2021-2022学年四川省成都高三（上）入学数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年四川省成都列五中学高三(上)入学数学

试卷(理科)

I.已知复数z满足(l—i)z=2+i,则z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={x\x2—2x<0},B=(x\y=lg(x—1)},则AUB=()

A.(O,+oo)B.(1,2)C.(2,4-CO)D.(—8,0)

(%+y>0

3.若实数x,y满足约束条件卜Wx+2,贝收=2%-y的最小值是()

(0<%<1

A.—3B.—2C.—1D.0

4.已知|引=鱼，|E|=1,a-(a-K)=1,则方与石的夹角为()

A.-B.-C.-D.-

3343

5.某学习小组有2个男生，3个女生，从该小组选取两人参加解题比赛，选到一男一

女的概率为()

A.-B.-C.-D.-

551010

6.(1+x+/)(x-2)5的展开式中尤3的系数为()

A.-80B.-40C.40D.80

7.有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,

每天新增疑似病例不超过15人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增死疑似

病例数据，一定符合该标志的是()

A.甲地：总体均值为4,中位数为3B.乙地：总体均值为5,总体方差为12

C.丙地：中位数为3,众数为2D.丁地：总体均值为3,总体方差大于0

8.已知cos(a+工)=L贝！Jsin(2a-2)=()

636

A.--B.-C.-

999

9.执行如图所示的程序框图，若a=0.5：b=0.9：c=

log50.3,则输出的数是()

A.0.52

B.0.94

C.log50.3

11

D.0.55+0.95+logs0.3

10.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为

G

“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥

称之为“阳马”，在如图所示的堑堵/BC—4B1GD1中，

AAr=AC=5,AB=3,BC=4,则在堑堵ABC-4当的"，工----

•,*i---------------------------%

中截掉阳马Ci-ABB14后的几何体的外接球的表面积是

()

11.已知尸为双曲线捺一卷=19>0/>0)的左焦点，双曲线的半焦距为c,定点

B(0,c),若双曲线上存在点P,满足|PF|=|PB|,则双曲线的离心率的取值范围是

()

A.(V2(+oo)B.(1,V2)C.(V3,+oo)D.(1,V3)

12.已知函数〃x)=取<°，方程/CO=a恰有两个不同的实数根打、

》2(/<久2)，则好+工2的最小值与最大值的和()

A.2+eB.2C.6+e-3D.4+e-3

13.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：

广告费用工/万元3456

销售额y/万元243946

若x与y之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程y=6x+8,现发现表中

有一个数据模糊看不清，该数据是.

14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=2sinC,且三条边a,h,

c成等比数列，则cosZ的值为.

15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线/交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于

点P,若丽=2而，则直线/的倾斜角为.

16.已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(I+久)+/(I-x)=0,且当0WxW1时，

/0)=1。83(&-尤).若对于任意工€[-1,0]，都有一tx21-log35,则实

数f的取值范围为.

17.(1)已知(2x+专)n的展开式中所有项的系数和为243,求展开式中含/的项的系数.

(2)甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只

能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种？

18.设数列｛an｝的前〃项和%满足%+i-2Sn=n+l(n6JV+),且%=1.

(1)求证：数列｛册+1｝是等比数列：

n

(2)^n=2log2(an+l),数列｛瓦｝的前〃项和是4,求证:Tn<n(Sn+n).

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为菱形，/.BAD=y,PA=PD,

为线段AD的中点且PE1CD,设平面PAD与平面PBC的交线为直线a.

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（1）证明：直线a〃平面A8CZ）；

（2）若4B=2PE=2,求二面角4—PZJ-C的余弦值.

已知椭圆C：条+\=1（（1>2）>0）的离心率为圣&,尸2分别是椭圆C的左、右

20.

焦点，椭圆C的焦点&到双曲线9—y2=1渐近线的距离为日.

（团）求椭圆C的方程；

（回）直线AB：y=kx+V0）与椭圆C交于不同的A,8两点，以线段A8为直

径的圆经过点尸2,且原点。到直线AB的距离为等，求直线AB的方程.

21.已知函数/'（x）=Inx+?（aeR）.

（回）讨论函数/（久）的单调性；

（团）求出函数零点的个数.

