2022年新高考数学一轮复习3

专题3.5指数与指数函数

练基础

1.（2021•山东）设全集U=R,集合4={-1,0,1,2021},B={y|y=2，，则4门为8=（）

A.{-1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0,2021）

【答案】B

【解析】

利用指数函数的性质求解集合8,再求集合的补集，交集即可.

【详解】

由题知5={y=2*}=（0,+8）,二匹8=（-oo,0]

又4={一1,0,1,2021},则Ac6u3={-l,0},

故选：B.

2.（2019•贵州省织金县第二中学高一期中）函数=且过定点（）

A.（1,1）B.（1,0）C.（1,0）D.（1,1）

【答案】D

【解析】

令2x—l=0=x=g,所以函数（。＞0且awl）过定点（g/）.

3.（2021•江西高三二模（文））下列函数中，在（0,+s）上单调递增的是（）

A.y--x2+1B.y=C.y=x3D.y=2~x

【答案】C

【解析】

利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据基函数和对数函数的性质判定C.D.

【详解】

A中，y=-/+l的图象关于y轴对称，开口向下的抛物线，在（0,+“）上单调递减，故A不对；

BU」，y=|x-l|的图像关于直线x=l对称，在（7,1）上单调递减，在（1,+°0）上单调递增，故排除B；

C。由幕函数的性质可知y=d在(o,+8)上单调递增，故C正确；

D中，根据指数函数的性质可得>=2-x=(g)在(一8，+8)上单调递减，故排除D；

故选：C.

4.(2020.浙江高三月考)当x>()时，"函数y=(3a—1)一、的值恒小于1”的一个充分不必要条件是()

122

A.Q<—B.a>—C・Q<—D.a>l

333

【答案】D

【解析】

2

由指数函数的图象与性质可得原命题等价于a>§,再由充分不必要条件的概念即可得解.

【详解】

_2

若当x>0时，函数y=(3a—l)r的值恒小于1,则3。一1>1即。>§，

所以当x>0时，函数y=(3a—l)r的值恒小于1的一个充分不必要条件是a>l.

故选：D.

5.(2019•浙江高三专题练习)已知函数/(x)=(x-a)(x->)(其中”>。)的图象如图所示，则函数

g(x)=a、+b的图象是()

yy

__.x—--*

【答案】c

【解析】

由二次函数的图象确定的取值范围，然后可确定g(x)的图象.

【详解】

由函数的图象可知，一1(人<0,则g(x)=a*+Zr为增函数，g(0)1+6>0,g(x)过定点(0/+打,

故选：C.

6.(2021•浙江高三专题练习)不等式2k“<4的解集是()

A.(-1,3)B.(3,-1)11(3,”)

C.(-3,1)D.—)51,”)

【答案】A

【解析】

根据题意得归-1<2,再解绝对值不等式即可得答案.

【详解】

解:由指数函数y=2*在R上单调递增,"曰<4=22，

所以,一1|<2,进而得一2<%—1<2,即-l<x<3.

故选：A.

7.(2021•浙江高三专题练习)已知函数y=ai+l(a>0,且awl)的图象恒过定点P,若点P在基

函数/(x)的图象上，则基函数/(x)的图象大致是()

【答案】B

【解析】

由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得基函数解析式，确定图象.

【详解】

由*一4=0得x=4,y=2,即定点为（4,2）,

设/（幻=/，则4a=2，a=g，所以/（x）=j,图象为B.

故选：B.

8.（2021•山东高三三模）已知1<，<,,"=相,N=a”,P=/，则M,N,P的大小关系正确的为（

ab

A.N<M<PB.P<M<N

C.M<P<ND.P<N<M

【答案】B

【解析】

根据指数函数与黑函数的单调性即可求解.

【详解】

解：".<1<一<一,

ab

：.0<b<a<\,

指数函数y=a*在A上单调递减，

.♦.4>，，即N>M,

又幕函数y=/在（0,+。）上单调递增,

a（>>ha«即M>尸,

：.N>M>P,

故选：B.

函数〃）羡（）的图象可能为（）

9.【多选题】（2021•全国高三专题练习）x=2'+aeR

【答案】ABD

【解析】

根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给。赋值，判断选项.

