2021-2022学年湖南省长沙市开福区湘九年级（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖南省长沙市开福区湘一立信实验学校九

年级（上）第一次月考数学试卷

1.在实数一1,-V2,0,；中，最小的实数是（）

4

A.—1B.—C.0D.—V2

4

2.长沙作为新晋网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，五一期间长

沙地铁日均客运量为2500000人次，将数据2500000料学计数法表示为（）

A.2.5x106B.2.5x105C.0.25x107D.25x105

3.下列图形是中心对称图形的是（）

C.

4.下列运算正确的是()

A.a-a5=a5B.(—a3)2-a6C.a84-a2=a4D.a3+a3=a6

5.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当=35°时，42的度数为（）

A.35°B.45。C.55。D.65。

6.甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均数都是85分，方差

分别是：S]=3.8,S；=2,7,S%=6.2,S%=5.1,则四个人中成绩最稳定的是（）

AJ甲B.乙C.丙D.T

7.关于一次函数y=-3乂+1,下列说法正确的是（）

A.图象过点（-1,3）B.y随x的增大而增大

C.图象经过第一、二、三象限D.与y轴的交点坐标为（0,1）

8.如图，圆。是△4C0的外接圆,48是圆。的直径,NB40=48°,

9.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

10.如图，抛物线y=-4与x轴交于4、B两点,P是以点C（0,3）为圆心，2为半径

的圆上的动点，Q是线段的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（）

A.3B.—C.-D.4

22

11.分解因式：2a2-18=.

12.如图，AB为。0的直径，弦CDJ.4B于点E,已知CD=6,

AB=10,则BE的长为.

13.如图，点。是菱形4BC。对角线的交点，DE〃4C,CE〃BD,连接OE,设4c=12,

BD=16,则OE的长为.

14.已知x=2是关于x的一元二次方程卜/+（/£2一2）%+2/£+4=0的一个根，则左

的值为.

15.如图，每个小正方形的边长为1,在AABC中，点O,E分

别为48,AC的中点，则线段OE的长为.

16.某校举办数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学得了前5名.发奖前，老师让他

们猜一猜各人的名次排列情况.

甲说：“乙是第三名，丙是第五名.”乙说：“戊是第四名，丁是第五名.”

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丙说：“甲是第一名，戊是第四名.”丁说：“丙是第一名，丁是第二名.”

戊说：“甲是第三名，丁是第四名.”

老师说每个名次都有人猜对，则获得第一名的同学是.

17.计算：3°+V8-(i)-2+|-3|.

18.先化简，再求值：(立尹+学;)+工，其中x=3

x2-xx2+2xyX2

19.如图，在A4BC中，48=4C,小雅同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点G,H,分别以G,H

为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点作射线AM交BC于点Q；

②分别以A,B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E,F,作直线EF交

射线AM于点P；

③连接P8,PC.

请你根据以上信息解答下列问题：

(1)线段PA,PB,PC的数量关系为；

(2)若乙4BC=70。，求/BPC的度数.

20.某校有学生4000人，在“文明我先行”的活动中，开设了“法律、礼仪、感恩、

环保、互助”五门校本课程，规定每位学生必须且只能选一门.为了解学生的报名

意向，学校随机调查了100名学生，并制成如下统计表：

课程类别频数频率

法律80.08

礼仪a0.20

感恩270.27

环保btn

互助150.15

合计1001.00

(1)在这次调查活动中，学校采取的调查的方式是(填写“普查”或“抽样调

查”);

(2)求a、b、〃，的值；

(3)如果要画“校本课程报名意向扇形统计图”，那么“礼仪”类校本课程所对应

的扇形圆心角应为多少度？

(4)请你统计，全校选择“感恩”类校本课程的学生约有多少人？

21.如图，在RtAABC中，N4c8=90。，。为AB的中点，S.AE//CD,CE//AB.

(1)证明：四边形AQCE是菱形；

(2)若48=60。，BC=6,求菱形AOCE的高.(计算结果保留根号)

22.9月30日，某市53万余名初三学生回到阔别100多天的校园.为了返校学生的安

全，快速筛查体温异常学生，某校打算在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主

任及相关人员手中，购买前有A,8两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额

温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型

额温枪的数量相等.

(1)每只A型，8型额温的价格各是多少元？

(2)该校欲购进4,B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过

5800元，则最多可购进A型号额温枪多少只？

23.如图，在△ABC中，BD=DC,以4B为直径的。。交8C于点。，过点。作OEJ.AC,

垂足为E.

(1)求证：AB=AC；

(2)判断直线OE与。。的位置关系，并说明理由.

