三角形 专项复习资料 配套练习

考十：角聚焦考点☆温习理解一三形1、三角形中的主要线段三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角分线。在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形高2、三角形的三边关系定理及推（）角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（）角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注在同一个三角形中：等角对等；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二全三形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或SAS角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或ASA（）边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或SSS直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定（斜边、直角边定理斜和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或HL2.全等三角形的性质：三等三形1、等腰三角形的性质定理及推：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1腰角形顶角平分线分底边并且垂直于底边腰三角形的顶角平分线边上的线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理及推：定理：果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛☆典例分类考典一三形位【例2】（·北）如图，△ABC中，，E分上边，AC的中，若DE=2，BC=（）A、2B、C、4、【答案】C.考点：三角形中位线定理.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．【举一反三】1．(2015·湖北衡阳题3分如所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度A，取可以直达、B两的点O处，分别取、OB的中M、，量得＝20m，则池塘的宽度AB为m．【答案】40考点：三角中位线定理考典二等三形【例2(2015·北衡阳题3已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形周长为（A．11．．17．或17【答案】考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】(2015北荆门题分)已一个等腰三角形的两边长分别是和4该腰三角形的周长）A．8或10B．C．10．6或12【答案】．【解析】试题分析：是长时，三角的三边分别为22、，2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分为、、，能组成三角形，周=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．选．考点：．腰三角形的性质2三角形三边关系3．分类讨论．考典三全三形【例3如eq\o\ac(△,，)ABC和DEF中AB=DE角B=∠添下列哪一个条件无法证明△ABC≌（）A．AC∥B．∠A=∠．AC=DF．ACB=∠【答案】．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠∠DEF，∴添加AC∥，出∠ACB=∠，即可证明ABC≌△DEF故A、D都确；添加∠∠，据ASA，可证明ABC△DEF故B正确；添加AC=DF时没有定，能证明ABCDEF故都不确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：，，ASA，，有直角三角形的HL定．【举一反三】（2015.重庆A卷第20题分如图，在△ABD和△中点B,C,D,E在一直线上，且AB=FE,BC=DE,

B=

E。求证：ADB=

FCE.题【答案】证明见解析考点：全等三角形的证明.考典四相三形【例4】如图，在△ABC中，D、分别ABBC上的，且DE∥AC，若S：，：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,=)（）A．1：B．：18C：20．：24【答案】．【考点】相似三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记似三角形面积的比等于相似比的平方，用的面积表示出ABC的积是解题的关键．【举一反三】1.(2015.天津市，第题3分如图，在ABC中，DEBC，分别交AB于D，.若=3，DB=2，BC=6则DE的长为.A

B

C【答案】【解析】

.试题分析：由DE∥BC可得△ADEABC,根据相似三角形的性质可得

ADDE3即=AB56

,解得DE

185

.考点:相似三角形的判定与性.2.(2015·黑龙江哈尔滨）如图四边形是平行四边形，点E在的延长线上，点F在BC的长线上，连接，别交AD、于，，则下列结论错误的是（）（）

EAEGEGAGABCF（）（）（）BEGHAECFAD【答案】考点：三角形相似的应用.考典五位三形【例5】△ABC与△A′C′是似图形，且△ABC与A′B′C′的位似比是1：，已知△ABC的积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3B．．．12【答案】．【解析】考点：位似变换的性质．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解关键．【举一反三】（2015·辽宁营口）如图，和△CDE是点E位似中心的位似图形，已知点（，）点（，2），点D（3，）则点D的应点B坐标().A．（，）

B．（，）C．（5，）．（，1）【答案】C.【解析】试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵（（，），A（，），（，），EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK,∴

1EH2

,∵CD∥AB,∴

EDEHDHED1,∵∥BK,∴EB2BKEB2

,∵EH=2，DH=1，EK=4BK=2OK=5，∴B(5，故选C.考点：位似性质；2.平行线分段成比例定.（宜图eq\o\ac(△,，)OAB与OCD是以点O位似中心的位似图形比1=90°CDB（，点C的标为（）A，）B，1）22D，）【答案】．考点：．似变换2．坐标与形性质．考典六直三形【例6·南长沙）如，为测量一与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米处，测得树顶A的角ABO为α，则树的高为（）.

30tan

C.30

D米【答案】【解析】试题分析：根据题意可得BO=30tan∠ABO=

，则AO=BO·tan∠ABO=30tanα.考点：三角函数的应.【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．【举一反三】1.（2015·辽宁大连）如图，在ABC中，C=90°，AC=2，D在BC上，∠ADC=2∠B，，BC的长为（）A.

3

-1B.

3

+1C.

5

-1D.

5

+1【答案】考点：解直角三角形2.(2015·湖北荆门，题3分如图，在中，∠Rt∠，AB=，D为的点⊥于点E，连接BD，则tan的值为（）A．

B．

C．23

D．

14【答案】．【解析】1.（2015·湖南长1.（2015·湖南长沙）考点：．直角三角形2．等直角三角形．课时作业☆能力提升一、选择题如图，过△ABC的点A，作BC边的高，以下作法正确的是（）【答案】【解析】试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的根据定义可得A是作BC边上的高，C是AB边的高，是AC边上的.考点：三角形高线的作法2.（2015.山东济宁，第5题3分三角形两边长分别为36，三边是方程x2360三角形的周长为)A.13B.15C.18D.13或18【答案】【解析】

的根，则试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为

x2

，那么根据三角形的三边关系，可3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进求得三角形周长为+6=13．故选A6868考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长3.（济，第9题3分如图，斜面的坡CD与AD的）为，BC，旗杆顶端点与A点一条彩带相连，若米，则旗杆BC的度()

