2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市德强高中高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市德强高中高一（下）期

末数学试卷

1.已知复数Z满足z-i=l+2i（i为虚数单位），则复数Z的虚部是（）

A.2B.-2C.1D.-1

2.如图所示，△4BC中，AB=3,4C=2,ABAC=60°,。是BC的中点，葩=2瓦?,

则同-DF=()

3.已知a,/?为两个不同平面，m,"为不同的直线，下列命题不正确的是（）

A.若m〃n,m1a,则n1aB,若mJ.a,m_L0,则a〃/?

C.若7nla,aD0=n,则m〃nD.若m1a,mu0,则a1£

4.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地

了解该地区农村的经济收入变化情况、统计了该地区新农村建设前后农村的经济收

入构成比例；得到如下饼图：

种植收入

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

5.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6,为了用随机模拟的方法估

计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1〜5之间的随机整数，当出现

随机数1,2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6,每3个随机数一组，表示一次

模拟的结果，共产生了如下的20组随机数.

522553135354313531423521541142

125323345131332515324132255325

则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（）

6.已知定点P（-2,0）和直线/：（1+3A）x+（3-2A）y-（8+2A）=0（Ae/?）,则点P

到直线/的距离d的最大值为（）

A.2V2B.710C.2V3D.2近

7.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四

面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字

和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数

字为奇数”，事件。为“第二次记录的数字为偶数”，贝!1（）

A.A与£>互斥B.C与。对立C.A与8相互独立D.A与C相互独立

8.设三棱锥U-4BC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱侬上的点（不含端点

）.记直线PB与直线AC所成角为a,直线PB与平面ABC所成角为£,二面角P-

4。一8的平面角为丫，则（）

A.£<y,a<yB.夕<a,0<y

C.p<a,y<aD.a<p,y<

9.已知圆心为C的圆/+y2-4x+6y+ll=0与点A（0,—5）,则（）

A.圆C的半径为2

B.点4在圆C外

C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3立

D.点A与圆C上任一点距离的最小值为近

10.随机地排列数字1,5,6得到一个三位数，则（）

A.可以排成9个不同的三位数B.所得的三位数是奇数的概率为|

C.所得的三位数是偶数的概率为|D.所得的三位数大于400的概率为|

11.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2g,则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥高为3.B.正三棱锥的斜高为当

C.正三棱锥的体积为学D.正三棱锥侧面积为蜉

12.在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S.a2=b（b+c-）,则下列

结论正确的有（）

A.4=2B

B.B的取值范围为（0,》

C.7的取值范围为（夜，百）

D.熹-高+2sin4的取值范围为（第,6）

第2页，共19页

13.若两条直线ax+2y+1=0和(a—l)x-ay—1-0互相垂直，则a的值为.

14.已知某工厂生产I,II,in三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为2：

4：5,现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽

取IH型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为.

15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小

于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三

角形三边的张角相等均为120。.根据以上性质，函数/(x)=J(x-l)2+y2+

+1)2+y2+,乂2+(y-2)2的最小值为.

16.四面体A2C7)中，AB=AC=BC=2夜=CD=2,E是中点，A在面8co

的射影为。E中点，则该四面体外接球的表面积为.

17.已知矩形ABCQ的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为％-3y-

6=0,点在AO边所在的直线上.

(1)求A。边所在直线的方程；

(2)求矩形4BC。外接圆的标准方程.

18.某社区80名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，

将数据按[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为4组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中a的值；

(2)试估计这80名居民竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表)

(3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20%的居民开展消防安全知识讲座,

则需要参加讲座的居民分数不超过多少？

鳏率/纲距

19.四棱锥S-ABCD中，底面ABCQ是平行四边形，ADBC=90\SC=SD=DC,

且平面SCD1底面ABC。，点E在棱SC上，直线$4〃平面BDE.

(1)求证：E为棱SC的中点；

(2)设二面角S-BD-C的大小为仇旦tan。=而.求直线BE与平面ABCD所成的

角的正切值.

s

20.体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不集合.某班50名学生惨叫测试结果

如下:

等级优良中不及格

人数519233

(1)从该班任意抽取1名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为由,a2,a3,2名女生的成绩记为瓦，b2,现

从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：

①写出所有可能的基本事件；

②求参赛学生中恰有一名女生的概率.