北鬻;短帚。为参数且

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为

ae［-p^］）,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

极坐标方程为p=4cos0.

（1）说明G是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（4国,沙射线。=y（0<y<］）与6的交点为M（异于极点）,

与C2的交点为N（异于极点），若|MN|=V5|M4|,求tany的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：・・・(1一i)z=2+i,

2+i(2+i)(l+i)1,3.

:.Z=——=-——-——乙=一+-i,

1-i(l-i)(l+i)22

Z在复平面内对应的点(|,|)在第一象限.

故选：4

根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.

本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意可得：A={x|0<x<2},B=[x\x>1],A(JB={x\x>0]=

(0,+oo).

故选：A.

由题意首先求得集合A和集合B,然后进行并集运算即可求得最终结果.

本题考查了集合的表示方法，并集的定义及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解

和计算能力，属于中等题.

3.【答案】B

%+y>0

【解析】解：由于变量x、y满足约束条件yWx+2,

,0<x<1

在坐标系中画出可行域四边形，

平移直线2工—、=0经过点4(0,2)时，2x—y最小，

最小值为：-2,

则目标函数z=2x-y的最小值为一2.

故选：B.

先根据条件画出可行域，设z=2x-y,再利用几何

意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=2x-y,过可行域

内的点4(0,2)时的最小值，从而得到z最小值即可.

借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想.线

性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定.

4.【答案】C

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【解析】解：・.・|初=VL|方|=1,a-(a-6)=1.

-t•a2—a-b=2—a-b=l,•-a,•b=1,

,—W、五石1V2

••,8S<a，b>=^=^T-'

又〈五，方>e[O,?r],二<百万>=%

故选：C.

根据向量数量积定义，向量夹角公式即可求解.

本题考查向量数量积定义，向量夹角公式，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：设3个女生为即，。2,。3,2个男生为打，厉，

1^2人^^加比^^^,看(2]£12，。1。3，。]匕1，。[匕2'a2a3,。2匕1,。2b2,。3匕1，。3b2，^1^21

共10种选取方法，

其中，选到一男一女的方法有内瓦，%匕2，a2b1，a2b2，a3bx,a3h2>共6种，

所以概率P=卷=£

故选：A.

设3个女生为名,a2,(13,2个男生为瓦，b2,用列举法分别写出“选2人参加比赛”

和“选到一男一女”的基本事件数，再根据古典概型即可得解.

本题考查古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中炉的系数.

【解答】

解：•••(X-2)5展开式的通项公式为4+1=C门5-r(一2卢

分别令5—r=3,5—r=2,5—r=l可得r=2,3,4,

故(1+x+x2)(x-2)5的展开式中式的系数为C式一2尸+《(一2)2+或(-2)4=40,

故选：C.

7.【答案】B

【解析】解：对于4均值为4,中位数为3,不能保证10个数据中每个数据都不超过

15,

•••4不符合该标志；

对于8,均值为5,方差为12时，假设有一个数据为16,其余数据均相等，

则16+9x=10x5x®4s=[(16-5)2+9x(4-5)2]=13>12,

二假设不成立，即所有数据不超过15,8符合该标志；

同理，对于C、D,都不能保证10个数据中每个数据不超过15,

••.C、。也不符合题意.

故选：B.

根据题意，说明小C,。都不符合题意，8用反证法说明符合题意.

本题考查了用样本数据的数字特征估计总体的数字特征的应用问题，是基础题.

8.【答案】B

【解析】解:cos(a+乙)=三，贝ijsin(2a--)=—cos(2a--+-)=—cos(2a+-)=1—

636623

2cos2(a+.)=1-2xg=g,

故选：B.

由贝Usin(2a—g)=—cos(2a-£+9,利用二倍角公式可得结果.

o62

本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型.

9.【答案】B

【解析】解：由程序框图知，输出a,b,c中最大的数，

所以〃最大，

a=0,54=0.254<b=0.94,c<0,

故选：B.

