2021-2022学年山东省青岛市市北区八年级下学期期末数学试卷

2021-2022学年山东省青岛市市北区八年级(下)期末

数学试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题(本大题共8小题，共24分)

1.下列不等式变形正确的是()

A.由4%—120得4x>1B.由一%>3得%>—3

C.由一2x<4得%>2D.由］>0得y>0

2.下列四个标志中，既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()

AA©以

3.下列因式分解正确的是()

A.a2b—ab2=a(a+b)(a—b)B.a2-2b2=(a+2b)(a-2b)

C.a?-2ab+ab2=a(a-h)2D.a2b2—4a2b+4a2=a2(fa—2)2

4.下列四个图案都由左、右两部分组成,其中能从左边图形经过一次平移或一次旋转

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另-一种正多边形地砖(边

长与正方形的相等)，与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是

()

A.正五边形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形

6.如图，△ABC的顶点坐标4(—3,6),B(—4,3),C(-1,3),若将△ABC绕点C按顺

时针方向旋转90。，再向左平移2个单位长度，得到△A‘B'C'，则点4的对应

点4'的坐标是()

A.(0,5)B.(4,3)C.(2,5)D.(4,5)

7.若数a使关于x的不等式组1联：6-~?的解集为x<-2,且使关于y的分式方

程号一亮=-3的解为负数，则符合条件的所有整数。有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

8.如图，"MBC的顶点C在x轴正半轴上，延长B4交y轴于点=1,ADOA=30°,

将4绕点。顺时针旋转得到△OD，/T,当点。的对应点。/落在04上，

。'4'的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.(2V3,0)B.(2V5,0)C.(2V2+1,0)D.(2V5+1,0)

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.分式号的值为。，则》的值是一

10.用反证法证明“一个三角形不能有两个角是直角”时应首先假设

11.若一个正多边形的每一个内角都比它相邻外角的3倍还多20。，则这个正多边形的

边数为______

12.如图，平行四边形4BCD的对角线相交于点。，且ABHAD

过。作OE1BD交BC于点方.若^CDE的周长为10,则平

行四边形4BCD的周长为.

B

13.若关于x的分式方程合+1=三有增根,则小的值为一

14.如图，已知：ZiMBC的面积为16,8c的长为8,现

将^ABC沿BC向右平移m个单位长度到△DEF的位

置，若四边形的面积为32,则m的值为.

15.如图，等边△ABC,点E为4。边上一点，BC=DC,连A

接CE,CE与BD交于点F,S.CE//AB,若AB=8,CE

则BC的长为.

16.甲、乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，

折线。4B表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段

CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与双小时）之间的函数关系，C（l,0）,则在轿车追

上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为小时.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.已知：如图，乙4BC,射线BC上一点。.求作：等腰△PBD,使线段8D为等腰△PBD

的底边，点P在NABC内部，且点P到乙4BC两边的距离相等.

A

BDC

18.分解因式：

(1)(%-2y)(x+3y)-(x-2y)2；

(2)(/+y2)2-4%2y2.

19.计算题：

⑴解不等式组：厅+32久+1；

(1—3(%—1)V8-x

(2)化简：--x-1；

X-1

(3)解方程：£=言+1.

20.如图所示，乙4=4。=90。，4B=DC,点E,F在力。上且BE=C尸.

⑴求证：乙BEA=ACFD；

(2)若P。平分NEPF,则P。与线段EF有什么关系？请证明你的结论.

21.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”

列车时速更快，安全性更好.已知“太原南-北京西”全程大约500千米，“复兴

号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是

该列“和谐号”列车行驶时间的黄两列车中途停留时间均除外).经查询，“复兴

号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐

“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.

22.已知：平行四边形48CD,对角线AC、8。相交于点0,E是4。的中点，连接OE并延

长至F使得。E=EF,连接尸D,FC,FC交BD于点G求证：

(1)OF=DC；

(2)连接4F,请判断四边形40DF的形状，并证明你的结论.

23.某汽车销售公司经销某品牌4款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今

年5月份4款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的4款汽

车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.

