§4-2互感耦合电路

§4-2互感耦合电路由电磁感应定律可知，只要穿过线圈的磁力线（磁通）发生变化，则在线圈中就会感应出电动势。一个线圈由于其自身电流变化会引起交链线圈的磁通变化，从而在线圈中感应出自感电动势。如果电路中有两个非常靠近的线圈，当一个线圈中通过电流，此电流产生的磁力线不但穿过该线圈本身，同时也会有部分磁力线穿过邻近的另一个线圈。这样，当电流变化时，邻近线圈中的磁力线也随之发生变化，从而在线圈中产生感应电动势。这种由于一个线圈的电流变化，通过磁通耦合在另一线圈中产生感应电动势的现象称为互感现象。互感现象在工程实践中是非常广泛的。由4-2-1示出了两个位置靠近的线圈1和线圈2，它们的匝数分别为N1和N2。当线圈1通以电流i1时，在线圈1中产生磁通，其方向符合右手螺旋定则。线圈1的自感为称为自感磁链。图4-2-1由i1产生的部分磁通同时也穿越线圈2，称为线圈1对线圈2的互感磁通，此时线圈2中的互感磁链为。类似于自感磁链的情况，互感磁链与产生它的电流i1之间存在着对应关系。如果两个线圈附近不存在铁磁介质时，互感磁链与电流之间基本成正比关系。这种对应关系可用一个互感系数来描述，即有（4-2-1）互感系数简称为互感，其单位为亨利（H）。由i1产生的另一部分磁通只穿过线圈1而不穿越线圈2，此部分磁通称为漏磁通，用义线圈1的漏感系数为来表示，据此定各部分磁通之间有同样当线圈2通过电流i2而线圈1无电流时，线圈2产生磁通，线圈2的自感为此时有部分互感磁通穿越线圈1，线圈2对线圈1的互感为（4-2-2）线圈2中存在部分漏磁通，线圈2的漏感系数为。各磁通之间有关系式对于两个相对静止的线圈，由电磁场理论可以证明，它们之间的互感系数和是相等的，即有一般可用耦合系数K来衡量两个线圈之间的耦合程度。耦合系数K定义为即有对于实际的耦合电路，由于总是存在着漏磁通，因此其耦合系数K总是小于1。只有当两个线圈完全紧密地耦合在一起时，耦合系数才接近于1。下面来考虑由于互感现象而产生的感应电动势的性质。在图4-2-1中，选择磁通的参考方向与线圈2中的电动势e21、电压u21参考方向符合右手螺旋法则，线圈2的匝数为N2，则由电磁感应定律可知，线圈2中的感应电动势e21为线圈2中的电压u21为根据同样分析，如果线圈2中通过电流i2，则由i2电流产生的互感磁通也会在线圈1中产生感应电动势。如果所取方向使得磁通，线圈1中感应电动势e12及电压u12参考方向符合右手定则，则线圈1中由i2变化而产生的互感电动势与互感电压分别为对于正弦交流电流，线圈中互感电压与电流之间的关系可用相量表达式表示为（4-2-3）式中，称为互感电抗。下面分析两个线圈的实际绕向与互感电压之间的关系。本书前章已论述，对于线圈自感电压而言，只要规定线圈电流与电压参考方向一致，自感电压降总可以写为，与线圈的实际绕向无关。但对于二个线圈之间的互感而言，绕圈的绕向会影响互感电压的方向。因为产生于一个线圈的互感电压是由另一个线圈中的电流所产生的磁通变化引起的，要判断一个线圈中的电流变化在另一线圈中产生的感应电动势方向，首先要知道由电流产生的磁通的方向，而这一方向是与线圈绕向和线圈间的相对位置直接相关的。图4-2-2示出了绕在环形磁图4-2-2路上的两个线圈的实际绕向。当电流i1从线圈1端流入时，它在线圈2中产生的磁通的方向如图4-2-2a所示。如果规定线圈2中互感电压u21的参考方向为从线圈2端指向端，使得电压u21的参考方向与符合右手螺旋法则，则由电磁感应定律可知，此时电压u21的表达式为即是说，图4-2-2所示的绕向结构，当规定电流i1的方向从1端流向端，电压u21的参考方向从2端指向端，由i1产生的互感电压取正号。在实际电路中，互感元件通常并不画出绕向结构，这样就要用一种标记来指出两个线圈之间的绕向结构关系。电工理论中采用一种称为同名端的标记方法，用号来特定标记每个磁耦合线圈的一个对应端钮。同名端标记的方法为：先在第一个线圈的任一端作一个标记，令电流i1流入该端口；然后在另一线圈找出一个端点作标记，使得当i2电流流入该端点时，i1与i2两个电流产生的磁通是互相加强的，称这两个标记端为同名端。图4-2-2中的耦合线圈的同名端可由上述法则判断，线圈1端与线圈2端为同名端。