根据程序框图知，输出a,b,c中最大的数，比较给出“，从c的大小得出结论即可.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

10.【答案】A

【解析】解：在堑堵中截掉阳马G后，剩余的几何体为三棱锥

A-BCG，该几何体与堑堵4BC-4/1G的外接球是同一个球，

•：AB=3,BC=4,AC=5,：.AB2+BC2=AC2,•••Z/1BC=90°,

所以，直角△ABC的外接圆直径为AC=5,

所以，堑堵4BC-&当6的外接球的直径为2R=，4C2+y=5或,；♦R=苧，

因此，在堑堵ABC-&当6中截掉阳马Ci-ABB1&后的几何体的外接球的表面积是

4nR2=507r.

故选：A.

根据题意知，剩余的几何体与堑堵ABC-的外接球是同一个球，先计算出该堑

堵底面外接圆的直径AC,然后求出外接球的半径R,最后利用球的表面积公式可计算

出答案.

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本题考查球的表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考

查计算能力，属于中等题.

11.【答案】4

【解析】解：由题意可得尸(—c,0),FB的中点为(g,|),

直线尸8的斜率为F=1，可得尸8的垂直平分线的斜率为-1,

0+c

即有线段的垂直平分线方程为y-]c=-(x+1c),即为y=-x.

由双曲线C上存在点尸满足|PF|=\PB\,

可得FB的垂直平分线与双曲线有交点，

由双曲线的渐近线方程为y=±T，

即有—1>—L即a<b,可得a2cb2=‘2—a?,

a

可得e=->V2,

a

故选：A.

求出厂的坐标，FB的中点和斜率，可得线段F3的垂直平分线方程，由题意可得的

垂直平分线与双曲线有交点，运用渐近线的斜率可得-1>-2,再由离心率公式计算即

a

可得到所求范围.

本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程

的求法，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：作出函数y=/(x)的图象如下图所示：

由图象可知，当一3Saw1时，直线y=a与函数y=f(x)的图象有两个交点(乙，砂、

(孙。)，

1

则11n二”可喂二二。则好+孙=1-a+e&,

构造函数g(x)=e"-x+1,其中-3SxSl,则g'(x)=〃一1.

当一3Wx<0时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减；

当OSxWl时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增.

所以，g(x)min=g(0)=2,

5(-3)=e-3+4,g(l)=e,显然g(-3)>g(l),

所以g(x)max=g(-3)=e-3+4.

因此，xl+%2的最大值和最小值之和为b3+4+2=e-3+6.

故选：C.

作出函数y=/(x)的图象，数形结合可得出实数a的取值范围，将资、久2用。表示，可

将好+冷转化为以。为自变量的函数，利用导数可求得好+外的最大值和最小值，进

而可求得结果.

本题考查利用导数求解代数式的最值,解题的关键就是将好+与表示为以。为自变量的

函数，考查计算能力，属于中等题.

13.【答案】31

【解析】解：设表中模糊不清数据为，小

由表中数据可得，1=：x(6+3+4+5)=4.5,亍=：X(24+m+39+46)=二

回归直线方程y=6x+8,

=6x4.5+8,解得m=31.

4

故答案为：31.

根据已知条件，求出x,y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解.

本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

14.【答案】—匕

4

【解析】解：由正弦定理可得，巴=•=2,

csinC

又/=ac=2c2,

所以a：b：c=2：V2：1,

2+1-4V2

由余弦定理可得cos"=>+:一"2xV2xl4,

故答案为：-半

4

由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解.

本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题.

15•【答案】第！

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【解析】解：如图，"PM=2PF,F为PM的中点，二|BM|=2p,即|FM|=2p,

|PF|=2p=2\AF\,

"FA=半直线/的倾斜角为押冷.

故答案为：乳冷

画出图形，利用抛物线的定义结合向量关系，求解直线的倾斜角即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

16.【答案】[一：,1]

【解析】

【分析】

先求得/⑴的值，由此求得。的值，证得/⑶是周期为4的函数，将l-log35转化为/X|),

根据函数周期性和对称性，将原式转化为-?+4%式/一比，结合x的取值范围即可求

得，的取值范围.

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键,

综合考查函数性质的应用.

【解答】

解：因为/(1+乃+/(1一切=0.令芯=0,贝IJ2〃1)=O,即/(1)=0,

由于0<%<1时,/(x)=log3(a-%).所以/(I)=log3(a-1)=0,解得a=2,

即有当OWxWl时，/(%)=log3(2-x).