21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中48=？48=

a.BC=Ha.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道何M且两

边是两个关于走道对称的三角形(△力MN和△A'MN).现考虑方便和绿地最大化

原则，要求点M与点4,8均不重合，”落在边8c上且不与端点B,C重合，设

Z.AMN=6.

⑴若0=刍求此时公共绿地的面积；

(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN,4N的长度最短，求此时绿地公共走

道MN的长度.

22.ABCD^AD//BC,AB=百，BC=1,CD=夜，BE1ADS.BE=1,

将梯形沿BE折叠得到图②，使平面4BEL平面BCDE,CE与8。相交于。，点产

在ABE且4P=2PB,R是C£＞的中点，过。，P,R三点的平面交AC于Q.

第4页，共19页

D

HB

①

(1)证明：。是AC的中点;

(2)证明：AD1¥®BE(2；

(3)M是AB上一点，已知二面角M-EC-B为45。，求等的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•.•复数z满足z-i=l+2i（i为虚数单位），

1+21„.

•••z=-^―=2-1,

二复数z的虚部是-1,

故选：D.

根据已知条件求出复数z即可得解.

本题考查复数的运算，复数的基本概念，属基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力.属于基础题.

根据已知条件代入化简，通过向量的数量积的定义求解即可.

【解答】

解：•••△ABC中，AB=3,AC=2,^BAC=60°,。是BC的中点，BE=2EA,

1111

■■■AD-DE=-（AB+AC）-（AE-AD）=-（AB+ACy[-AB--（AB+硝]

1—»—>1—>1—♦1—»21―>21—»—►

=5（A8+AC）•（一工48=一行48--AC--ABAC

19191111

=-12X3-4X2-3X3X2X2=-T-

故选：B.

3.【答案】C

【解析】解：对于A,若m_La,则取a内任意两条相交直线〃，b,使得m_La,m1b,

又则n_La,nLb,由线面垂直的判定定理得几_La,故4正确；

对于以垂直于同一条直线的两个平面平行，故5正确；

对于C,若mJ_a,a?\（i=n,如图，设m=CCi，平面&B1C1D1为平面a,m1a,设

平面为平面/?,aC\p=A1D1=n,则zn1n,故C错误；

第6页，共19页

对于。，由面面垂直的判定定理可得，故。正确；

故选：C.

由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体

逐一分析即可得出结论.

本题考查了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系的判断，属于基

础题.

4.【答案】A

【解析】解：设新农村建设前农村经济收入为“，可得新农村建设后农村的经济收入为

2a,

则新农村建设前，农村的种植收入为0.6a,其他收入为0Q4a,养殖收入为0.3a,第三

产业收入为0.06a,

新农村建设后，农村的种植收入为0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,第三产

业收入为0.56a,

对于A,新农村建设后，种植收入增加，故选项A错误；

对于8,新农村建设后，其他收入增加了1倍，故选项B正确；

对于C,新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故选项C正确；

对于。，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和点总收入的比例为30%+

28%=58%>0.5,超过经济收入的一半，D正确.

故选：A.

利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键,

属于基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了概率的求解，解题的关键是正确理解题意，找到表示三天中有两天下雪的随

机数的个数，属于基础题.

根据题中的条件，找出20个随机数中表示三天中有两天下雪的随机数，确定其个数，

利用概率计算公式求解即可.

【解答】

解：在20组随机数中，三位数中有2个数字为1,2或3的即可，

故表示三天中有两天下雪的随机数有:522,135,531,423,521,142,125,324,325,

一共有9个，

据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为

故选：B.

6.【答案】D

【解析】解：直线/：(1+3A)x+(3-2A)y-(8+2A)=0(26/?),

整理得;l(3x-2y-2)+(x+3y-8)=0,

(3x—2y-2=0,__

由|，解得『一，

(x+3y-8=0H

故点P(—2,0)到直线/的距离的最大值为d=7(-2-2)2+(0-2)2=2V5.

故选：D.

根据条件，得到直线/经过定点Q,2),再利用两点间的距离公式，求出距离的最大值.

本题考查的知识要点：定点的直线系方程，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

其中事件A包括：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3).

