备战2022年高考数学名师预测模拟卷（上海专用）模拟卷六（解析版）

备战2022年高考名师预测模拟卷(6)

—.填空题(共12小题)

374

1.三阶行列式|1561的值为44.

200

【分析】利用行列式展开式的对角线法则直接求解.

374

【解答】解：|1561=3x5x0+1x0x4+6x7x2-2x5x4-6x0x3-7x1x0=44.

200

故答案为：44.

2.己知集合A=(-oo,2),则AnNu_IO—l}—.

【分析】利用交集定义直接求解.

【解答】解：集合A=(YO,2),

则A0|N={0,1}.

故答案为：{0,1}.

3.与角只乃终边相同的最小正角的大小是-.

6~6~

【分析】根据终边相同角的关系，即可得到结论.

【解答】解：•和U乃终边相同的角为x=U/r+2%r,kwZ,

66

.,•当4=-1时，X=—9

6

.•.与u乃终边相同的最小正角是£,

66

故答案为：

6

4.若O为坐标原点，点4(4,0)、3(4,4)、C(2,6),则直线AC与03交点P的坐标为

(3,3)_.

【分析】分别求出直线直线AC和直线OB的方程，联立方程组，能求出直线AC与。B交点尸的坐标.

【解答】解：・・・O为坐标原点，点A(4,0)、3(4,4)、C(2,6),

v6—0

直线AC的方程为：—整理得：3x+y-12=0,

x-42-4

直线08的方程为：上=±,解得x-y=0.

x4

[3x+y-12=0

联立《，解得x=3，y=3,

[x-y=0

直线AC与OB交点P的坐标为(3,3).

故答案为：(3,3).

5.某次体检测得6位同学的身高分别为172、178、175、180、169、177(单位：厘米)，

则他们身高的中位数是176(厘米).

【分析】把这组数据按从小到大排列，计算该组数据的中位数即可.

【解答】解：把这组数据按从小到大排列为169、172、175、177、178、180,

所以这组数据的中位数是gx(175+177)=176.

故答案为：176.

6.在AA3c中，已知。=60。，b=y[6,c=3,则3=45度.

【分析】利用正弦定理结合大边对大角，容易求出3.

【解答】解：因为C=60°,b=底,c=3,

由正弦定理得一J=—即_一=巫，

sinCsinBsin60°sinB

，sinB=也，又因为b<c,所以3为锐角，

2

故8=45度.

故答案为：45.

7.从3个函数：y=xy=V和y=x中任取2个，其函数相乘所得函数在区间(Y),0)内

单调递增的概率是--

一3一

【分析】基本事件总数〃=C；=3,利用列举法求出其函数相乘所得函数在区间(-oo,0)内单

调递增包含的基本事件有2个，由此能求出其函数相乘所得函数在区间(ro,0)内单调递增

的概率.

【解答】解：从3个函数：y=x3,y=/和y=x中任取2个，

基本事件总数〃=C；=3,

其函数相乘所得函数在区间(-oo,0)内单调递增包含的基本事件有2个，分别为:

323

y=xfy=x^y=x,y=x,

故其函数相乘所得函数在区间(TO,0)内单调递增的概率是尸=』.

3

故答案为：

3

8.已知耳(-2,0)、g(2,0),设P是椭圆/+2;/=8与双曲线尤2-丫2=2的交点之一，则

|「耳||「£|=6.

【分析】求出椭圆与双曲线的交点坐标，然后利用距离公式，转化求解即可.

【解答】解：由题意可得/：+2『=8,x=±2；y=±y/2,不妨尸(2,a),

X2-y=2

所以|能|•|可|=J(2+2)2+(0)2."(2-2)2+(扬2=6.

故答案为：6.

9.(x+y-z)'的展开式中，孙2z?的系数是_一60_.

【分析】由题意利用乘方的意义，组合数公式，得出结论.

【解答】解：(x+y-z)6表示6个因式(x+y-z)的乘积，故其中有一个因式取x,

其中2个因式取y,其余的因式都取-z,

即可得到展开式中孙V的项，故该项的系数为C：•《•(-炉=-60,

故答案为：-60.

10.已知々eR,过定点A的动直线依+y-l=0和过定点5的动直线犬-0-2+3=0交于

点P,则PA2+PB2的值为13.

【分析】由两直线方程可得定点A(0,l),5(-3,-1),再由两直线垂直，求出IAS?进而可以

求解.

【解答】解：由己知可得A(0,l),B(-3,-l),

因为直线fcv+y-1=0与直线x-Ay+3=0互相垂直，

所以PH+PB2=AB2=32+(1+1)2=13,

故答案为：13.