3

米，坡顶有一旗杆A.5米B.米C.米D.B

(35)

米CDA【答案】考点：解直角三角形4.(2015.山东日照，第10题，分如图，在直eq\o\ac(△,角)BAD中延长斜边BD到点C，DC=BD，接AC若tanB=，则tan∠CAD的值）A.B.C.D.【答案】【解析】试题分析：解：如图，延长AD过点作CE，垂足为E，∵tanB=，=，∴设AD=5x，AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽eq\o\ac(△,，)BDA∴∴CE=x，∴AE=，∴tan∠CAD=故选D．

，，=．考点：解直角三角形．5.（2015成都）如图，在中，//，=6，=3AE=4，则的长为（）A．1B．C．D．【答案】．【解析】试题分析：根平行线段的比例关系，

AD4，即，EC2，选B．DBEC考点：平行线分线段成比例．6.(2015·黑龙江哈尔滨）如图某飞机在空A处测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面挥台B的俯角＝30飞机指挥台B的距为（）（）1200m(B)1200

2

m(C)1200

3

m(D)2400m【答案】考点：三角函数的应.7.（2015内江）如图，在ABC中AB=，BD平分ABC交AC于D，BD交CB的长于点．若∠=35°则BAC度数为（）A．40°B．45°C．60°．70°【答案】．【解析】试题分析：AE∥，∴CBD==35°平分∠，∴∠=70°，AB=，∠C∠CBA=70°∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．选A．考点：．腰三角形的性质2平行线的性质．8.(2015.北京市，第6题，3分)如图，公路，互垂直，路AB的中点与点被湖开，若测得AM的为1.2km，则、两间的距离()A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】．【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km．故选D．考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、填空题9.（2015·辽宁沈阳）如图，与△DEF似，位似中心为点，ABC的积等于DEF面积的则：．

，【答案】：．考点：位似变换．10.如图已△ABC三内角的分线交于点O点D在的长线上且DC=BCAD=AO若BAC=80°则∠BCA的度数为．【答案】60°【解析】试题分析：可证明△CODeq\o\ac(△,，)得出∠D=∠CBO再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角分线可得，从而得出，根据，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°最后算出∠BCA=60°试题解析：∵△ABC三个角的平分线交于点，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中CB，OCBCO∴△CODeq\o\ac(△,，)∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°考点:1.全等三角形的判定与性2.腰三角形的性质．11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°点，别是边ABAC的中，延长BC到点F，使CF=AB=10，EF的是▲．

BC..若【答案】5.【解析】试题分析：∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB=90°点D，分别边，的中，AB=10，1∴，AE=EC，DE=BC，∠=90°2∵CF=

BC，∴在eq\o\ac(△,Rt)ADE和eq\o\ac(△,Rt)EFC中∵AE=EC，DE=FC∴eq\o\ac(△,Rt)ADE≌eq\o\ac(△,Rt)EFC（SAS）∴EF=AD=5.考点：三角形中位线定理；2.等三角形的判定和性.12.（2015山枣，第15题4分如图，中，CD⊥AB于D，是AC的点，若，DE=5则CD=________．【答案】【解析】【试题分析】因为⊥，以ADC是角三角形EAC的点所以AC=2DE=10，勾定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质（·龙江省黑河市、齐哈尔市、大兴安岭）如图，点、、、在一直线上，BD=，∥EF，要使△ABC△DEF则只需添加一个适当的条件是填一个即可）【答案】BC=或∠=∠EDF．考点：．等三角形的判定2开放型．（2015龙省黑河市齐哈尔市兴岭为腰△的腰AC上的∠ABD=则的为．

，【答案】3或23或

．【解析】试题分析分种情况①如图1∠A为角=AC在Req\o\ac(△,t)ABD∵BD∠ABD=3∴=，AB，∴=2，∴CD=2，②如图2为角ACReq\o\ac(△,t)中=1∠=

=

=2=2=

23

，③如图3，BC∵BDAC，∴=CD，在Req\o\ac(△,t)中∵=1，tanABD=

，∴AD=

3，∴=，3综上所述；的长为：

23

或

23

或

33，故答案为：3或或．33考点：．直角三角形2．等三角形的性质3勾股定理．三．解答题15.如图，△是边三角形DBC中.（）图：过B作AC的行线BH；过D作BH的线，分别交AC，，AB的延线于E，，（）图中找出一对全等三角形，并证明你的结.【答案）作图见解析△DEC△DFB（答案不唯一明解.【解析】试题分析）根据平行线和垂线的作图方法作.（）据作图方法，由可定△DECDFB（答案不唯一.试题解析：解）图如下：①如答图；②如答图2.（）DEC≌△DFB（案不唯明下：∵BH∥，∴∠∠DBF.又∵D是BC中点∴在△DEC与△中∵DB，△DEC△DFB（ASA）

FDB考点：作图复杂作图开型问题3.全等角形的判定；平的性质16.在△ABC中，AB=AC，点E，F分在ABAC上AE=AFBF与CE相于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．【答案】证明见解析【解析】试题分析：可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明BEP△CFP，则，而可得出PE=PF，BE=CF试题解析：在△和△中AB=AC∠BAF=∠AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的应角相等∴BF=CE（等三角形的对应边相等∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△中∠∠∠PBE=∠BE=CF，∴△≌CFP（AAS∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴图中相等的线段为PE=PF，BF=CE考点：全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质．17.．(2015·湖北孝感题分8分）我们把两组