事件8包括：(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

事件C包括:(1,1),(12),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

事件力包括：(12),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,4),

对于A：因为事件A与。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(2,3),(3,2),故A与。互

斥不成立，故A错误；

对于B：因为事件C与。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故C与。对

立不成立，故B错误；

对于C：因为PQ4)=-=P(B)=^=；,P(AB)=旦=】，因为P(4B)*P(A)P(B),

162168168

第8页，共19页

所以A与2不是相互独立，故C错误;

对于Q：因为P(4)=白=；,P(C)=^=；,而PQ4C)=2=；,因为两个事件的发生

162162164

与否互不影响且P(AC)=P(A)尸(C),所以A与C相互独立，故。正确.

故选：D.

列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与。有相同的基本事件，

否定结论；对于8由事件C与。有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公

式法进行判断.

本题考查的知识点是对立事件和独立事件，难度不大，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间三种角的求法，考查以三棱锥为载体，常规解法下易出现的错误的有：不

能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法，为拔高题.

综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法

是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半

功倍.

【解答】

解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为0,

则P在底面上的射影。在线段A。上，作DE_LAC于E,易得PE〃VG,

过P作PF〃AC于F,过。作交BG于H,

贝Ua=NBPF,B=LPBD,Y=APED,

则cosa=­=-

PBPB

=等<署=cos/?,可得3<a；

tanr=^>^=tanjS,可得“<y,

方法二、由最小值定理可得a,

记V-4C-B的平面角为/(显然y'=y),

由最大角定理可得夕<y'=y；

方法三、(特殊图形法)设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为E4的中点,

易得cosa=,=*

-n-ZH.V33.VV2.v2V2

可得sina=京，sinp=-^=siny=^=—»

T

当4P=I时，由余弦定理可得PB=j4+i-2x2x|x|=呼,

28,1628_

豆+豆一丁1.x/6

C0Sa=tM=^sma=万，

33

可得a<y,故C错误.

故选：B.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查圆的半径的求法与判断圆与点的关系，数形结合法求圆上的点到一定点的距离

的最值，属于基础题.

圆的方程配方求得半径可判断4把点4的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断

B：求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断CD.

【解答】

解：由圆/+y2一©+6丫+11=0得(％—2)2+0+3)2=2,知半径为VL故A错

误；

把点4(0,—5)代入圆的方程“2+丫2-4%+6丫+11=0的左边代数式

有02+(-5)2-4X0+6X(-5)+11=6>0,所以点4在圆C外，故B正确；

圆心C到A的距离为C(2,-3),\AC\=V(2-0)2+(-3+5)2=2迎，

所以圆C上任一点到A的距离的最大值为2&+V2=3V2,

最小距离为2&-夜=VL故CO正确；

故答案选：BCD.

10.【答案】BD

【解析】解:随机地排列数字1,5,6可以得到的三位数有：156,165,516,561,615,

651,共6个，故A不正确；

其中奇数有：165,561,651,615,共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为

故8正确；

其中偶数有：156,516,共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为：=故C不正

63

确；

其中大于400的有：516,561,615,651,共4个，所以所得的三位数大于400的概率

为:=|,故。正确.

第10页，共19页

故选：BD.

利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.

本题考查了古典概型的计算，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查正棱锥的结构特征，棱锥的体积与侧面积，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.

正三棱锥S—4BC中，底面AABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为S4=SB=SC=

2V3,取BC中点O,连结SO,AD,过S作S。_L平面ABC,交AO于。，由此能求出

正三棱锥高、斜高、体积和侧面积.

【解答】

解：正三棱锥S—ABC中，底面△48C是边长为3的等边三角形，

侧棱长为54=SB=SC=2V3,取BC中点D,连结SD,AD,过S作S。_L平面ABC,

交于0,

AD=J32_(|)2=¥，a。=|AD=|乂苧=遮，

22

•••正三棱锥高为：SO=y/SA-AO=J(2遮产_(b)2=3,故A正确；

正三棱锥的斜高为：SD=y/SC2-CD2=J(26)2_(|)2=早，故B正确；

正三棱锥的体积为：V=|sA,iec-SO=|x|x3x^x3=^,故C错误：

正三棱锥侧面积为：S=3x；x3x^=率，故。错误.

224

故选：AB.

