2021北京门头沟初二（上）期末数学（教师版）

18/182021北京门头沟初二（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）9的平方根是A．3 B． C． D．2．（2分）如图所示，中边上的高线是A．线段 B．线段 C．线段 D．线段3．（2分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是A． B． C． D．4．（2分）下列事件中，属于不确定事件的是A．科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C．太阳从西边升起来了 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形5．（2分）下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是A． B． C． D．6．（2分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取A． B． C． D．7．（2分）下列命题的逆命题是假命题的是A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等8．（2分）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）的倒数为．10．（2分）如果分式的值为0，那么的值是．11．（2分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为．12．（2分）请写出一个大于3的无理数．13．（2分）对于任意两个实数、，定义运算“☆”为：☆．如3☆，根据定义可得4☆．14．（2分）如图，三角形纸片中，，，．在边上取一点，以为折痕，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为．15．（2分）学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：，你的理由是．16．（2分）如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是．三、解答题（本题共47分，第17、18每小题6分，其他每小题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）计算：（1）；（2）．19．（5分）解方程：．20．（5分）已知：，求代数式的值．21．（5分）阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：解：①②③④问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程．22．（5分）已知：如图，．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．23．（5分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线的垂线，使它经过点．作法：如图2，①以为圆心，大于到直线的距离为半径作弧，交直线于、两点；②连接和；③作的角平分线，交直线于点；④作直线．直线就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：平分．．又，．（填推理依据）．（填推理依据）．又，．．24．（5分）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．25．（5分）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．四、解答题（本题共21分，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（7分）如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”．（1）下列是“智慧数”的是（填序号）①和6，②和，③和．（2）如果是“智慧数，”那么“☆”的值为；（3）如果是“智慧数”．①与之间的关系式为；②当时，的取值范围是；③在②的条件下，随的增大而．（填“增大”，“减小”或“不变”27．（7分）阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△中，，平分，，，求的长．小明的想法：因为平分，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在边上取点，使，并连接（如图．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①和的关系是，判断的依据是；②是三角形；③的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在中，，，平分，，，求的长．28．（7分）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点，连接．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果①，；（用含有代数式表示）②用等式表示线段，与的数量关系，并证明；（3）如图2，如果，直接写出线段，与的数量关系，不证明．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：9的平方根是．故选：．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．2．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：由图可得，中边上的高线是，故选：．【点评】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，，解得，，故选：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：、科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功，是随机事件，属于不确定事件；、投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点，是不可能事件；、太阳从西边升起来了，是不可能事件；、用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形是必然事件；故选：．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．【分析】先设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系求出的取值范围，找出不符合条件的的值即可．【解答】解：设第三根木棒的长为，已经取了和两根木棍，，即．四个选项中只有不在其范围内，符合题意．故选：．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．7．【分析】分别写出各个命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项．【解答】解：、逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；、逆命题为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，是真命题，不符合题意，故选：．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．8．【分析】分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数．【解答】解：当为腰时，点的个数有2个；当为底时，点的个数有1个，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：的倒数是，故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．10．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．【解答】解：分式的值为0，，解得：．故答案为：3．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握定义是解题关键．11．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到大于2的概率是．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A），难度适中．12．【分析】根据这个数即要比3大又是无理数，解答出即可．【解答】解：由题意可得，，并且是无理数．故答案为：．【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．13．【分析】直接利用新定义代入计算得出答案．【解答】解：4☆．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14．【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：由勾股定理得，，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，，故答案为：3．【点评】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，将问题转化到一个直角三角形中是解决问题的关键．15．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为5时，周长；当腰长为2时，因为，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故答案为：不正确，，2，2，5不构成三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．【分析】利用分式的基本性质，以及分式的解法判断即可．【解答】解：如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是分式的基本性质，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．故答案为：分式的基本性质；方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．【点评】此题考查了解分式方程，通分，以及分式的混合运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．三、解答题（本题共47分，第17、18每小题6分，其他每小题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【分析】（1）首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）．（2）．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】（1）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了分式的乘除和分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】直接利用分式的混合运算进而化简求出答案．【解答】解：原式，原式．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．21．【分析】（1）根据分式的加法法则得出答案即可；（2）根据分式的加法法则得出答案即可；（3）先通分，再根据分式的加法法则进行计算，最后求出答案即可．【解答】解：（1）上述计算过程中，从第③步开始出现错误，故答案为：③；（2）发生错误的原因是把分式的分母去掉了，故答案为：分式的分母去掉了；（3）．【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．22．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：由题意，，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，故答案为：，．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用全等三角形的判定和性质判断即可．【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求．（2）证明：平分．．又，．（填推理依据）．（全等三角形的对应角相等）（填推理依据）．又，．．故答案是：；；全等三角形的对应角相等．【点评】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质．24．【分析】过点作于点，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，即，结合可求出的长．【解答】解：过点作于点，如图所示．，，，．，，．在中，，，即，，．又，，．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾股定理求出的长是解题的关键．25．【分析】设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则原来的燃油汽车所需的油费为元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题．【解答】解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则原来的燃油汽车所需的油费为元，由题意得，解得：经检验为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．【点评】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．四、解答题（本题共21分，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26．【分析】（1）根据“智慧数”的定义即可求解；（2）根据“智慧数”的定义得到关于“☆”的方程，解方程即可求解；（3）①根据“智慧数”的定义可得与之间的关系式；②先用表示出，再根据，可求的取值范围；③根据函数的增减性即可求解．【解答】解：（1）①，，和6是“智慧数”；②，，和不是“智慧数”；③，，和是“智慧数”．故是“智慧数”的是①③．故答案为：①③；（2）依题意有☆☆，解得☆．故答案为：；（3）①依题意有，则与之间的关系式为．故答案为：；②，，，或，解得．故的取值范围是．故答案为