当然与也为同名端。标出了两个线圈的同名端后，我们就可以把图4-2-2a所示结构的耦合线圈用图4-2-2b的互感耦合线圈符号图来表示，而不必画出线圈之间的绕向。图4-2-3表示与上面不同绕向的互感耦合线圈，根据上面所述的同名端的标识方法可知，线圈1端与端为同名端。线圈的符号如图4-2-3所示。图4-2-3当两个线圈的同名端确定后，互感电势的方向可由此推出。如果选择i1的参考方向为流入同名端，选择i2的参考方向也流入同名端，则由同名端规则可知，由电流i1产生的磁通的方向与i2方向符合右手螺旋法则。若选择线圈2中互感电压u21的参考方向从同名端指向非同名端，则可知此时互感电压降为如图4-2-2b所示。同样当选择i2流入同名端，u12互感电压参考方向从同名端指向非同名端，则线圈1中的互感电压表达式为如图4-2-2c所示。对于图4-2-3的情况，根据上面类似的分析可知，此时两个线圈中互感电压的表达式为由此可得出：当电流参考方向为流入同名端、互感电压的参考方向为从同名端指向非同名端时，互感电压表达式前取正号，反之则取负号。两个以上的线圈互相之间存在电磁耦合时，各对线圈之间的同名端应用不同的符号加以区别。对于图4-2-4所示电路来说，线圈1与2之间的同名端用号表示，线圈2与3之间的同名端用○号表示，线圈1与3之间的同名端用△号表示。在工程实践应用中，对于封装在壳子中的磁耦合线圈，它们之间的同名端判别可采用实验的方法加以确定。对于较小的互感线圈，常用的一种方法是使一个线圈通过开关接到一直流电源（如一节干电池），如图4-2-5所示，把直流电压表接到另一线圈的两端。当开关K突然闭合时，电流i1从电源流入线圈1端，且i1随时间增大，即有。此时在线圈2中会感应出互感电压，如果电压表指针向正方向偏转，则表示此时接在电压表正极的端点2的电压高于端点。由同名端意义可知，线圈1端与线圈2端为一对同名端。若电压表指针反转，则1端与2端不为一对同名端。下面讨论具有互感的支路电压与电流的一般形式。设有两个互感耦合线圈，线圈1自感为L1，电阻为R1，线圈2自感为L2，电阻为R2，两线圈互感系数为M。现将两线圈按图4-2-6a图4-2-6所示顺向串接，在端口加正弦交流电压，则可写出线圈1中电压为线圈2中电压为总电压为相量图如图4-2-6b所示。电路总等值阻抗为（4-2-4）可见在这种连接方式下等值电感磁通互相加强。，其值大于两线圈自感之和，这是因为两线圈产生的如果把两个线圈反向串联，如图4-2-7所示，则有总电压为等效阻抗（4-2-5）等效电感2-7b所示。小于两自感之和，这是由于两线圈产生的磁通互相抵消所致。相量图如图4-图4-2-7如果将上述具有互感耦合的线圈并联连接，且把同名端连在一起，如图4-2-8a所示，当外加电压为正弦电压时，可写出方程联立求解上两个方程，得图4-2-8总电流等效入端阻抗为（4-2-6）同理可推出当异名端连在一起时，如图4-2-8b所示电路，入端阻抗为（4-2-7）在分析互感耦合电路时，也可把支路间的耦合关系等效地改用受控源形式来表示。因为某一支路的互感耦合可看成是一个电流控制电压源。例如可将图4-2-8a与图4-2-8b电路分别用图4-2-9a和图4-2-9b电路来等效替代。图4-2-9空心变压器是电子线路中常见的一种电磁耦合电路，图4-2-10是它的原理线路图。它由两个线圈组成，线圈1接信号源电压，称为变压器的一次侧。线圈2接负载间以空气为磁介质相耦合。按照图示的参考方向，可写出，称为变压器的二次侧。两线圈图4-2-10令，则方程转化为由此可解得于是可得空心变压器一次侧的等效入端阻抗为（4-2-8）空心变压器二次侧开路（空载情况）时，一次侧的入端阻抗为次侧看相当于在原绕组中串联一额外阻抗。在二次侧接入负载后，从一表示空心变压器二次侧电路对一次侧电路的影响，称为从二次侧归算到一次侧的归算阻抗。例4-2-1图4-2-10所示的空载变压器，已知一次侧的，，二次侧的，，两绕组间互感。一次侧接电压源，二次侧的负载。求一次侧电流I1，电压源输入到变压器的功率，变压器输出到负载的功率及变压器传输效率。