【详解】

当a=00寸，"X)=2',图象A满足；

当a=l时，"x)=2'+/，"0)=2,且〃=此时函数是偶函数，关于丁轴对称，图象B

满足；

当°=一1时，f(x)=2'-^,f(0)=0,且/(T)=—/(X),此时函数是奇函数，关于原点对称，图

象D满足；

图象C过点(0,1),此时a=0,故C不成立.

故选：ABD

10.【多选题】(2021•全国高三专题练习)已知/(幻=6一'+履,”为常数)，那么函数的图象不可能

【答案】AD

【解析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当后=1时•，="为偶函数，当上=一1时,

f(x)=e-'-e'为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案.

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性.

当上=1时，+"'为偶函数,

“1x20时，f=且单调递增，而y=，+；在[1,+8）上单调递增，

故函数/（x）=e7+e"在xe[0,x。）上单调递增，故选项C正确，。错误;

当人=一1时，/（x）=e7—e',为奇函数，

当尤20时，且单调递增，而y=1—f在re口,长。）上单调递减，

t

故函数/（©=/工一/在1£2,+8）上单调递减，故选项8正确，A错误.

故选:AD

2r%0

1.（2021•浙江金华市•高三其他模拟）己知函数/（幻=<'-，若对于任意一个正数〃，不等式

kx+b,x<0

"（无）一/（0）|>；在上都有解，则人力的取值范围是（）

A.Z:eR,Z>el-oo,jlulj,+ooB.k<0,be

C.keR,/?e^—,+oojD.k<0,/7e^-oo,y

【答案】A

【解析】

由不等式可知，结合图象，分析可得4,6的取值范围.

【详解】

当xNO时，|2'-1卜：，得2*2：,Vxe（-a,a）,不能满足2、2g都有解;

当”0时，得〃x）>g或〃x）<g，

42

如图，当Z20或&<0时，只需满足匕〉一或分<一,满足条件.

33

故选：A

2.(2021•安徽芜湖市•高三二模(理))函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当时，/(%)="(。>1).

若对任意的xe[02+l],均有y(x+r)斗/Xx)]',则实数r的最大值是()

41cc1

A.---B.—C.0D.一

936

【答案】A

【解析】

首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成

立问题即可求解.

【详解】

♦••/(X)是定义在R上的偶函数，且当x»()时，,f(x)=a%a>l),

/(x)=""(">1),当x2()时为增函数，

=(叫="阿=〃3x),

则f(x+t)>[/(x)]3等价于/(x+r)>/(3x),

即|尤+4习3R，即8x2-2tx—f24()对任意x«(),2/+11恒成立，

设g(x)=8x2-2tx-t2,

则有"g!)、=8⑵+1)~—2,(2f+1)-J40,解得—±

g(2f+l)W0'/'，39

14

乂<2,+1>0,***—</W—.

29

故选：A.

3.（2021.辽宁沈阳市.高三三模）已知xe（l,2）,a=2/,6=（2'y,c=22”,则。也。的大小关系为（）

A.a>b>cB.h>c>aC.h>a>cD.c>a>h

【答案】B

【解析】

根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当xe（l,2）时炉,2%2、的大小，利用特值法即可求得结果.

【详解】

因为匕=（2*y=22*,函数y=2*是单调增函数，

所以比较a,b,c的大小，只需比较当xe（l,2）时x2,2x,2,的大小即可.

3

用特殊值法，取x=1.5,容易知x2=2252x=32"=2*，

再对其均平方得（炉了=2.252=5.0625,（2x）2=9,（2'）2=23=8,

显然（2x）2=9>（2V）2=23=8>（X2）2=2.252=5.0625,

所以2x>2*>f,所以b>c>a

故选：B.

4.（2021.江苏苏州市.高三其他模拟）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称

为衰减率），户与死亡年数/之间的函数关系式为P=（g）：（其中。为常数），大约每经过5730年衰减为原来

的一半，这个时间称为“半衰期''.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推

断该文物属于（）参考数据：log2（）-79a-0.34.