11.已知实数a>0,函数/'(©=--y,g(x)=x+a,若对任意司£[一2々，2〃],总存在

1+ar

e[-2a,2a],使得/(9)，，g(%J，则。的最大值为_43—.

【分析】由题意可得/(%)*,,g(x).,由一次函数的单调性可得g(x)的最小值,讨论当

1

噫/为时，不等式不成立；当-2tz„x<0时，/(x)=———再讨论-2a与一的大小关

ax+—不

x

系，结合单调性求得最值，可得。的不等式，解不等式可得最大值.

【解答】解：对任意演€|-2«,2a],总存在々€[-2”，2a],使得/(x2)，，g(xj，

等价为g(x)而“,

由g(x)=x+a在[-2a,2a]递增，可得g(x)的最小值为g(-2a)=-a,

所以一二7”一a在xe[-2a,2a]成立，

1+ax

当0轰/为时，不等式不成立；

当-2a,,x<0时，/(%)=----j-

QXH----

X

当-2a<一-\=

即时,0)递减，可得

\Ja

1时取得最大值-26

X"而

即有产，可得0<@4-3,综上可得ae0；

一2&

1-1

当一2a..—亍，即0<%43时,y=ar+上在[-2a,0)递减，灯得x=2时取得最大值

X

2a

即有-a..：一2,..,解得o<小不].

-4cr-1

综上可得，。的取值范围是(0,4'5].

即有a的最大值为4；

故答案为：4T.

12.已知边长为2的正方形ABCD边上有两点F、Q,满足|PQ|..l,设O是正方形的中心,

则OPOQ的取值范围是—[-2-1]

【分析】本题可采用数形结合法进行求解，具体过程详见解析.

【解答】解：根据题意，以点。为原点建立平面直角坐标系，设NPOQ=〃，则有

OPOQ=\OP\\OQ\cos0,

又由余弦定理可得，PQ2=OP'+0Q2-2OPOQcos0,

所以OP•OQ•cos6=g(OP?+OQ2-PQ2)

所以O户=户2+O02-尸^].

①当点P,。为正方形对角顶点时，6=180。，此时|O户|=|。。|=夜，

此时，\PQ\=2V2,则有丽•丽=；(2+2—8)=—2,即为的最小值.

②当点P,。在同一条边上时，

若P,Q分别为该边的两个端点时，OPLO。，且OP=OQ=0,PQ=2,此时丽・丽=0,

即为该情况下的最小值；

若点尸为边的中点，。为边的端点时，假设OP=1,OQ=y[2,PQ=\,此时

OP.Og=^x(l+2-l)=l,即为该情况下的最大值.

③当P,。在相邻边上时，只有当OP=OQ时，而取得极值，此时

如述一i)=i.

222

综上可得，而的取值范围为[-2,1].

二.选择题(共4小题)

13.已知复数z="2-3a+(a2-l)i,aeR,贝U“a=0”是"z为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】利用纯虚数的定义求出a,再利用充要条件的定义判定即可.

【解答】解:若复数z="2—3。+d-1»为纯虚数,

则卜2一3"-°，0或a=3，

[a2-1*0

.•.则a=0是z为纯虚数的充分不必要条件，

故选：A.

14.已知/*)=19-4/,有反函数尸(x)=-gj9-4x2,xeA,则/(x)的定义域。

可能是()

A.B.[-1,0JC.10,|JD.[-3,3]

【分析】直接利用原函数的定义域和反函数的值域的关系，不等式的解法，集合间的关系的

应用判断A、B、C、。的结论.

【解答】解：根据原函数和反函数的关系，

原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域；

故函数f(x)的定义域为：9-4/.0,整理得：-|领k|,

反函数尸'(*)=-；＞/9-4犬,的值域为：-|就尸(x)0,

一白3领k-3

故函数的定义域为：.22,故函数的定义域为：xe-3,0],

-|^F'(x)02

13

由于[-5,0]a[-5,0]，

故选：B.

15.若无穷等比数列他“｝各项的和为4,则外的取值范围是()

A.(0,8)B.(0,4)0(4,8)

C.(-8,0)5。，1)D.(-8,0)0(0,1]

a2

【分析】由题意可得：一^—=4,q€(_1,0)0(0,1),可得：a,=4q-4q2=-4(夕-3)2+1，

\-q2

利用二次函数的单调性即可得出.

a?

【解答】解：由题意可得：」匚=4,qe(-l,0)U(0.1),

1-q

可得：a,=4q-4c/2=-4(q—^)2+1,

qe(-l,O)时，a,e(-8,0).

qe(0,1)时，a2G(0,1].

a2e(-8,0)50,1].

