高考数学一轮复习近8年真题分类汇编专题19平面向量

PAGE17专题19—平面向量（1）考试说明：1、理解平面向量的概念，向量的几何表示；掌握平面向量的加法、减法、数乘运算，及其几何意义；了解平面向量共线定理、基本定理及其意义；会用坐标表示平面向量的线性运算，以及共线的条件；理解平面向量数量积的含义及其物理意义，并会用坐标表示数量积；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断垂直关系；会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。高频考点：1、平面向量基本定理及其意义；用坐标表示平面向量的加法、减法、数乘、数量积、夹角、模等运算；平面向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用。高考中，平面向量是必考的考点，一般以小题的形式考查，有时考查基本的运算，属于基础题，有时考查综合题，难度不小，给大家把近几年的高考题总结如下，希望对同学们有所帮助。典例分析1．（2020•新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，A． B． C． D．2．（2016•山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为A．4 B． C． D．3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立4．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是A． B． C． D．5．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A． B． C． D．06．（2017•浙江）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则A． B． C． D．7．（2016•天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为A． B． C． D．8．（2021•新高考Ⅰ）（多选题）已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．9．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则．10．（2020•江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是．真题集训1．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．2．（2018•新课标Ⅰ）在中，为边上的中线，为的中点，则A． B． C． D．3．（2015•重庆）若非零向量，满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．4．（2016•上海）设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若，则；②若，则．关于以上两个结论，正确的判断是A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②成立 D．①不成立，②不成立5．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则．6．（2019•天津）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则．7．（2019•江苏）如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点．若，则的值是．8．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是．9．（2017•天津）在中，，，．若，，且，则的值为．10．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则．11．（2015•四川）设四边形为平行四边形，，，若点、满足，，则A．20 B．15 C．9 D．612．（2014•上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，，2，，是小正方形的其余顶点，则，2，，的不同值的个数为A．7 B．5 C．3 D．1典例分析答案1．（2020•新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，A． B． C． D．分析：利用已知条件求出，然后利用向量的数量积求解即可．解答：解：向量，满足，，，可得，，．故选：．点评：本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．2．（2016•山东）已知非零向量，满足，，．若，则实数的值为A．4 B． C． D．分析：若，则，进而可得实数的值．解答：解：，，，，，解得：，故选：．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立分析：设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②解答：解：不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：．点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．4．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是A． B． C． D．分析：画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．解答：解：画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选：．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．5．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A． B． C． D．0分析：解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，由题意求得的值．解答：解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，由，，，，，知，．故选：．点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．6．（2017•浙江）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则A． B． C． D．分析：根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．解答：解：，，，，，由图象知，，，，即，方法如图：作线段的垂直平分线，由于，因此，在直线的同侧，则，，进而，在等腰三角形中，，这样就有，故选：．点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．7．（2016•天津）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为A． B． C． D．分析：由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解答：解：如图，、分别是边、的中点，且，．故选：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（2021•新高考Ⅰ）（多选题）已知为坐标原点，点，，，，，则A． B． C． D．分析：法一、由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；法二、由题意画出图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案．解答：解：法一、，，，，，，，，，，，，则，，则，故正确；，，，故错误；，，，故正确；，，，故错误．故选：．法二、如图建立平面直角坐标系，，作出单位圆，并作出角，，，使角的始边由重合，终边交圆于点，角的始边为，终边交圆于，角的始边为，交圆于，于是，，，，由向量的模与数量积可知，、正确；、错误．故选：．点评：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．9．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则．分析：或或，三等式两边平方可解决此题．解答：解：方法1：由得或或，或或，又，，，，，，，，．故答案为：．方法．故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．10．（2020•江苏）在中，，，，在边上，延长到，使得．若为常数），则的长度是．分析：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，求得与的坐标，再把的坐标用表示．由列式求得值，然后分类求得的坐标，则的长度可求．解答：解：如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．当时，，此时与重合，；当时，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是0或．故答案为：0或．点评：本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．真题集训答案1．解：，，，，．故选：．2．解：在中，为边上的中线，为的中点，，故选：．3．解：，，即，即，，，即，，，即，，故选：．4．解：①假设存在实数使得，则，向量与既不平行也不垂直，，，满足，因此．②若，则，无法得到，因此不一定正确．故选：．5．解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．6．解：，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案为：．7．解：设，，，，，，，，，．故答案为：8解：【方法一】由题意，设，，则，，；又夹角为，，即，解得．【方法二】，是互相垂直的单位向量，，且；又与的夹角为，，即，