2021-2022学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（附答案详解）

2021-2022学年江苏省无锡市惠山区钱桥中学九年级（上）

月考数学试卷（10月份）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.%(%4-3)=0

B.%2-4y=0

C.%2—-=5

X

D.Q%2++c=0(Q、b、c为常数)

2.已知cosa=条且Q是锐角，则a=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.下列图形中不一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个圆C.两个正方形D.两个等边三角形

4.若%2是方程%2-2%-3=0的两根，则+%2+%1%2的值是()

A.1B.—1C.5D.—5

5.如图，已知△4DE和△48C1的相彳以比是1：2,且△力。E

的面积是1,则四边形O3CE的面积是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.如图，在中，4c=90°,AC

()

A.s\nA=-

4

B.cos>l=g

C.cosB=-

4

D.tanB=-

5

如果关于X的一元二次方程a/+2%-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值

范围是（）

A.Q>—1B.a>—1C.a>-1且QH0D.a>一1且aH0

8.如图，直线直线AC和。尸被匕，12,13

果48=3,BC=5,EF=4,那么OE的长是()

AA.—12

5

B.-

5

八20

'T

D.-

3

9.一个三角形的两条边长分别是方程％2-8x+15=0的两根，三角形的周长是12,

则该三角形的面积是()

A.5B.6C.7.5D.12

10.如图，在矩形A8C。中，E是边的中点，BELAC,

垂足为点F,连接OF,分析下列四个结论：

①△AEFS^CAB；®CF=2AF-,®DF=DC；

④tan皿。=V2.

其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

11.如果M=3x,那么x=.

12.若厘=4则巴=____.

n3n

13.松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三

月利润的平均增长率.

14.C是靠近点B的黄金分割点，若4B=10cm,则4C=cm.(结果保留根号)

15.已知△48C中，D是BC上一点,添加一个条件使得AABCSAZMC,则添加的条

件可以是.

16.在△ABC中，(2cos/l-V2)2+|1-tanB|=0,则△ABC一定是：.

17.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点。为位似中心，画

△43(7的位似图形444(?'，使△力BC与AAB'C'的相似比等于2：1,则点A的坐标

为

18.如图，A、&C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同,

那么NBAC的正弦值为

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19.解方程

(l)3x2-2x-1=0；

(2)x(x+2)=2x+4.

20.计算:

(l)2sin30°-cos600；

(2)sin245°+cos2300—tan260°.

21.如图，/为四边形ABC。边CO上一点，连接A尸并延长交BC的延长线于点E,己

知乙。=Z.DCE.

(团)求证：XADFSKECF；

(回)若A3CO为平行四边形，AB=6,EF=2AF,求的长度.

22.如图,在平面直角坐标系中,AOAB的顶点坐标分别为。(0,0),4(2,1),5(1,-2).

(1)以原点。为位似中心，在y轴的右侧按2：1放大，画出ACMB的一个位似△。4/1；

(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的4O2A2B2;

(3)△。&BI与△。2482是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M,并写出

点M的坐标.

23.如图，在nABCO中，点E为C£＞上一点，连接AE,在AE上取一点F,使得乙4FB=ND

求证：AE-BF=BC-BA.

DC

24.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸

大树A8的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45。，再从C点出发沿斜坡

走2国米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端4的仰角为30°,若斜坡CF的坡

比为i=l：3(点E、C、8在同一水平线上).

(1)求王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度；

(2)求大树AB的高度(结果保留根号).

25.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场

预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，

其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价

不能超过进价的200%.

(1)该品牌粽子每个售价为5元，则每天出售多少个？

(2)该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元.

(3)该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，

若不能，请说明理由.