因为1-k>g35=log31=-log31=-log3(2-i)=-/(|)=-/(I-1)=/(I+1)=

f(|)，

又因为/(X)为偶函数，所以/(()=/'(一|),

再根据/(I+X)+/(I-尤)=O./C-X)=/(%),

则f。+4)=f[l+(%+3)]=-f[l-(x+3)]

=+2)]=-f(x+2)=-/[l+(1+x)]

=一(1+x)]=f(-x)=/(x),

所以函数/(x)是周期为4的周期函数，

当xe[-i,o]时，一xe[o,i],

所以/'(%)=/(-x)=log3(2+x),

所以当xe[-4,1]时,/(x)=log3(2-|x|).

因为f(l+x)+/(l-x)=O,所以f(2-x)+/(%)=0,故/(x)=-f(2—x),

所以当尤6[1,3]时,2—x6[—1,1]>所以/(x)=-log3(2—|2-x|).

作出函数/(x)的图象如图：

2

由/'(/-tx-|)>1-log35,得一?+4fc<x-tx-i<|+4k(kGZ),对于任意xG

成立，

当x=0时，—|+4kS-]<|+4/c,解得一

所以k=0,即一：W/一比一：w三对于任意％6[-1,0]成立，

当％e[—1,0)时,由-gw——比―+得t>(x+2)的最大值,

由于y=%+£在[―1,0)单调递减，所以t2—1—[=—[,

由/一次-I式：得tw(x-：)的最小值，由于y=%-：在[_i,o)单调递增，所以tw

-1--=1,

-i

综上，f的取值范围是[—[,1],

故答案为：(—[,1].

17.【答案】解：⑴根据题意，(2x+3产的展开式中所有项的系数和为243,

令x=1可得：(24-l)n=243,解可得n=5,

Zr

则(2X+盍)5的展开式为Tr+1=Cf(2x)5-r(竟)r=2-,

当r=2时，有73=23c^x2=80x2,

故展开式中含/的项的系数为80；

(2)根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学三个地方实习，每人只能去一个城市，

则每人有3种选择，则4人一共有3x3x3x3=81种情况，

若北京没人去，即四位同学选择了上海，广州，

每人有2种选择方法，则4人一共有2x2x2x2=16种情况，

故北京一定要有人去有81-16=65种情况，

【解析】(1)根据题意，在(2x+白产中，令尤=1,分析可得〃的值，进而由二项式定

理分析可得答案；

(2)根据题意，用排除法分析：先计算“甲、乙、丙、丁四位同学三个地方实习”的安

排方法，再排除其中“北京没人去，即四位同学选择了上海，广州”的排法，计算可得

答案.

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本题考查二项式定理以及排列、组合的实际应用,

18.【答案】证明：(1)由Sn+1-2S"=n+1,得Sn-2Sn_i=n522,neN+),

两式相减并整理得即+i=2an+3所以a兀+i=2(an+1),又当n=l时，有的+。2-

2al—2且%—1,解得a2=3,

所以。2+1=2(&+1),所以｛即+1｝是以即+1=2为首项，2为公比的等比数列；

nnnn

(2)由(1)可知&+1=2",则an=2-1,所以匕=2•1哮@+1)=2-log22=

n-2n,

所以"=1X2+2X22+3X23+-+n-2n①；则27n=1X22+2X23+3X

24+…+n.2"+i②，

①-②得一7；=2+22+23+-+2n-n2n+1=_,2«+1=2n+1-2-n-2n+1,

1—2n

故及uCn-DT'+i+Z,

n+1n+1n+1

又无=-n=2-2-n,所以7；-n(Sn+n)=(n-l)2+2-n(2-

2)=-2n+1+2n+2,

令f(n)=-2"+】+2n+2,则/(n+1)—/(n)=2(1—2")(neN+),所以/(n)单调递

减，又/1(1)=0,

所以/(n)<0,即7；<n(Sn+n).

【解析】⑴由Sn+1-2Sn=几+1可得Sn-2Sn_y=n(n>2,nEN+),两式相减并整理

得即+i=2an+1,从而结合由与a2的值即可分析证明出数列｛册+1｝是等比数列；

nnnn

(2)易知%i=2-1,bn=2-log2(an+1)=2",log22=n-2,从而利用错位相减

求和法即可求出Tn,进一步分析证明7；-n(Sn+n)即可得证7；<n(Sn+n).

