．已知函数(𝑎

𝑎2)log对数函数．𝑎（1若函数(

𝑎

，论函数(的调性；𝑎（2在（）的条件下，若

3

,，等3的集非空，求实的值范围．27．对数函数g）=1ogx（a＞0，a≠1和指数函数f（x）=a（a，a）为反函数．已知函数（x）=3，反函数为（x（Ⅰ）若函数g（kx+2x+1）的义域为R求实数k的值范围；（Ⅱ）若0＜x＜x且g（x）|=|g（x）|求4x+x的最小值；（Ⅲ）定义在I上的数F果足：对任意∈I总存在常数M＞0，都有M≤F（x）成立，则称函数（x）是I上的界数，其中为函（x的上界．若函数h（x，m≠0时，探1mf(x)求函数h（x）在x∈[0，