故选：D.

16.设。是(0,+oo)的一个子集，称函数尸f(x)(xe£>)为“机智”的，若存在奇函数y=g(x),

使得/(x)=10式%,有两个命题：

①若对任意XV。，都成立Ie。，fd)=—,则y=r(x)是“机智”的；

XXf(x)

②若对任意X,-GD,都成立/(I)=」一,则y=/-(%)是“机智”的.

XX/(X)

则下列判断正确的是()

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是假命题D.①、②都是真命题

【分析】由题设可推导出/(3=—L，分析其定义域即可.

X/(X)

【解答】解：由题可知g(x)为奇函数,则有g(-x)=-g(x),

函数/(x)="网的定义域为{x|x>0},

•/•(!)=1o"他?=1()-$体>=-!—=-J—,

"Jx)10虱则/(x)

即/d)=—L,当且仅当X,'都是。中的元素，

Xf(x)X

而。是(0,+00)的-个子集，故①是真命题，②是假命题，

故选：A.

三.解答题(共5小题)

17.如图，三棱柱4BC-ABC的底面是等腰直角三角形，ZACB=ZBCCt=90°,四边形

4CGA是菱形，ZACC,=120°.

(1)证明：A,C1ABI；

(2)若AC=2,求点G到平面的距离•

(分析】(1)连接AG,证明AC,JLAC.结合BC±AC,8C_LCC；,推出8CJ_平面ACQA,，

即可证明AC_LBC.推出然后证明AC_L平面ABC，进一步得到A。，入用.

(2)作AOLAC于点O，则A。J•平面ABC,求出三棱锥A-的体积，取AB上靠

近A的四等分点。，设点G到平面叱A的距离为〃，根据等体积变换，求解点G到平面

A34A的距离.

【解答】解：(1)证明：连接AG，

因为四边形AACG为菱形，所以4G，AC.

因为3C_LAC,BC1CC,,ACp\CCt=C,

所以8C_L平面ACC|A，旦4Cu平面ACGA，所以ACL3C.

因为8C//BC，所以AC_L4G，

又因为AGrpc=C1,所以4。1,平面426，

又A耳U平面A8C，所以AC_LAB].

(2)由(1)知8CJ■平面AACG，

所以平面AACCJL平面A8C,

作AO-IAC于点O,则A。1平面ABC,

因为四边形AAC0为菱形，幺AC=60。，

所以^AAC为等边三角形，所以O为AC的中点.

三棱锥A-44G的体积sMiCi•A。=言.

取AB上靠近A的四等分点。，则ODL/W,且。。=在，

2

连接AQ,则由AB_LA。，AB_L。。旦OD「|AO=O，

J\A.

所以平面40。，从而A3LA8,则4。二卷一，

从而sAAo=—x2V2xYi己=布,

设点G到平面A84A的距离为〃，

根据等体积变换，则有吃“林:匕.胸，则力=当，

所以点G到平面A84A的距离为零.

18.已知，(x)=log1，-6x+10).

2

(1)解不等式:f(x\,-1；

(2)若y=f(x)在区间［a,a+1］上的最小值为-2,求实数a的值.

【分析】⑴根据1%，-6》+10),,-1,可得f-6x+10..2,然后求出不等式的解集即可;

2

(2)利用复合函数的性质，分a.3,a<2和Z,a<3三种情况，结合条件求出a的值.

【解答】解：(1)根据题意，f(x)的定义域为R.

由log,(x2-6x+10)„-1,得log1，-6x+10)„log12,

222

所以d-6x+10..2,则d-6x+8..O,解得x..4或％,2.

所以不等式f(x)„-1的解集为(-8,2］|J［4,+oo).

(2)^/=X2-6X+10=(X-3)2+1,

因为y=f(x)在区间［a,a+1］上的最小值-2,

所以f=(x-3)2+1,在xe［a,a+1］上的最大值为4,

又当a..3时，r=(x-3)2+l,则f,皿=(a+I-3)2+l=4="=2+石；

当a+【v3,即a<2时，/=(x-3)2+l,则北四=(“-3)2+1=4=a=3—G.

当a<3,,a+l,即2,a<3时，显然f的最大值不能取4.

综上，a=2+石或3-5

19.某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状、

大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图I所示（单位：cm）,将其中一个斜截园柱的侧面沿例

剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线A.BCDA,是函数

f（x）=MCOS（（OA-）+M（--M生）的图象，其中M>0,<y>0,如图2所示.