12.【答案】AC

【解析】解：因为a2=b(b+c),又由余弦定理小=川+-2bccos4

即b(Z?4-c)=624-c2-2bccosA,

2

所以be=c-2bccosA,所以b=c—2bcosAf即c-b=2bcosA,

由正弦定理可得sinC—sinS=2sinFcos74,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

・•・sinAcosB+cosAsinB—sinB=2sinBcos4即sinAcosB—sinB=sinBeosA,

・•・sinAcosB-cosAsinB=sin(A-8)=sinB,

・・・4B,。为锐角，

—B=即A=28,故选项A正确;

JT

0<2B<-

2故选项B错误;

0<n-3B<-6432

2

/黑=甘=238€(展遍)，故选项C正确;

F2sin>l=-——：F2smA————：F2sinA=------F2sin/,

tanBtanA----------------sxnBsinA----------------smBs\nA----------------smA

又一<A<-,~~<sinA<1,

322

令t=sinZ(/<t<1),则f(t)=i+2t(y<t<1),

由对勾函数性质可知，/(t)=1+2t在t6(^,1)上单调递增，

又/承=专+2乂曰=享/⑴=；+2xl=3,

-------------F2sin4=——F2sinAG(―-,3),故选项D错误.

tanBtanAsinA3

故选：AC.

由余弦定理可得c-b=2bcosA,再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得A=

2B,即可判断A,再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断8,再根

据三角函数的性质判断C、D.

本题考查了三角函数中的几何计算，属于中档题.

13.【答案】0或3

【解析】解：,两条直线ax+2y+1=0和(a-l)x-ay-1=0互相垂直,

a(a-1)+2X(—a)——0,即a?-3a=0.

解得a=0或a=3.

故答案为：。或3.

由两直线垂直与系数的关系列关于。的方程，求解得答案.

本题考查两直线垂直与系数的关系，是基础的计算题.

14.【答案】55

【解析】

第12页，共19页

【分析】

本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样

本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取.属于基础题.

根据分层抽样的特点即可求解结论.

【解答】

解：由题意可得抽取I,II两种型号的螺帽个数分别为25x：=10,25x3=20,

所以这三种型号螺帽共抽取的个数为10+20+25=55.

故答案为：55.

15.【答案】2+8

【解析】

【分析】

本题考查两点的距离公式的运用，以及运算能力，属于中档题.

由两点距离公式可得/(x)表示点(x,y)到点(1,0),(-1,0),(0,2)的距离之和，由新定义

可得f(x)的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值.

【解答】

解：由两点间的距离公式得

/(X)=y/(x-I)2+y2+7(x+I)2+y2+y/x2+(y-2)2

为点(x,y)到点C(0,2)的距离之和，

即求点(x,y)到点(1,0)，(-1,0),(0,2)的距离之和的最小值，

取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，

如图，

在等腰三角形AMB中，乙4MB=120°,

可得4M=BM=^—=壁，CM=2-MO=2-叵,

cos30033

容易求得最小值为|遍+|V3+2-^=2+V3.

333

故答案为：2+晅.

16.【答案】詈

【解析】解：令F为DE中点，则4F1面BCD,DEcffiBCD,故AFIDE,

y.BD2+CD2=BC2,则BOICD,SLBD=CD,

故ABC。为等腰直角三角形，则DE=EC=V^,即EF=¥，

且四面体外接球球心在过E点垂直于面BCD的直线上，

由△力BC为等边三角形，则AE=遍，

在44EF中，AF=\lAE2-EF2=后，

若四面体外接球半径为r,则3-EC2=AF-y/r2-EF2,

所以V7F=碧—卜_卜可得「2=得，

故四面体外接球的表面积为4仃2=詈.

故答案为：粤.

11

令尸为DE中点，由题设易得ZFJLDE并求得EC=V5、EF=¥、AE=V^,由△BCD为

等腰直角三角形确定外接球球心位置并求得4F=后,进而求出外接球半径，即可得表

面积.

本题考查了四面体外接球的表面积，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且A。与AB垂直，

所以直线AO的斜率为：—3,

又点在直线AO上，所以AO边的直线方程为：y-1=-3(x+l),即3x+y+

2=0.

(2)由《二"解得A点坐标为(0,—2),矩形ABC。的两条对角线的交点为：

十y十/一u

M(2,0),

所以M为矩形ABC。外接圆的圆心，

又r=\AM\=J(2-0)2+(0+2>=2在

所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x-27+y2=8.

【解析】(1)求出直线的斜率，利用点斜式求解直线方程即可.

(2)先确定A点的坐标为(0,-2),根据M点是矩形ABCD两条对角线的交点，可得M点

(2,0)即为矩形ABCD外接圆的圆心，从而可求圆方程；

第14页，共19页

本题考查圆的标准方程，考查圆中弦的方程，解题的关键是充分利用圆的性质，属于中

档题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：

10(0.01+0.02+0.03+a)=1,解得a=0.04.