解：设电流电压参考方向如图4-2-10所示，二次侧电路的总电阻和总电抗分别为归算到一次侧的阻抗空心变压器一次侧的入端阻抗为已知，则一次电流为二次电流电源输入变压器的功率为变压器输出到负载的功率为变压器传输功率对于具有互感耦合的复杂网络，其计算方法与分析无耦合电路时基本相同，只是对存在耦合情况的元件在考虑元件电压时要包含互感电压。互感电压的方向要依据耦合元件的电压电流参考方向与同名端关系加以确定。在分析具有互感的电路时，一般采用回路电流法。在列写回路电压方程时，注意把元件的互感电压考虑在内。下面通过具体例子来说明具有互感电路的分析过程。例4-2-2电路如图4-2-11所示，已知，，,，试求各支路电流。图4-2-11解：选择网孔回路并取和为回路电流变量。列写网孔回路电压方程式中，解得与分别代表了由耦合产生的电压值。代入数据得例4-2-3试列出图4-2-12所示电路的回路电流方程式。解：选用网孔回路列电压方程，取与为回路电流变量，逐一写出各个元件的电压表达式经整理可得：图4-2-12如果具有互感耦合的两个线圈有一端相连接，则这种具有互感的电路可用一个无互感耦合的等效电路来替代。图4-2-13a为同名端相连接的互感电路，可写出方程式为考虑到，则上式可改写为由上面二式可得到没有耦合的等效电路如图4-2-13b所示。这种方法称为互感消去法。对于图4-2-13c所示的电路，线圈异名端连接在一起，则由同样方法可求出其去耦后的等效电路如图4-2-13d所示。采用等效去耦方法在计算含有互感的网络入端阻抗时比较方便。图4-2-13例4-2-4电路如图4-2-14a所示，求ab端的入端阻抗。解：图4-2-14a所示电路包含有互感耦合支路，同名端连接在一起。去耦后电路转化为图4-2-14b，此时可直接写出其入端阻抗图4-2-14利用变压器互感耦合的作用可完成从一条电路向另一条电路传送电能或信号的工作，而这二条电路之间可以没有电的直接联系。变压器能变换交流电压和电流的大小。图4-2-15a为一般变压器的符号，一般把接电源一侧的绕组称为一次侧，接负载一侧的绕组称为二次侧。前面讨论的空心变压器是把二组绕组绕在非导磁材料上。若变压器绕组是绕在高导磁率材料上，在作出一些假定条件后，可把这类变压器视作理想变压器。对于图4-2-15a所示的变压器，一次侧匝数为N1，二次侧匝数为N2，若假设：①忽略一次侧和二次侧的电阻，变压器磁路中无涡流与磁滞损耗，即变压器本身不消耗能量；②采用图4-2-15高导磁率材料后，无漏磁通存在，绕组耦合系数；③磁路材料的导磁率趋于无穷大，因此L1、L2和M均趋向无穷大。在这些假定条件下的变压器称为理想变压器。在上面假设条件下，来讨论理想变压器一次和二次侧的电压与电流之间的关系。由于二个绕组之间完全耦合，穿过一个绕组的磁通必定穿过另一线圈，漏磁通为零。根据前面的讨论（见图4-2-1）可知：和。如果两绕组产生的磁通是相互加强的，则两线圈交链的总磁通和分别为（4-2-9）可见两个绕组的磁通是相等的，为两绕组的公共磁通。设变压器一次侧和二次侧匝数分别为N1与N2，由图4-2-15所示的参考方向，可写出一次侧和二次侧电压分别为（4-2-10）对于正弦交流电路，磁通是角频率为的正弦函数。此时上式可表示为相量形式，有（4-2-11）一次侧与二次侧电压之比为（4-2-12）两绕组电压之比等于绕组的匝数比，且和同相。式中n称为理想变压器的变比。下面来推导两个绕组中电流之间的关系。由图4-2-15所示参考方向，绕组1中电压可表示为上式两边用L1相除，得由于理想变压器中L1、L2和M均趋于无穷大，因此上式成为（4-2-13）又因为绕组1自感磁链为，绕组2互感磁链为，由于绕组间漏磁为零，因此有，即有（4-2-14）把上式代入到式（4-2-13）可得对于正弦交流电路则有即有（4-2-15）上式表明，理想变压器一次侧和二次侧中电流的有效值之比与两绕组匝数成反比，电流相位差为180°（在图4-2-15所示参考方向下）。在电路分析中理想变压器可看成是一个对外具有两个连接端口的元件，理想变压器本身不消耗能量，它只起着变换电压和变换电流的作用，变换比值只由一次侧和二次侧的匝数比决定，与负载无关。下面讨论理想变压器的阻抗转换作用。设理想变压器二次侧输出端接有负载ZL，如图4-2-16所示，根据图示的参考方向，可得由式（4-2-11）可得代入上式得从而求得从理想变压器一次侧看入的等效阻抗为（4-