(1)今年5月份4款汽车每辆售价多少万元？

(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知4款汽车每辆

进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金

购进这两款汽车共15辆，且4款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？

(3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车

的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方

案获利相同，a值应是万元.(不必提供求解过程，直接给出a值即可)

24.如图，P是△4BC中，边AB的中点，连接CP并延长，作BE1CP于E,AD1CP,交

CP的延长线于点D.连接ZE,BD.

(1)求证：四边形4DBE是平行四边形；

(2)若BE平分4DBC,求：△ABC与四边形2DBE的面积之比.

BC

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由4x-120得4尤21,故/错误，不符合题意；

由一x>3得x<-3,故8错误，不符合题意；

由—2x<4得">—2,故C错误，不符合题意；

由5>0得y>0，故。正确，符合题意；

故选：D.

根据不等式性质逐项判定即可.

本题考查不等式性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，特别是不等式两边同时乘

除同一个负数，不等号的方向要改变.

2.【答案】C

【解析】解：力、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意：

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.【答案】D

【解析】解：力、a2b-ab2=ab(a-b),故/不符合题意；

B、a2—4b2-(a+2b)(a—2b),故5不符合题意；

Ca3—2a2b+ab2=a(a—b)2,故C不符合题意；

D、a2b2—4a2b+4a2=a2(b—2)2,故。符合题意；

故选：D.

利用提公因式与公式法进行分解，逐一判断即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式,

必须先提公因式.

4.【答案】B

【解析】解：第一个图，左边的图，可以通过一次旋转（绕点。顺时针旋转180）得到右

边的图.

第二个图，左边的图，可以通过一次轴对称（对称轴是直线m）得到右边的图.

第三个图，左边的图，可以通过一次平移（平移的距离是4B的长）得到右边的图.

第四个图，不可能通过一次平移或旋一次旋转或一次轴对称变换得到.

AB

m

故选：B.

根据旋转变换，平移变换，轴对称变换的定义一一判断即可.

本题考查利用平移设计图案，轴对称变换，旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

5.【答案】C

【解析】解：人正五边形每个内角是108。，不能整除360。，不能密铺，不符合题意；

B、正六边形每个内角是120。，能整除360。，故能密铺，不符合题意；

C、正八边形每个内角是135。，不能整除360。，不能密铺，符合题意.

D、正十二边形每个内角是150。，不能整除360。，故不能密铺，不符合题意；

故选：C.

分别求出五边形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件

即可作出判断.

本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内

角度数能整除360。,任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360。.

6.【答案】A

【解析】解：旋转，平移后的图形如图所示，A7(0,5).

画出旋转后的图形即可解决问题.

本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题.

7.【答案】B

【解析】解：由不等式组得，

(xV-2

tx<2a+4>

••・关于x不等式组解集为x<-2,

:.2Q+4之一2,

Aa>-3,

由关于y的分式方程得y=-2+*(y#：-1)

•••其解为负数，

••--2+]<0且-2+*1,

■■a<4且a*2.

•••a为整数，

•••a=-3或-2或-1或0或1或3,

符合条件的a有6个.

故选:B.

表示出不等式组的解集，由不等式组的解集求出a的范围，再由分式方程的解为负数以

及分式有意义的条件，求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件a的个数.

本题主要考查解一元一次方程组以及分式方程的解，熟练掌握分式方程以及一元一次方

程组是本题解题关键.

8.【答案】B

【解析】解：延长4'D'交y轴于点E,延长D'A',由题意。zA'的延长线经过点C,

如图

•••AD=1,^DOA=30°,三角形AD。为直角三角形,

：•AD=1,OD=2,

:.OA=>JAD24-OD2=V124-22=V5-

由题意：AOA'D'^AOAD,

:・A'D'=AD=1,OA/=OA=瓜"=OD=

△A/D'。=/-ADO=90%乙A'OD'=乙DODz.

则ODz14/E,OA平分44'OE,

・・・△4/OE为等腰三角形.

AOE=OA/=V5,ED'=A/D/=1.

vEO1OC,OD'1EC,

OED'CEO.