参考时间轴：

A.战国B.汉C.唐D.宋

【答案】B

【解析】

根据“半衰期，，得。=5730,进而解方程0.79=（3）旃得1948.2,进而可推算其所处朝代.

【详解】

15730

由题可知，当f=5730时，P=—,故2_=（_1］丁，解得a=5730，

22⑴

所以尸=（gj73。，所以当p=o.79时，解方程0.79=。）两

两边取以2为底的对■数得log,0.79=log,«-0.34-解得/口-1948.2,

5730

所以2021-1948.2=72.8G(-202,220),

所以可推断该文物属于汉朝.

故选：B

5.（2021•河南高三月考（理））设实数。，匕满足5"+11"=18"，7"+9〃=15"，则的大小关系为（）

A.a<hB.a=bC.a>hD.无法比较

【答案】A

【解析】

从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.

【详解】

假设。之力,则11"211"，1a>lb>

由5"+1=18"得5"+11"218"n(―)a+(—)u>1,

因函数f(x)=(9)'+(U)x在R上单调递减,又/⑴=』+口=3<1,则⑴，所以a<l；

1818181818

（W

由7"+9*=15a得7b+9*<15*=><1,

797916

因函数g(x)=(F)*+(正厂在R上单调递减，又g6=百+百=百>1,则g(b)wl<g(l),所以b>l：

即有。<1<人与假设“26矛盾,，所以a<b,

故选：A

6.【多选题】(2021.全国高三专题练习)若函数/(x)=e'-ei,则下述正确的有()

A.在R上单调递增B.7(x)的值域为(0,+8)

C.y=/(x)的图象关于点(；,0)对称D.y=/(x)的图象关于直线x对称

【答案】AC

【解析】

人.由丁=6，和^=61的单调性判断；B.取％=0判断；C.D.判断/(g+x)+/(g—x)是否等于零即可.

【详解】

因为y=e*是定义在R上的增函数，y=是定义在R上的减函数，

所以/(x)="—el在R上单调递增，故A正确；

因为/(O)=e°—e=l—e<o,故B错误；

11I,11,11111

I-+XI———rrI+r-4-rr—X一+丫

因为/(]+工)+/(5—工)=«22+«2_e2-e2_e2+«2_«2=0,

所以y=/(x)的图象关于点d,o)对称，故c正确，D错误.

2

故选：AC.

,'仰一

7.【多选题】(2020•山东省青岛第十六中学高三月考)已知函数=,则下列正确的

/(x+l)(x<l)

是()

A.B.m⑴]邛

c./[/(iog23)]=^D.的值域为(o,g

【答案】BD

【解析】

5/?

对选项A,根据计算/[/(())]=与，即可判断A错误，对选项B,根据计算/子，即可判断

B正确；对选项C,根据计算/[〃log23)]。与，即可判断C错误，对选项D,分别求转1和x<l的

值域即可得到答案.

【详解】

31

V一叵

对选项A,

一4

7

故A错误;

31

=也,

对选项B,=/[/(!)]=/

4

故B正确.

(1、陶32叫

对选项C,因为log23>l,所以y(log23)=-一,

、2.73

4

儿川幅3)]=佃=/4

1%也,故C错误;

2)2

、x,函数/(X)的值域为(0,g，

对选项D,当工»1时，=e

7°4

f(x)=f(x+l)=lj

当0<x<l时，lKx+l<2,

函数/(x)的值域为(詈，

又因为x<l时，/(x)=/(x+l),是周期为1的函数,

所以当x<i时，函数/(X)的值域为，

综上，函数“X)的值域为(o,g,故D正确.

故选：BD

8.【多选题】(2020.河北冀州中学(衡水市冀州区第一中学)高三月考)高斯是德国著名的数学家，近代数

学奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高

斯函数”为：设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[―3.5]=T,

[2$=2.已知函数/(x)=—则关于函数g(x)=[/(%)]的叙述中正确的是()

A.g(X)是偶函数B./(X)是奇函数

C./*)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,0,1}

【答案】BC

【解析】

山g(l)#g(-1)判断A；由奇函数的定义证明B；把/1(%)的解析式变形，由y=2、的单调性结合复合函

数的单调性判断C正确：求出“X)的范围，进一步求得g(x)的值域判断D.