(2)由频率分布直方图估计这80名居民竞赛成绩的平均分为：

x=65X0.1+75X0.2+85X0.4+95X0.3=84.

(3)由频率分布直方图可得，第一组的频率为0.01x10=0.1,

前两组的频率之和为(0.01+0.02)X10=0.3.

设需要参加讲座的居民分数不超过x,贝ke[70,80),

则0.02X(%-70)+0.1=0.2,解得x=75.

故需要参加讲座的居民分数不超过75.

【解析】(1)由频率分布直方图的性质列方程，能求出a.

(2)由频率分布直方图能估计这80名居民竞赛成绩的平均分.

(3)由频率分布直方图可得第一组的频率为0.1,前两组的频率之和为0.3.设需要参加讲

座的居民分数不超过x,则xG[70,80),x=75.由此能求出需要参加讲座的居民分数不超

过75.

本题考查频率分布直方图的性质、频率、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

19.【答案】(1)证明：连接4c交BO于O,连接OE,

♦.•底面ABCQ是平行四边形，二。是AC的中点，

•••S4〃平面BDE.S4u平面SAC,平面SACfl平面BDE=OE,

•••SA//OE，：.E为棱SC的中点；

(2)解：取。C的中点M,连接OM,SO,过E悴EN]ISM交CD千N,连接BN,

"SD=SC,SM1DC,又•••平面SCO_L底面ABCD,平面SCDfl底面4BCD=CD,

•••SMABCD,•:乙DBC=90°,:•DB工BC,

•••M,。分别为CZ),8。的中点,

■■■OM//BC,-.OMLBD,故/SOM为二面角S-BD-C的平面角，故tan/SOM=通,

设CD=2,故SM=W，：.丝=瓜,可得0M=3，所以BC=&,

0M2

由EN〃SM,可得EN，底面ABCD,NEBN为直线BE与平面ABCD所成的角，

由题意可得EN=苧，

在Rt△BCO中，cos^DCB=—,BN2=BC2+CN2-2BC-CN-cos乙BCD=2+--2x

24

V2xix^=5,

224

BN=—,

2

叵L

故tan/EBN=器=击=-1-.

直线BE与平面ABCD所成的角的正切值为卓.

【解析】⑴连接AC交于。，连接0E,可得。是AC的中点，由已知可得S〃/OE,

可证结论；

(2)取DC的中点M,连接OM,SO,过E作EN〃SM交CD于N,连接BN,可得NS0M为

二面角S—BD-C的平面角，“BN为直线8E与平面ABCD所成的角，设CD=2,求

解即可.

本题考查线段的中点的证明，考查线面角的求法，考查二面角，属中档题.

20.【答案】解：(1)根据频率分布表，得；

在这次考试中成绩为“良”或“中”是19+23=42；

故随机抽取一名学生，该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为£=,；

5025

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为由,a2,%，2名女生的成绩记为瓦，匕2，

①现从这5人中任选2人所有的基本事件为：

a1a2,。1。3，幻1瓦，口血，

。2。3，a2b1，Q2b2，

的瓦'a3b2’

b1b2,共10种;

②满足参赛学生中恰有一名女生的事件为：的瓦，4升2,。2瓦，a2b2,a3bHa3b2,共

6种

故参赛学生中恰有一名女生的概率为p=盘=|.

【解析】(1)根据频率分布表，利用频率=至舞，即可求出对应的概率；

(2)①依据古典概型即可得到从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛的所有基本

事件个数；

②由①，代入古典概型概率公式，即可得到参赛学生中恰有一名女生的概率.

本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查等可能事件的概率，古典概型与几

第16页，共19页

何概型都涉及到了，是常见的题目；平时要加强训练

21.【答案】解：(1)注AA'MN,：.4AMN=aA'MN=3,

Z.BMA'=BM=-A'M=-AM,

322

22

•••AM=-AB=-a

33f

AB=a,BC=y/3a,B=-,A=

23

・•・△4MN是等边三角形，

V34小2y/3a2

・•・S=2S»AMN=2x彳x=---

(2)v^BMAf=71—26,AM=A'M,

.・.BM=A'Mcos4BMA'=-AMcos2d.

vAM+BM=Q,即4M(1—cos20)