本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，数列与函数的综合问题，考查学生的逻辑

推理和运算求解的能力，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：因为四边形A8CO为菱形，所以

AD//BC.

因为4。u平面PAD,BCC平面PAO,所以8c〃平面

PAD.

因为直线a为平面P4D与平面P8C的交线，4。＜=平面

PAD,

所以a〃AD.

因为4。u平面ABCD,a平面ABCD,

所以a〃平面4BCD.

(2)解：因为P4=PD,点E为线段AO的中点，所以PE14D.

又因为PEJ.CD,ADC\CD=D,ADc5F®ABCD,CDu平面ABC。,

所以PE_L平面48CD.于是EC,ED,EP两两垂直.

所以可以建立空间直角坐标系如图所示，根据已知各点坐标如下：

£1(0,0,0)sP(0,0,l)、。(0,1,0)、C(V3,0,0),

所以而=PC=(V3,0,-l).

设平面POC的一个法向量记=(x,y,z),则有沅•同=0,m-PC=0；

所以｛3：zl0，令y=6,得沆=(1,V5,V5).

取平面PAD的一个法向量为运=(1,0,0).

设二面角A-PD-C的大小为。，由图可知。为锐角，

所以cos®=II=

I二叫I:川7

故二面角A-PD-C的大小为了.

【解析】(1)根据线面平行判断定理证明；(2)根据四棱锥性质，利用空间向量内积计算

二面角余弦值.

本题考查了直线与平面平行的判定问题，考查了二面角计算问题，属于中档题.

20.【答案】解：(回)•••椭圆C：盘+3=1(。>匕>0)的离心率为圣

C_y/2

-=-，

a2

•••双曲线叁一y2=1的一条渐近线方程为x-V2y=0,

椭圆C的左焦点尸式―c,0),

•••椭圆C的焦点Fi到双曲线9—y2=1渐近线的距离为日.

•"=提号昔得。=1,

则a=V2,b=1,

则椭圆C的方程为q+y2=i；

(团)设A,B两点的坐标分别为4(■，%),B(x2,y2)>

由原点。到直线AB的距离为学，

4B|m|_2V5

得市P-V，

即病=式1+炉)，①

2

将y=kx+m(k<0)代入万r4-y2=1；得(1+2/c2)%2+4kmx+2m2—2=0,

则判别式^=16k2m2-4(1+2k2)(2/-2)=8(2k2-m2+l)>0,

4km2m2-2

•.・与+》2=一罚，X1&=E，

•••以线段AB为直径的圆经过点尸2，

:.AF2♦BF2=3

即(与一1)(%2—1)+为力=o

即(％i—1)(%2-1)+(kxi+m)(/cx2+m)=0,

第12页，共15页

22

即(1+/C)%I%2+(km—l)(%i+x2)+m4-1=0,

(1+fc2),+(/cm-+m2+1=

化简得37n2+4km-1=0②

由①②得1164—10m2-1=0,得m?=1,

fm=1

=满足判别式4=8(21一62+i)>o,

AB的方程为、=一：％+L

【解析】(团)根据椭圆的离心率以及点到渐近线的距离建立方程关系求出«,人即可求椭

圆C的方程；

(团)设4(匕,为)，B(x2,y2),联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，根据根与

系数之间的关系以及设而不求的思想进行求解即可.

本题主要考查椭圆的方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，利用方程法以及转化法,

转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合设而不求的思想是解决本题的关

键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度.

21.【答案】解：(回)函数/(%)的定义域为(0,+8),((%)=：-9=詈，…(2分)

①当aWO时，f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增；…(3分)

②当a>0时，/'(%)=0,解得久=a.

当x变化时，f'M，/"(x)的变化情况如下表所示：

X(0,a)a(a,+oo)

f(x)-0+

f(x)单调递减/(a)=Ina+1单调递增

所以，/(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)单调递增.…(5分)

综上：当aWO时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，/(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

(团)当a=0时，/Q)=Inx在(0,+8)上单调递增，且/⑴=0,

所以/(乃有一个零点；

当a<0时,由(团)知，〃>)在(0,+8)上单调递增，

且/(I)=a<0,/(I)=a<0,/(e-a)=—a+aea=a(ea-1