24.关于x的方程g2+"+，=0。。0)两根分别为与和犯，若一个根是另一个根的

两倍，则称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线/与抛物线C相交于A、8两

点，其中一点的横坐标等于另一点横坐标的2倍，则称这样的直线/与抛物线C互

为“立信二倍函数”.

(1)若(x+1)(2%-k)=0是“立信二倍根方程”，求k的值；

(2)直线I：y=mx+1与抛物线y=x2-mx+巾2互为"立信二倍函数”求抛物线

的解析式；

(3)直线l：y=tx+d与抛物线C-.y-2x2+px+q(q丰d)互为“立信二倍函数”，

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若直线/与抛物线C相交于2(X1，%)、B(*2，y2)两点，且2+2t2<AB2<3+3t2,

求IP—1|的取值范围.

25.如图，平面直角坐标系中，以M(3,0)为圆心的OM交X轴A、B,交)，轴于C、D

且C(0,4).

(1)求G)M的半径及点A、B坐标；

(2)在0M上是否存在点P,使4cpM=45°,若存在，求出P点的坐标，若不存在,

请说明理由.

(3)当点尸在。M上运动时，使得△力CP为等腰三角形，求出此时点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：|—V2|>|-1|,

-1>—V2,

・♦・实数-1,-V2,0,二中，一鱼V-1VOV±

44

故4个实数中最小的实数是：-近.

故选：D.

直接利用实数比较大小的方法得出答案.

此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：2500000=2.5X106.

故选：4

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>10时，”是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1S

|a|<10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.【答案】C

【解析】解：4不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意；

。不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形就叫做中心对称图形，据此可得结论.

本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键.

4.【答案】B

【解析】解：a-a5=a6,故选项A不合题意；

(-a3)2=a6,正确，故选项8符合题意；

as^a2=a6,故选项C不合题意；

a3+a3=2a3,故选项。不合题意.

故选：B.

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分别根据同底数昂的乘法法则，幕的乘方运算法则，同底数幕的除法法则以及合并同类

项的法则逐一判断即可.

本题主要考查了同底数幕的乘除法，幕的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则，熟记

相关运算法则是解答本题的关键.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.先根据平行

线的性质求出43的度数，再由余角的定义即可得出结论.

【解答】

解：•••直尺的两边互相平行，41=35。，.--------------------7

•••43=35°.

•••Z2+Z.3=90°,

Z2=55".

故选：C.

6.【答案】B

【解析】解：•・•5%=3.8,S；=2.7,S$=6.2,S>=5.1,

二四个人中成绩最稳定的是乙，

故选：B.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案.

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数

据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布

比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

7.【答案】D

【解析】解：A、当％=-1,y=-3x+l=-3x（-1）+1=4,则点（一1,3）不在函数

y=—3x+l图象上，所以A选项错误；

B、由于k=一3<0,则y随x增大而减小，所以B选项错误；

C、由于上=一3<0,则函数y=-3x+1的图象必过第二、四象限，6=1>0,图象

与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，所以C选项错误.

D、与），轴的交点坐标为（0,1）,所以。选项正确；

故选：D.

把点（一1,3）代入、=一3%+1即可判断函数图象不过点（一1,3）；根据卜=一3<0,图象

经过第二、四象限，），随x增大而减小即可判断B,C选项的正误；当x=0时，y=l,

因此图象与y轴的交点坐标是(0,1).

本题考查了一次函数丫=kx+”卜片0)的性质：当k>0,图象经过第一、三象限，y

随x增大而增大；当k<0,图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b>0,图

象与y轴的交点在x的上方；当6=0,图象经过原点；当b<0,图象与y轴的交点在

x的下方.

8.【答案】B

【解析】解：:/IB为。。的直径，

•••Z.ADB=90",

ZS=180°-乙ADB-/.BAD=180°-90°-48°=42°,

4C=NB=42".

故选：B.

先根据直径所对的圆周角为直角得到NADB=90。，再利用三角形内角和定理可计算出

kB=42。，然后根据圆周角定理即可得到4c的度数.

本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一

条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角.

9.【答案】D

【解析】解：利用排除法分析四个选项：

4、菱形的对角线互相垂直且平分，故4错误；

8、对角线互相平分的四边形式应该是平行四边形，故B错误；

C、对角线互相垂直的四边形并不能断定为平行四边形，故C错误；

。、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故。正确.

故选：D.

利用多边形对角线的性质，分析四个选项即可得出结论.

本题考查了多变形对角线的性质，解题的关键是牢记各特殊图形对角线的性质即可解决

该题.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过

来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三角形中位

线.

连接8P,如图，先解方程*一4=0得4(一4,0),5(4,0),再判断。。为△4BP的中位

线得到OQ=1BP,利用点与圆的位置关系，8P过圆心C时，BP最大，如图，点尸运

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动到P'位置时，BP最大,然后计算出BP'即可得到线段0Q的最大值.