（1）若“=5,6=13,a=45°,求y=/（x）的解析式；

（2）己知函数y=/（x）的图象与x轴围成区域的面积可由公式S=计算，若制作该种

CO

类弯管的一节圆管所用材料面积（即斜截圆柱的侧面积）等于与之底面相同且高为ac机的圆

柱的面积，求。的值（结果精确到0.01°）.

【分析】（1）利用题中的条件，列出等式，解出参数”，。，即可解出;

（2）将截面画出来,找出等量关系,即可解出.

【解答】解：（1）过点A-C且垂克于底面的平面去截斜截圆柱，截面如图所示:

作AFJ.CE于点F,

依题意两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱,

.•.M=a=5,CE=b=l3,CF=b—a=3,ZCA,D=45°,ZCA.F=45°,

Q

/.AF=------=8

tan45°

底面直径为8,

.•.展开后44=8万，OC=CF=8,

/.A（T乃，0），4（4肛0）,

71,

一=4万

:函数/(x)=Mcos(5)+M(—K^k-),CD

71

CDCD---二-4〃A

.co

1

：.Ct)=—

4

jrjr

把点C(0,8)代入f(x)=Mcos(0x)+M(-一张！k—)得：McosO+M=8,r.M=4,

CDCD

Y

/(x)=4cos—+4(-4通!k4万)•

4

(2)由(1)可知至即为底面周长，底面直径为2二CF=b-a,

cotana

f((S)=M+M=b-a；

b-a24h-a

：.M=--------，/.——=-----71，

2cotana

.­.斜截圆柱侧面积(上巴)%a,

tana22tana

圆柱的面积2万(上幺)2乃a,

2tanatana

b-ab-a/b-a

-------x4x-------=24x(---------)x-2>

tana22tana

tana=1,:.a=45.00°.

22

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：5-\=l有共同的中心和准线,

且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4夜.

(1)求椭圆£的方程；

(2)若过点尸(0,m)存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数加的取值范围.

【分析】(1)求得双曲线的准线方程和渐近线方程，设椭圆的方程］+《=1(。＞方＞0)，

a~h~

运用准线方程和弦长公式，解方程可得〃，。，进而得到椭圆方程：

22

(2)当椭圆的方程为匕+三=1,讨论当-3张M3时，直线和椭圆恒有交点；当相＞3或

96

m＜-3时，设直线方程为y="+m,联立椭圆方程，由判别式大于等于0,可得m,左的

不等式；再将A换为-工，可得〃2,2的不等式，结合不等式有解的条件，可得加的范围;

k

同理可得当椭圆的方程为匕+土=1,可得机的范围.

248

【解答】解：(1)双曲线C:(-t=1的准线为尸土矗，即丫=±3百,

渐近线的方程为：y=土后，

由题意可得椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程£+二=1(〃>6>0),

a-b~

所以可得£=，二一=36,可得从=空上①，

C27

将一可代入椭圆中，可得e+於』，所以I层;

所以弦长为+3|Xj—x21=2x2J③成——~=4\/J,

整理可得乎2=2②,

3/r+a

由①②可得/=24,〃=§,或〃=9,Z?2=6»

3

所以椭圆的方程为上+工=1或E+工匚=1:

96248

(2)当椭圆的方程为《+《=1,

96

当-琛M3时，过点P(0，㈤存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点;

当机>3或〃?<-3时，由题意可得直线的斜率存在且不为0,设为3

联立卜'："+?可得(3+26)/+4最+2裙-18=0,

[3xz+2y=18

由△..0可得(4初2)2-4(3+2k2)(2加-18)..0,

化为优,9+6公，

即汽.亡2①

6

将％换为.，可得味2,,9+,

即」…止2②

k26

首先公二2>0,所以满足①②的％存在等价为o<V*,,i,

66

即3<|相|”V15,

综上可得m的范围是[-715,V15]；

当椭圆的方程为（+*=1,同理可得，”的范围是[-半，浮

21.已知；LeR,一个项数为N的有穷实数列｛%｝（M.3）称为“人数列”，若其满足下列三

个条件：①a,<a2,ax_,>aN；②当1融N-1时，4*/旬;③当1融N-1时，

+M+2,4<4+1

[ak-Aak_t,ak>ak+l

（1）若存在义使得数列1、x、2为“人数列”，求x的值；

（2）已知存在有穷等比数列为''右数列"，求实数4的取值范围；

（3）设&｝是各项均为正整数的2"+1项数列，q=7,与力=9,且当砥今10时，以

勺=4”为通项的数列出｝（0到2"-*,/eN）都是“乙数列”，求数列%最大项的值.

【分析】（1）由题意可得，