【详解】

:g(l)=[/(l)]=Y+2~^=~g(T)=[〃T)]==4

.•.g(-l)wg(l),则g(x)不是偶函数，故A错误；

1

v/(x)=——一上的定义域为R，

')1+2X2

/、，、2T2X2X-2~X2X1+2V

f(-x)+f(x}=--------+---------1=—ry---------v?+-------r--1=------r---1=0,

八)J\)]+2-xi+2'2(l+2)l+2l+2

・'J(x)为奇函数，故B正确；

、2'11+2A-1111

=-V

,•1/(A)=1+2V--=1+2(R--221+2)

又y=2,在R上单调递增，=1一一工在R上是增函数，故C正确；

21+2

…1,1111

•.•2*>0，.•.1+2'>1，则°<^^^<1，可得一，

£I乙乙4XI4乙

即一(</(])<3.

,-.g(x)=[/(%)]e{-1,0},故D错误.

故选：BC.

xx<0

9.【多选题】(2020•重庆市第十一中学校高三月考)已知函数/(x)={e~-2,(。为常数)，函数

a(x-l),x>0

的最小值为-1，则实数。的取值可以是()

A.-1B.2C.1D.0

【答案】CD

【解析】

由已知求得当％,0时，f(x)=e-'-2的最小值为一1，问题转化为当x>0时，/(x)="(x-l)...-l恒成立，

对。分类讨论求得。的范围，结合选项得答案.

【详解】

当X,0时，/(x)=e-，-2单调递减，且当x=0时，函数取得最小值为—1；

要使原分段函数有最小值为-1，

则当X>0时，f(x)=a(x-1)…-1恒成立，

当。=()时，满足；

a>0

当aoOEl寸，需<，即0<q,l.

—u..-1

综上，实数。的取值范围为[()4].

结合选项可得，实数。的取值可以是1,0.

故选：CD.

10.【多选题】(2021•南京市中华中学高三期末)"悬链线''进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女

人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心

生好奇：”固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？''随着后人研究的

深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每

当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线(注：

垂直于地面的直线)上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，

这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条.”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析

ax.-atx.-x

式：=其中a为悬链线系数.当a=1时，f(x)=e称为双曲余弦函数,记为

2a2

chx=C上.类似的双曲正弦函数Shx=直线x=t与chx和shx的图像分别交于点A、B.下

22

列结论正确的是（)

A.sh(x+y)=shx-chy+chx-shyB.ch(x+y)=chx•chy-shx•shy

c.|AB|随t的增大而减小D.chx与shx的图像有完全相同的渐近线

【答案】AC

【解析】

由函数的定义，代入化简可得A正确，B不正确；由c/zx-s/zx=e7>0可得C正确；由函数的图象变化

可得D不正确.

【详解】

，/、e^x+y—e-x-y》.ex—e-xv.-yex+.e-xev—e-y-e^x+y-e^-x-y)匚L”

sh{x+y)=----------shfxgjhy+chx^hy=-------g————+-------g--------=----------,Wr以

222222

A正确；

，/、+,,+邛*/+6一炉―e7/1->'e“—"抖’’史…

ch{x+y)=-----------cnx§phy-snx^ny=--------g----:------------g---;—=-----------，所以

222222

B不正确；

c/vc-shx=e-x>0,且随着R变大，e-越来越小，所以C正确；

shx,当xf+8时，是丁=《的等价无穷大，无渐近线，

2

chx,当Xf+oo时，是y=C的等价无穷大，无渐近线，所以D不正确.

2

故选：AC

练真题

1.(新课标真题)已知集合A=上上<1},B={x3'<1},则()

A.AnB={x|x<0}B.AUB=R

C.AUB={x|x>l}D.4口3=0

【答案】A

【解析】

由3*<1可得3，<3°,则x<0,即5={x|x<0},所以

AflB={x|x<1}n{x|x<0}={x|x<。}，AU5={x|x<l}U{x|x<0}={x|x<l},故选A.

2.(2020•北京高考真题)已知函数/(x)=2v-x—l,则不等式/(x)>0的解集是().

A.(-1,1)B.U(l,4w)

C.(0,1)D.(-oo,0)5