【解答】

解：连接BP,如图，

当y=。时,—4=0,解得与

则做一4,0),5(4,0),

则04=OB=4,

1••Q是线段PA的中点，

•••OQ为ZMBP的中位线，

OQ=\BP,

当2尸最大时，。。最大，

而8P过圆心C时，BP最大，如图，点P运动到P'位置时，BP最大,

vBC=V32+42=5,

・・・BP'=5+2=7,

••・线段。。的最大值是《

故选：C.

11.【答案】2(a+3)(a—3)

【解析】解：2a2-18=2(a2-9)

=2(a+3)(a—3).

故答案为：2(a+3)(a-3).

首先提取公因式2,再利用平方差公式分解因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

12.【答案】1

【解析】解：连接OC,如图，

vCD1AB,

•••CE=DE=-CD=3,

2

在Rt△OCE中，CE=3,OC=5,

•••OE=V52-32=4,

BE=OB-0E=5-4=1.

故答案为：1.

连接OC,如图，先根据垂径定理得到CE=OE=3,再利用勾股定理计算出。E,然后

计算OB-OE即可.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.利用

OC构建直角三角形是解决问题的关键.

13.【答案】10

【解析】解：•­•DE//AC,CE//BD,

四边形OCED为平行四边形，

•••四边形A8CO是菱形，AC=12,BD=16,

11

.-.ACLBD,0A=0C=-AC=6,0B=0D=-BD=8,

：.4DOC=90。，CD=70c2+OD2=V62+82=10,

・•・平行四边形OCE。为矩形，

.•・OE—CD=10,

故答案为：10.

由菱形的性质和勾股定理求出CD=10,证出平行四边形OC£Q为矩形，则根据矩形的

对角线相等得OE=CD=10.

本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌

握矩形的判定与性质是解题的关键.

14.【答案】一3

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解.把x=2代入k/+也2-2）x+2k+4=0得4k+2/c2-4+2fc+4=0,

再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值.

【解答】

解：把x=2代入k/+（1—2）%+2/c+4=0得4k+2/c2-4+2/c+4=0,

整理得H+3k=0,解得总=0,k2=—3,

因为kH0,

所以k的值为一3.

故答案为-3.

15.【答案】"

【解析】解：在中，

由勾股定理可知：BC=VCF2+6F2V42+I2=V17,

・・•点D、E分别为A8、4c的中点，T\-:

1vi7

DE=-BC=—.F-C

故答案为：浮

首先依据勾股定理求得8c的长，然后再依据三角形的中位线定理求解即可.

本题主要考查的是勾股定理、三角形的中位线定理，根据勾股定理求得BC的长是解题

的关键.

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16.【答案】甲

【解析】解：这里，只有戊的名次是重复的，所以戊一定是第四名，

戊是第四名的话，那丁就一定不是第四名，且只有一人猜了乙的名次，故乙一定是第三

名，只有两人猜了甲的名次，则甲是第一名，只有两人猜了丙，则丙只能是第五名，故

丁是第二名.

总结下来，名次是：甲是第一名，丁是第二名，乙是第三名，戊是第四名，丙是第五名，

则获得第一名的同学是甲，

故答案是：甲.

从各人的名次排列情况来分析，从“每个名次都有人猜对”入手分析，只有戊的名次是

重复的，所以戊一定是第四名.然后据此一一进行排除.

本题主要考查推理能力，关键是认真审题，依次假设，进而得出与问题相符的结论.

17.【答案】解：原式=1+2近一4+3=2/

【解析】直接利用零指数基的性质、负指数嘉的性质以及绝对值的性质、二次根式的性

质分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

,X2-2X+1,X2-4、1

18.【答案】解:

2

=(x-l)(x+2)("2)；1

-Lx(x-1)+—x(x4-2)-J,%

x—1+%—2

-----------------x

x

=2%—3,

当x=|时，原式=2x|—3

=3-3

=0.

【解析】先把括号里的分式进行化筒，然后利用同分母分式加减法法则进行计算，再算

括号外，最后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答.

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

19.【答案】PA=PB=PC

【解析】解：（1）由作图可知，EF垂直平分线段AB,

AD垂直平分线段BC,

•••PA=PB,PB=PC,

PA=PB=PC,

故答案为：PA=PB=PC.

(2)vAB=AC,

・•・乙ABC=乙ACB=70°,

・・.乙B4C=180°-140°=40°,

•・•£.BAD=/-CAD=-^BAC=20°,PA=PB=PC,

2

•••乙PBA=/.PAB=20°,APAC=^PCA=20°,

Z.PBC=乙PCB=50°,

•••Z.BPC=180°-50°-50°=80°.