.ED'_EO

*,ODf—而‘

iVs

:.—="—，

2OC

OC=2V5，

•••C(2V5,0).

故选：B.

延长4'D'交y轴于点E,延长。'A',由题意D'\'的延长线经过点C,利用点4的

坐标可求得线段4D，OD,。4的长，由题意：△04'O'三△。力D,可得对应部分相等；

利用0。'14'E,04平分乙4’0E,可得△▲/0E为等腰三角形，可得OE=OA'=场,

EDz=4'。'=1;利用△OED'saCEO,得到比例式可求线段0C,则点C坐标可

得.

本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判

定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是

解题的关键.

9.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零.

根据分式的值为零的条件得到x-1=0且x40,易得x=1.

【解答】

解：•.•分式?的值为0,

x-1=0且x丰0,

x-1.

故答案为1.

10.【答案】这个三角形中有两个角是直角

【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设这

个三角形中有两个角是直角.

故答案为：这个三角形中有两个角是直角.

根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可.

此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键.

11.【答案】9

【解析】解：设正多边形的每个外角为X。，则内角为3x+20。，

:.x+3x+20=180,

解得x=40,

二边数=360。+40。=9.

故答案为：9.

根据内角和外角的和为180。以及正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20。

可求内角和外角，进而可求边数.

本题考查正多边形的内角和外角，解题关键是熟知正多边形内角和外角的性质.

12.【答案】20

【解析】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

•••OB=OD,AB—CD,AD-BC,

•••OE1BD,

BE=DE,

・••△COE的周长为10,

即CD+DE+EC=10,

二平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+

CD)=2(DE+EC+CD)=2x10=20.

故答案为：20.

由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得

OB=OD,AB=CD,AD-BC,又由。E1BD,即可得OE是8D的垂直平分线，然后

根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=OE,又由△CDE的周长为10,即可求得平

行四边形ABC。的周长.

此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质.此题难度适中，注意掌握数形

结合思想与转化思想的应用.

13.【答案】-2

【解析】解：方程两边同乘以(x-l)化为整式方程得：

X4-14-X—1=—771,

•••分式方程空1+1=/"有增根，

x—11—x

%4-14-x—1=-m的解是％=1,

即1+1+1—1=—

:.m=-2,

故答案为：-2.

利用增根的意义可以求解.

本题考查增根的概念，正确理解增根的含义是解题的关键.

14.【答案】4

【解析】解：如图，过点4向8c作垂线，垂足为H,

^xBCxAH16,

《X8X4H=16,

解得AH=4,

•••△力BC沿BC向右平移zn个单位长度到△CEF的位置，

：.AD—BE-CF=m,

又•.•四边形ABFD的面积为32,

・・qx(4D+BF)x4H=32

x(m+8+m)x4=32

771=4,

即m的值是4.

故答案为：4.

首先过点4向BC作垂线，垂足为H,然后根据三角形的面积的求法，求出4口的值是多少;

最后根据平行四边形的面积的求法，求出BE的值，即可求出m的值是多少.

此题主要考查了平移的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①把一个

图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完

全相同.曾斯图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对

应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

15.【答案】2V7

【解析】解：如图1,连接AC交8。于点。，

是等边三角形，BC=DC,

・•・Z.BAO=Z.DAO=30°,AB=AD=BD=8,

:.BO=OD=4,

・・•CE//AB,

:./.BAO=乙ACE=30°,MED=乙BAD=60°,

・•・Z.DAO=LACE=30°,

-AE=CE=6,

・•・DE=AD-AE=2,

VMED=乙ADB=60°,

EDF是等边三角形，

•••DE=EF=DF=2,

CF=CE-EF=4,OF=OD-DF=2,

OC=VCF2-OF2=2V3(

BC=>JOB2+OC2=2V7.

故答案为：2夕.

连接AC交BD于点0,由等边三角形的性质得出/BA。=^DAO=30。,4B=AD=BD=

8,证出AEDF是等边三角形，由等边三角形的性质得出DE=EF=DF=2,由勾股定

理求出OC和BC的长即可.

本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的性质是本题的

关键.

