2018数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE15学必求其心得，业必贵于专精第3讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则eq\o(PF1，\s\up13(→）)·eq\o(PF2，\s\up13（→))的最大值是(）A．－2 B．1C．2 D．4解析：设P(x,y)，依题意得点F1(－eq\r(3)，0），F2(eq\r（3），0)，eq\o(PF1,\s\up13(→））·eq\o(PF2，\s\up13(→))＝(－eq\r(3）－x）（eq\r（3）－x）＋y2＝x2＋y2－3＝eq\f（3，4）x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤eq\f（3，4）x2－2≤1,因此eq\o（PF1,\s\up13(→）)·eq\o(PF2,\s\up13(→))的最大值是1.答案：B2．(2017·沈阳二模）若点P为抛物线y＝2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为（)A．2 B。eq\f(1,2)C。eq\f(1,4） D.eq\f(1,8）解析：根据题意，点P在抛物线y＝2x2上，设P到准线的距离为d,则有｜PF｜＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝eq\f（1，2）y，其准线方程为y＝－eq\f(1,8）,所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值eq\f(1，8)，即|PF|min＝eq\f(1，8）.答案：D3．（2017·北京西城区调研)过抛物线y2＝4eq\r（3）x的焦点的直线l与双曲线C：eq\f（x2,2)－y2＝1的两个交点分别为（x1，y1)，（x2,y2），若x1·x2＞0，则k的取值范围是（)(导学号55410132)A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，\f(1，2)))B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1，2）))∪eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，＋∞))C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（2),2）,\f（\r(2)，2）))D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞,－\f(\r（2），2))）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2),＋∞））解析：易知双曲线两渐近线y＝±eq\f(\r(2)，2)x，当k＞eq\f（\r（2)，2)或k＜－eq\f（\r（2），2）时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2＞0.答案:D4．(2017·全国卷Ⅰ改编）椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f（y2,m)＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点,若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是（）A．(3，＋∞) B．[1，3)C．（0，eq\r(3）） D．（0,1]解析:依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上,要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°,则eq\f（a，b)≥tan60°,即eq\f（\r(3），\r(m))≥eq\r（3）.解得0＜m≤1.答案：D5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A,B，则直线AB恒过的点的坐标为（)A．（0,1) B．（0，2)C．（2，0) D．（1,0）解析：设Q(t，－2)，A(x1,y1），B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝eq\f(1，4）x2，则y′＝eq\f（1，2）x，则在点A处的切线方程为y－y1＝eq\f（1,2)x1(x－x1），化简得y＝－eq\f(1,2)x1x－y1,同理，在点B处的切线方程为y＝－eq\f(1,2）x2x－y2，又点Q（t，－2）的坐标适合这两个方程,代入得－2＝－eq\f（1,2）x1t－y1,－2＝－eq\f(1,2）x2t－y2，这说明A(x1,y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝－eq\f(1，2）xt－y，则直线AB的方程为y－2＝－eq\f（1,2)tx，直线AB恒过点（0，2）．答案：B二、填空题6．设双曲线C:eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a＞0,b＞0）的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0,若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1的一条渐近线为y＝eq\f（b,a）x，联立eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝\f（b，a）x)）消去y，得eq\f(b2，a2）x2＝x。由x0＞1，知eq\f(b2，a2)＜1，b2＜a2.所以e2＝eq\f（c2,a2）＝eq\f（a2＋b2,a2)＜2，因此1＜e＜eq\r（2）.答案：（1，eq\r（2））7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则eq\o（FP,\s\up13（→）)·eq\o(FQ，\s\up13（→）)的最小值为________．