(1)根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可.

(2)想办法求出NPBC=乙PCB=50°,可得结论.

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】抽样调查

【解析】解：(1)在这次调查活动中，学校采取的调查的方式是抽样调查，

故答案为：抽样调查；

(2)a=0.20x100=20,

m=1.00-0.15-0.27-0.20-0.08=0.3,

b=0.3x100=30；

故a=20,b—30.m-0.3；

(3)因为调查了100名学生，报礼仪”类校本课程的有20人，频率为0.20,

所以报礼仪类校本课程对应的扇形圆心角的度数是0.20X360。=72。；

(4)因为在频数表中，“感恩”占27,

所以选择“感恩”类校本课程的学生约有4000x系=1080(人)，

答：全校选择“感恩”类校本课程的学生约有1080人.

(1)根据抽样调查的概念可得答案；

(2)根据频率=频数+总数及频率之和等于1求解即可；

(3)用360。乘以“礼仪”类校本课程人数所占比例即可；

(4)用总人数乘以样本中选择“感恩”类校本课程的学生人数所占比例即可.

此题考查了频率分布表，读懂统计表，从表中得到必要的信息，解题方法要灵活多样,

要充分运用数形结合思想来解决由统计表的形式给出的数学实际问题.

21.【答案】(1)证明：vAE//CD,CE//AB,

四边形ADCE是平行四边形，

X---/.ACB=90°,。是的中点，

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CD=-AB=BD=AD,

2

•••平行四边形AOCE是菱形；

(2)解：过点。作DFJ.CE,垂足为点尸，如图所示:

£>F即为菱形ADCE的高，

•:乙B=60°,CD=BD,

.•.△BCD是等边三角形，

•••乙BDC=乙BCD=60°,CD=BC=6,

vCE//AB,

•••乙DCE=KBDC=60°,4CDF=30。，

又CD=BC=6,

.•.在RtACDF中，CF=-CD=3,

2

VDF2+CF2=CD2,

DF=VCD2-CF2=V36-9=V27=3痘.

【解析】本题考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含30。角

的直角三角形性质，熟练掌握基本的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

(1)先证明四边形AOCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；

(2)过点。作DF1CE,垂足为点F；先证明△BCO是等边三角形，得出NBDC=乙BCD=

60°,CD=BC=6,再由平行线的性质得出4DCE=ZBDC=60。，在世△CD/中，根

据勾股定理求出OF即可.

22.【答案】解：(1)设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是。一20)元，

依题意得：—.

xx-20

解得：x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，

•••X-20=200-20=180.

答：A型额温枪的价格是200元，8型额温枪的价格是180元.

(2)设购进A型号额温枪m只，则购进B型号额温枪(30-m)只，

依题意得：200m+180(30-山)45800,

解得：m<20,

m的最大值为20.

答：最多可购进4型号额温枪20只.

【解析】(1)设4型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是(％-20)元，利用数量=

总价+单价，结合用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等,

即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出4型额温枪的价格，再将其代入(X-

20)中即可求出8型额温枪的价格；

(2)设购进A型号额温枪m只，则购进B型号额温枪(30-m)只，利用总价=单价x数量，

结合总价不超过5800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得

出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关健是：(1)找准等量

关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23.【答案】⑴证明：•••4B为O。的直径,

•••AD1BC,

在Rt△4DB和Rt△/WC中，

(AD=AD

US=AC'

•••RtAABD三Rt△ACD(HL'),

：.AB=AC

(2)解：直线OE与。。相切，理由如下：

连接on,如图所示：

由△ABDWAACD知：BD=DC,

又•••0A=0B,

..。0为△4BC的中位线，

•••OD//AC,

DE1AC,

•••0D1DE,

•・•。。为。。的半径，

••.CE与。。相切.

【解析】⑴利用HL证明RM4B0三RtAACD,可得结论：

(2)连接OD,利用三角形中位线定理可得。。〃力C,从而证明。。1DE,即可证明结论.

本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握切

线的判定方法是解题的关键.

24.【答案】解：(1)v(x+1)(2%-k)=0,

■-x+1=0,2x—k=0,

**•X]——1■1,%2=-1K1>

当与=2尤2时，即—1=k,解得：k=—1,

当小=2%1时，Bp|fc=2x(-1),解得：k=-4,

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故k=-1或一4；

(2)由题意得：x2—mx+m2=mx+1,

整理得：x2—2mx+(m2—1)=0,

=2

则4-x22m,xrx2=m-1,而％】=2x2,

解得：m=±3,

则二次函数的表达式为：y=%24-3%+9或y=%2-3%+9；

(3)tx+d=2x2+p%+q,

整理得：2x2+(p-t)x+(q-d)=0,

xx=-设：

i+2