26.如图，在AZBC中，AB=AC=5,BC=6,射线平行于BC,点尸、Q分别是

射线4。与边A8上的两个动点，且保持4P=BQ,过点P作AC的平行线分别交

AB.BC于点E、F

(1)设4P=x,AE=y,试求y关于x的函数关系式；

(2)当AAPQ为直角三角形时，求AP的长；

(3)联结尸。，问：是否可能使△APQ与ABQF相似？若能.请求出此时AP的长；

若不能，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、x(x+3)=0,是一元二次方程，符合题意；

B、x2-4y=0,含有两个未知数，最高次数是2,不是一元二次方程，不符合题意；

、2不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；

Cx--X=5,

D、ax2+bx+c=0(a,b、c为常数)，一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不

能为0,此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一

元二次方程，不符合题意；

故选：A.

根据一元二次方程的概念判断即可.

本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：：cosa=日，且a是锐角，

:.a—30°.

故选：A.

直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：4所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似,

故本选项符合题意；

B.所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；

C所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；

D所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意.

故选：A.

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排

除法求解.

本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑.

4.【答案】B

【解析】解：•.•%!，冷是方程一一2x—3=0的两根，

•••xr+x2=2,xxx2=-3,

:.xr+x2+%iX2=2—3=-1.

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故选：B.

利用根与系数的关系得到匕+上=2,¥62=-3,代入求值即可.

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：•••△4DE与AABC的相似比为1：2,

••・△4DE与△4BC的面积比为1：4.

••.△4DE与四边形DBCE的面积比为1：3.

•••△4DE的面积是1,

二四边形DBCE的面积是3.

故选：B.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△4DE与AABC的面积比，计算得到

答案.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的

关键.

6.【答案】B

【解析】解：NC=90。，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

..cBC3.AC4r,AC4

­••SIIM=cosB=—=-,cosZ=—=tanB=—=

AB5AB5BC3

故选：B.

先利用勾股定理计算出AB,然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断.

本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做乙4的锐角三角函

数.

7.【答案】D

【解析】解：••・关于x的一元二次方程a/+2x-1=0有两个不相等的实数根，

二aH0,4=22—4ax(-1)=4+4a>0,

解得：a>-1且a*0.

故选：D.

根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a*0,4=22-4ax(-1)=4+4a>0,

再求出即可.

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方

程ax2+b“+c=0(a、6、c为常数，a力0),当炉-4加>0时，方程有两个不相等的

实数根；当。2-4这=0时，方程有两个相等的实数根；当炉-4ac<0时，方程没有

实数根.

8.【答案】A

【解析】解：・・•直线匕〃%〃“，

tAB_DE

“BC~EF'

-AB=3,BC=5,EF=4,

.3_DE

二=，

54

12

.・・DE=—.

故选：4

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例

式是解此题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：X2-8X+15=0,

(x-3)(x-5)=0,

x—3=0或x—5=0,

所以Xi=31%2=5,

即三角形的两条边长分别3、5,

而三角形的周长是12,

所以第三边长为7,

因为32+42=52,

所以此三角形为直角三角形，

所以该三角形的面积=|x3x4=6.

故选：B.

先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5,再计算出第三边长为7,接

着利用勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算该

三角形的面积.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解

的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了勾股定理的逆

定理和三角形面积公式.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

①四边形ABC。是矩形，BEVAC,则N4BC=N4FE=90。，又由矩形对边平行得到

/.EAC=Z.ACB,于是△AEFSACAB,故①正确；

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②由4E==；BC,又AD〃BC,所以登=芸=:，故②正确；

22DCFC2

③过。作DM〃BE交AC于N,得到四边形BA〃圮是平行四边形，求出BM叫BC,

得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

CD_b_42

④设4D=a,AB=b,由△BAESAADC,可得。=夜匕，则tan4cAD

布一展一3

故④错误.

【解答】

解：过。作DM〃BE交AC于N,

•••四边形4BCZ)是矩形，

•••AD//BC,/.ABC=90",AD=BC,

■■■BE14c于点F,

：.^EAC=AACB,^ABC=/.AFE=90°,

CAB,故①正确；

ApAp

-AD//BC,:AAEFs&CBF,二言=言,

AE=—AD=-BC>—=—,

22CF2

ACF=2AF,故②正确，

VDE//BM,BE//DM,

二四边形BMDE是平行四边形，

•••BM=DE=-BC,BM=CM,

2

又8F//MN,二CN=NF,

•••BE_LAC于点凡DM//BE,

.-.DNLCF,.-.DF=DC,故③正确；

设AD=a,AB=b,

a

由△BAESAADC,有2=①，即。=或儿

ab

AtanZ.CAD=—=-=—,故④错误，

ADa2

故正确的有①②③，共3个，

故选：B.

