导数在经济分析中的应用(生活中的经济学)

3.3导数在经济分析中的应用边际与边际分析经济分析中的最大最小值问题需求价格弹性一、边际分析1.边际成本总成本的平均变更率边际成本的经济意义：2.边际收入总收入的平均变更率3.边际利润二、经济分析中的最大最小值问题我们关切的是何时平均成本最小？收入最大或利润最大？

1.已知总成本，求使平均成本最小时的产量及最小平均成本。2.已知收入利润时的销量？最大收入函数或利润函数，求最大收入或最大或最大利润是什么？方法：（4）推断极值点。假如极值点唯一，该极值点就是最值点。（1）写出目标函数；（2）求导；（3）令1阶导数等于0，求出驻点。例1某家具厂某款家具的日生产实力为100套，每日该产品的总成本C（单位:千元）是日产量Q的函数试求：（1）日产20套家具的平均成本及边际成本；（2）最小平均成本时的产量及此时的边际成本。解（1）平均成本函数边际成本生产20套的平均成本生产前20套家具时平均每套成本8800元，在此基础上再生产第21套家具所须要增加的成本大约4600元，说明：此时提高产量能够降低成本。（2）求最小平均成本由于驻点唯一,所以Q=50时平均成本最小，此时平均成本为练习

已知某厂生产

Q件产品的成本为问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

（万元）．解（1）因为

是在其定义域内的唯一驻点．所以也是最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．最小平均利润是

例2某企业每月生产Q吨产品的总成本C（千元）是产量Q的函数假如每吨产品销售价格是2万元，求每月生产10吨，15吨及20吨时的边际利润并说明之。解收益函数是利润函数是边际利润函数是留意：扩大生产规模不确定增加经济效益，即增产未必增收。例3假如《微积分》教科书的需求关系是其中Q是销售量（千册），P为价格（元）。假如价格从20元增加到21元，对教科书的需求大约下降多少？解求边际需求。说明：价格在20元的基础上再提高1元，销售量将会下降大约1500册。三、弹性分析设函数y=f(x)可导，函数的相对变更量与自变量的相对变更量之比函数f(x)的弹性的实际意义：当自变量在x处产生1%变化的时候，函数f(x)将近似改变

需求弹性的经济含义是：当某种商品的价格P下降（或上升）1%时，其需求量Q将增加（或减少）约%。

定义某种商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数Q=Q(P)可导，则称

为商品的需求价格弹性，简称为需求弹性。1.需求价格弹性

称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等。

称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格相对变化。

称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化。

例1

已知需求量Q(单位：百件)，价格P(单位元)，需求价格函数为：

解：因为

所以

求当P

=9时的需求弹性．经济说明是什么？一般商品价格上升需求量下降；价格下降，需求量上升。所以需求弹性一般为负值。哪一种商品的需求价格弹性最小？非能源商品！如“石油”这种能源商品，它的价格弹性就是最大的！而且只往“上”弹，不往“下弹”。纸张，随着的木材的涨浮而定！外包装品，随着其他能源商品的价格而定。金属制品也是同样！所以，假如说哪一“种”商品的需求价格弹性最小，那答案只能是“非能源商品”！例如食品，这是一种可再生的非能源商品！例如食盐，粮食，水，等。在经济分析中,经营者关切的是商品的涨价或降价对收入的影响的程度.

利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收,降价未必减收.当商品的价格有微小变更时,商品销售收入R=PQ的变更量为商品的涨价或降价对商品销售总收入基本没有影响。商品涨价，即商品降价，即销售总收入削减销售总收入增加商品涨价，即商品降价，即商品的涨价或降价对收入的影响：销售总收入削减销售总收入增加美国一家州立高校的管委会面临着一个重要的财务问题.依据现在的学费水平，该高校在每个学生身上每年要亏损750美元.这家州立高校的校长提出应把每一位学生的平均学费水平从现在的3000美元提高到3750美元，即增加25%.该校共有10000名学生，他计算这样就可补偿750万元的亏损.案例一

高校生的学费应收多少？（一）案例背景：但学生代表抗议说，他们付不起这么高的学费.为此，校长认为唯一的方法只能是削减办班和裁减教工.但教职工们则主见增加学费以保住他们的工作.文章作者估计州立高校入学人数对学费变更的反应程度，即弹性为－1.3.也就是说，学费提高1%，会使入学人数削减1.3%.这是一个最新的数据，文章的作者是一位很受敬重的学者.一名经济学专业的学生，在做学期论文的过程中，发觉一本杂志有一篇关于高校教化需求价格弹性的文章.即学生怎样与校方进行交涉才能使得学校不涨学费呢？只有学生们能够说清晰提高学费并不能实现这一目的，管委会才有可能拒绝批准管理当局的建议.（二）案例分析：

学生们很快相识到，对他们的逆境仅靠寻求怜悯是无济于事的.他们的惟一希望是向校方陈述，提高学费是对学校不利的.问：学生应如何做？依据文章中估计的价格弹性，学生们计算出，假如学费增长25%，会使入学人数削减32.5%，接近3300个学生。这就会使总收入从现在的30000000美元（即3000×10000）削减到约25000000美元（即3750×6700）。（三）案例解答：

这一信息使管委会大吃一惊，他们问校长，因学生削减而节约下来的开支是否能够补偿总收入的削减。校长回答说，学校的大部分开支是与入学人数无关的，因此人数削减并不会导致成本的大量节约。通过无记名投票，管委会推翻了提高学费的建议，并指示校长找寻其他途径弥补收入赤字。

问题某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月x元，租出去的房子有

套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为问租出几套房子收入最大？案例二房租定为多少可获得最大收入？

问题某旅行社组织去风景区的旅游团.假如每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;假如每团人数多于30人则赐予实惠,每多1人机票每张削减10元,直至机票降到450元。每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元。问：每团人数为多少时,旅行社可以获得最大利润?最大利润是多少?

解（1）首先写出飞机票的价格函数。依题意，对旅行社而言，机票收入是收益，付给航空公司的包机费是成本。设x表示每团人数，p表示机票的价格。案例三旅行社如何获得最大利润？所以每团人数最多为30+45=75人。飞机票的价格函数为（x为正整数）（2）旅行社的利润函数

因为驻点唯一，故x=60人时利润最大，即每团为60人时可获得最大利润，最大利润为案例四你会吃几块巧克力？人们消费是为了得到物质何精神上的满足，这种满足在经济学上称为效用。生活中的阅历告知我们，消费每一单位商品时产生的效用是不同的。对一个爱吃巧克力的人来讲，有一个试验表明，吃一块巧克力的总效用为35，吃两块巧克力的总效用为60，吃三块巧克力的总效用为75，吃四块巧克力的总效用为80，吃五块巧克力的总效用为75。由简洁的视察可以看出，从吃第1块到第5块效用是递减趋势。第5块后效用没有增加反而削减。问：你会吃几块巧克力？0123456x10020406080u用最小二乘法可以得到效用函数x为巧克力的块数边际效用吃一块巧克力的边际效用为吃两块巧克力的边际效用为吃三块巧克力的边际效用为吃四