解析:如图，eq\o(FP，\s\up13（→)）·eq\o(FQ,\s\up13（→)）＝｜eq\o(FP，\s\up13(→））｜2＝|eq\o（FQ,\s\up13（→））｜2－1.由抛物线的定义知：|eq\o(FQ，\s\up13（→)）｜＝d（d为点Q到准线的距离），易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|eq\o（FQ,\s\up13(→)）|min＝2，所以eq\o（FP，\s\up13（→））·eq\o（FQ,\s\up13(→）)的最小值为3.答案:38．(2017·济南模拟)已知抛物线y2＝4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C,D,则｜AC|＋｜BD｜的最小值为________．解析：不妨设A（x1，y1）（y1＞0）,B（x2，y2)(y2＜0)．则|AC｜＋|BD｜＝x2＋y1＝eq\f（yeq\o\al(2，2），4)＋y1.又y1y2＝－p2＝－4.所以｜AC｜＋｜BD|＝eq\f（yeq\o\al(2，2),4）－eq\f（4，y2）(y2＜0)．利用导数易知y＝eq\f(yeq\o\al(2，2），4)－eq\f（4,y2)在(－∞，－2）上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC｜＋|BD|的最小值为3。答案：3三、解答题9．(2017·西安调研）已知椭圆E：eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f（\r（3）,2)，点Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f（\r(3)，2)）)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．解:(1)由题意得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（c,a）＝\f(\r（3)，2），,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1,,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1,，c＝\r（3),）)故椭圆E的方程为eq\f(x2，4)＋y2＝1.（2）设直线l的方程为y－eq\f（\r（3)，2)＝k(x－1),代入方程eq\f(x2，4)＋y2＝1，消去y，得（1＋4k2）x2＋（4eq\r(3）k－8k2)x＋(4k2－4eq\r(3）k－1）＝0,所以xQ·1＝eq\f(4k2－4\r(3)k－1,1＋4k2）.因为0＜xQ＜1，所以0＜eq\f(4k2－4\r(3）k－1，1＋4k2)＜1，即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(4k2－4\r(3)k－1，1＋4k2）＞0，,\f(4k2－4\r(3）k－1,1＋4k2)＜1.))解得－eq\f(\r(3),6)＜k＜eq\f(\r(3）－2，2)或k＞eq\f（\r(3)＋2，2)，经检验，满足题意．所以直线l斜率k的取值范围是－eq\f(\r(3），6)＜k＜eq\f（\r（3）－2,2)或k＞eq\f（\r(3）＋2,2）.10．(2017·新乡三模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q。（导学号55410133）(1）D是抛物线C上的动点,点E(－1，3），若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE｜的最小值;(2）是否存在实数p，使|2eq\o(QA，\s\up13（→）)＋eq\o(QB,\s\up13(→)）｜＝｜2eq\o(QA，\s\up13（→))－eq\o(QB，\s\up13(→)）|？若存在，求出p的值;若不存在，说明理由．解：（1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2），所以F（0，2），则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2。设过D作DG⊥l于G,则｜DF|＋｜DE|＝|DG｜＋｜DE｜，当E，D,G三点共线时，|DF|＋｜DE|取最小值为2＋3＝5。(2）假设存在实数p,满足条件等式成立．联立x2＝2py与2x－y＋2＝0，消去y,得x2－4px－4p＝0。设A（x1，y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p,2p)．因为｜2eq\o(QA,\s\up13(→）)＋eq\o（QB,\s\up13（→))|＝｜2eq\o(QA,\s\up13(→)）－eq\o（QB,\s\up13(→)）|，所以QA⊥QB，则eq\o(QA，\s\up13（→)）·eq\o（QB,\s\up13（→））＝0.因此(x1－2p）(x2－2p）＋（y1－2p）（y2－2p)＝0.（x1－2p)（x2－2p）＋(2x1＋2－2p）·(2x2＋2－2p)＝0,5x1x2＋(4－6p）（x1＋x2）＋8p2－8p＋4＝0，把x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝eq\f(1，4）或p＝－1(舍去)．因此存在实数p＝eq\f(1,4),使得｜2eq\o（QA，\s\up13（→))＋eq\o(QB，\s\up13(→)）|＝|2eq\o（QA，\s\up13(→)）－eq\o(QB，\s\up13(→））|成立．11．(2017·唐山一模)已知椭圆C:eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a＞b＞0)的离心率为eq\f（\r（2）,2），点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(a，b))）在椭圆上,O为坐标原点．(1）求椭圆C的方程；（2)已知点P,M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值,并求该定值．