11.【答案】0或3

【解析】解：x2=3%,

x2-3x=0,

%(%—3)=0,

x=0,x—3=0,

=0,%2=3,

故答案为：0或3.

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

12.【答案】|

【解析】解：•.•/=1，

n3

7nl2

・•・——1=-,

n3

m5

,_——

n3

故答案为:I

根据型=|,得出三一1=;,从而得出生的值.

n3n3n

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

13.【答案】10%

【解析】解：设商场的二、三月份的总收入平均增长率为X,

由题意得：100(1+x)2=121,

解之得：x=0.1或一2.2；

考虑实际应用，-2.2不合题意舍去；

x—0.1—10%.

答：这个商场的二、三月份的总收入平均增长率为10%,

故答案为：10%.

本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(l+增长率)，利润的平均月增长

率为x,那么根据题意即可得出121=100(1+x)2.

本题考查一元二次方程的应用，解决此类三次变化问题，可利用公式a(l+x)2=c,其

中。是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率.

14.【答案】5V5-5

【解析】

【分析】

考查了黄金分割点的概念.特别注意这里的AC是较长线段；熟记黄金分割的比值进行

计算.

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线

段分割叫做黄金分割，他们的比值(亨)叫做黄金比.根据黄金分割点的定义，知AC

是较长线段，运用黄金分割的比值进行计算即可.

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【解答】

解：由于点C是线段AB的黄金分割点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点.

则AC=10x第=（5V5-5）cm.

故答案为：5V5-5.

15.【答案】乙B=Z.DAC

【解析】解：添加NB=NZMC,

又rZC=Z.C,

ABC^>^DAC,

故答案为：NB=4047（答案不唯一）.

由相似三角形的判定定理可求解.

本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键.

16.【答案】等腰直角三角形

【解析】解：因为（2cosA-V2）2+|l-tanB|=0,

所以2cos4—&=0,且1—tanB=0,

即cosA=争tanB=1,

所以44=45°,48=45°,

所以△4BC是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形.

根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B,进而确定三角形的形状.

本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判

断的前提.

17.【答案】（1,|）或（—1,—|）

【解析】解：在同一象限内，•・・△4BC与△AB'C'是以原点。为位似中心的位似图形，

其中相似比是2：1,A坐标为（2,3）,

・••则点4的坐标为：（1,|）,

不在同一象限内，「△ABC与△AB'C'是以原点。为位似中心的位似图形，其中相似比

是2：1,A坐标为（2,3）,

二则点4'的坐标为：（―1,—|），

故答案为：（1,|）或（―1,—1

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似

图形对应点的坐标的比等于％或-%即可求得答案.

此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，属于基础题.

18.【答案】f

【解析】解：连接8C,如图，5—

vCB=Vl2+22=y[5,AC=Vl2+22=V5MB=Vl2+32=V10,

:.CB2+C/l2=4/,|\

・•.△ZCB为直角三角形，乙4cB=90°,VJ

A

.BC“V2

sinZ-BAC=—=-7==—,

ABV102

即NR4C的正弦值为当

故答案为孝.

连接BC,如图，先利用网格特点和勾股定理计算出CB=遍，AC=瓜AB=V10,

再利用勾股定理的逆定理可证明AZCB为直角三角形，4ACB=90。，然后根据正弦的

定义求解.

本题考查了锐角三角函数的定义：在RtAABC中，NC=90。.锐角A的对边。与斜边c

的比叫做4月的正弦，记作sinA也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.

19.【答案】解：(l)3x2-2x-l=0,

(3x+1)(%—1)=0,

3%+1=0或x—1=0,

1(

/=X2=1；

(2)x(%+2)=2%+4,

x(x+2)—2(%+2)=0,

Q+2)(%-2)=0,

x+2=0或％—2=0,

=—2,%2=2.