16.【答案】4或6.8

【解析】解：设线段CD解析式为y=k工+b,将C(l,0),0(7,450)代入得：

(k+b=0

l7fc+/7=450，

解哦:二)

线段CD解析式为y=75x-75(1<x<7),

由图象可得：线段04的解析式为y=30x(0SxW5),

设线段4B的解析式为y=mx+n,将(5,150),(8,450)代入得：

(5m4-n=150

t8m+n=450'

解得c，

二线段AB的解析式为y=100x-350；

庄|(75%-75)—30%=105得：x=4,

由(75x-75)-(100x-350)=105得：x=6.8,

综上所述，所用的时间％为4或6.8小时，

故答案为：4或6.8.

先用待定系数法求出C。、。4AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法求出

函数关系式.

17.【答案】解：•••点P到〃BC两边的距离相等，

.•.点P在/4BC的平分线上；

•••线段B0为等腰△PBO的底边，

PB=PD,

.•.点P在线段BD的垂直平分线上，

.•.点P是N4BC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点,

【解析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型.

根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题.

18.【答案】解：(l)(x-2y)(x+3y)-(x-2y)2

=(x-2y)(x+3y-x+2y)

=5y(x-2y)；

(2)(/+y2)2—4x2y2

=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)

=(x+y)2(x—y)2.

【解析】(1)利用提公因式法，进行分解即可解答；

(2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式,

必须先提公因式.

号+3Nx+l①

19.【答案】解：(1)

.1-3(x-1)<8一x(S)

解不等式⑦得：x<1,

解不等式②ft：久>一2,

・•・原不等式组的解集为：一2<%41；

x2-x2+l

~x-1-

1

=------

x-r

(3)£=含+1，

x(x+2)=12+/—4,

解得：x=4,

检验：当x=4时，x2-40,

x=4是原方程的根.

【解析】(1)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；

(2)根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答；

(3)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，分式的加减法，准确熟练地进行计算是

解题的关键.

20.【答案】(1)证明：在RtaABE和中，

(AB=DC

iBE=CF'

：.Rt△ABE^Rt△DCF^HL),

Z.BEA=Z.CFD-,

(2)解：P。垂直平分EF,理由如下：

•••Z.BEA="FC,

PE=PF,

•••P。平分"PF,

PO1EF,FO=EO,

/.P0垂直平分EF.

【解析】(1)由“HL”可证/?£△ABE三RtZXDCF,可得结论；

(2)由等腰三角形的性质可得结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关

键.

21.【答案】解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则

“和谐号”列车的行驶时间需要Jx小时,

4

,,一500500一八

根据题意得：-=^-+40,

4X

解得：X=|，

经检验，x=|是原分式方程的解，

.18

•■-x+i=?

答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要g小时.

【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车

的行驶时间需要)x小时，根据速度=路程+时间，结合“复兴号”G92次列车平均每小

时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即

可得出结论.

22.【答案】⑴证明：••・四边形ABCD是平行四边形,

OA—OC,

・・•OE=EF,

•••OE=^OF,

•••E是4。中点,。是4c中点，

•••OE是△4C0的中位线，

OE=‘D,

•••OF=DC；

(2)解：四边形ZODF是平行四边形，理由如下：

连接4F,

•••E是40的中点,

AE=ED,

又OE=EF,

二四边形400F是平行四边形.

【解析】⑴由三角形中位线定理得OE=J。，再根据OE=EF,从而得出结论；

(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.

本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四

边形的判定与性质是解题的关键.

23.【答案】0.5

【解析】解：(1)设今年5月份4款汽车每辆售价m万元.根据题意，得:

90_100

—=---,

mm+1

解得：m=9.

经检验，m=9是原方程的根且符合题意.

答：今年5月份4款汽车每辆售价9万元；

(2)设购进4款汽车x辆.根据题意，得：

99<7.5x+6(15-x)<105.

解得：6<x<10.

・••x的正整数解为6,7,8,9,10,

•••共有5种进货方案，

方案1.购进4款汽车6辆，购进B款汽车9辆.

方案2.购进4款汽车7辆，购进B款汽车8辆.

方案3.购进A款汽车8