解：（1)因为椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0）的离心率为eq\f（\r（2），2)，所以e2＝eq\f（c2，a2）＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1，2），得a2＝2b2,①又点Qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f（a，b）））在椭圆C上，所以eq\f（b2，a2）＋eq\f(a2，b4）＝1，②联立①、②得a2＝8，且b2＝4.所以椭圆C的方程为eq\f（x2,8）＋eq\f(y2，4）＝1。(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x＝eq\r(2)或x＝－eq\r（2），从而有｜PN|＝2eq\r(3），S＝eq\f(1，2）|PN|·|OM｜＝eq\f(1，2）×2eq\r(3）×2eq\r（2）＝2eq\r(6）；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN的方程为y＝kx＋m（m≠0),P（x1，y1），N(x2，y2）；将PN的方程代入C整理得(1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2所以x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2）,x1·x2＝eq\f(2m2－8，1＋2k2)，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝eq\f(2m，1＋2k2).由eq\o(OM,\s\up13（→））＝eq\o（OP,\s\up13(→））＋eq\o(ON,\s\up13（→))，得Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(－4km，1＋2k2),\f（2m,1＋2k2）)）。将M点坐标代入椭圆C方程得m2＝1＋2k2。又点O到直线PN的距离为d＝eq\f(|m｜,\r（1＋k2)）,｜PN｜＝eq\r（1＋k2)|x1－x2|，S＝d·｜PN｜＝｜m|·｜x1－x2|＝eq\r（1＋2k2)·｜x1－x2｜＝eq\r(16k2－8m2＋32)＝2eq\r(6）.综上可知,平行四边形OPMN的面积S为定值2eq\r（6).[典例］(本小题满分12分）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点,过B作AC的平行线交AD于点E。(1)证明|EA|＋｜EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．规范解答：(1）因为｜AD｜＝｜AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC,所以｜EB|＝|ED|,故｜EA｜＋｜EB｜＝|EA|＋｜ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为（x＋1)2＋y2＝16,从而圆心A（－1，0)，｜AD|＝4。所以｜EA|＋|EB|＝4.（2分)又因为B（1,0)，所以|AB|＝2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为eq\f（x2,4）＋eq\f(y2,3）＝1(y≠0）．(4分)(2)解：当l与x轴不垂直时,设l的方程为y＝k（x－1)（k≠0)，M(x1,y1），N（x2，y2）．由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2，4)＋\f（y2，3）＝1))得(4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f（8k2,4k2＋3），x1x2＝eq\f(4k2－12，4k2＋3)，所以|MN｜＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2｜＝eq\f(12（k2＋1）,4k2＋3)。（6分）过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－eq\f（1，k）（x－1），点A到直线m的距离为eq\f(2,\r（k2＋1)），所以｜PQ｜＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(k2＋1）)）)\s\up12(2）)＝4eq\r（\f（4k2＋3，k2＋1）).(8分)故四边形MPNQ的面积S＝eq\f（1，2)｜MN｜｜PQ|＝12eq\r(1＋\f(1,4k2＋3）)。（9分）可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8eq\r（3))．(10分）当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，｜MN|＝3，|PQ｜＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为［12，8eq\r(3））．（12分)1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型,如本题第（1)问就涉及椭圆的定义．2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解,易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第（2）问中的得分10分，导致失2分.3．写全得分关键：在解析几何类解答题中,直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA｜＋|EB｜＝4.第二步：由定义,求点E的轨迹方程eq\f（x2，4）＋eq\f（y2，3)＝1（y≠0)．第三步：联立方程，用斜率k表示｜MN|.第四步：用k表示出｜PQ｜，并得出四边形的面积．第五步：结合函数性质，求出当k存在时S的取值范围．第六步：求出斜率不存在时面积S的值，正确得出结论．［跟踪训练］（2017·郴州三模）已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2）2＋y2＝4，点N为抛物线E上