【解析】(1)(2)利用因式分解法解出方程.

本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题

的关键.

20.【答案】解：(l)2sin30°-cos60°

i

2’

(2)sin245°+cos230°—tan260°

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V2,V3,「,

=（E）+（2）（百）

13

=-4---3

24

7

=-----

4'

【解析】（1）把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答；

（2）把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答.

本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

21.【答案】（1）证明：NC=NDCE,乙DFA=4CFE,

ADF0°AECF；

（2）解：:2BCD为平行四边形，

：.AD//BE,AB=CD,

.竺_竺

"AF-FD'

■：AB=6,EF=2AF,

6-DF„

••­—=2»

•••DF=2.

【解析】（1）利用相似三角形的判定即可证明△ADFSAECp.

（2）先证明4D〃BE,再利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，即可求出尸。的长

度.

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，注意应用图形中的隐含条件

是解决本题的关键.

22.【答案】解：（1）如图，为所作;

（2）如图，△外必口?为所作；

(3)△04津1和△024B2是位似图形：如图，点M为所求,坐标为(一4,2).

【解析】(1)把A、B的横纵坐标都乘以2得到&、Bi的坐标，然后描点即可；

(2)利用点平移的坐标规律写出出、在2、B2的坐标，然后描点即可；

(3)延长4遇2、。。2、B$2,它们相交于M点，则可判断△04/1与△O24B2是位似图

形.

本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接

并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形

的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了平移变换.

23.【答案】证明：•••四边形A8c。是平行四边形，

AD=BC,AB//CD,

・•・Z-DEA=Z.BAF,

又•・,Z.AFB=乙D,

ADEs〉BFA,

BA_BF

••AE-AD9

:.AE•BF=AB•AD=BC•BA.

【解析】由平行四边形的性质可得40=8C,AB//CD,通过证明可

得*条可得结论•

本题考查了相似三角形的判定和性质在，平行四边形的性质，证明三角形的相似是解题

的关键.

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24.【答案】解：(1)过点。作OHJ.CE于点，,

・•斜坡C尸的坡比为i=1：3,

DH1

:，-C-H=一,3

设DH=x米，CH=3x米，

DH2+CH2=DC2,

：.X2+(3x)2=(2V10)2,

•**x=2,

DH=2米，CH=6米，

答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；

(2)过点。作DG14B于点G,

■■■Z.DHB=乙DGB=4ABe=90°,

.•.四边形。"BG为矩形，

设8c=y米

DH=BG=2米，DG=BH=(y+6)米，

•­•LACB=45°,

BC=4B=y米，

：.AG=(y—2)米，

•••^ADG=30°,

•D••G——tan30°3——,

:.匕=叵,

y+63

■■y=6+4V5,

•••AB=(6+4圾米.

答：大树AB的高度是(6+4V^)米.

【解析】(1)作DH1CE于H,解RtACDH,即可求出OH；

(2)过点。作DG148于点G,设8C=x米，用x表示出AG、DG,根据tan乙4DG=丝列

DG

出方程，解方程得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯

角的概念是解题的关键.

25.【答案】解：(1)500-10x10=400(个)，

答：每天出售400个；

(2)设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元，

根据题意得:(x-3)(500-10X^)=800,

解得%1=7,x2=5,

•售价不能超过进价的200%,

A%<3x200%,即％<6,

%~5,

・・・定价为5元时，每天的利润为800元；

(3)不能.

理由：设每个粽子的定价为机元，则每天的利润为他则有：

m—4

w=(m-3)(500-10x

=(m-3)(500-100m+400)

=-100(m-3)(?n-9)

=-100(7n2-12m4-27)

=-100[(m-6)2-9]

=-100(m-6)2+900,

•••二次项系数为一100<0,m<6,

••・当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元，不能达到1000元.

【解析】(1)售价提高1元，销售量降低100个；

(2)根据每个粽子的利润x销售量=总利润列方程解答；

(3)利用配