层次分析法例子

张老师需要购买一辆私家小轿车，他考虑的主要因素有：价格适中，售后比较好，轿车的动力性较好，燃油经济性相对较好。经过轿车销售商的介绍，他初步选择了甲、乙、丙三款轿车，情况如表5-2所示：表5-2甲乙丙价格（万元）352822售后服务稍差较好好动力性好较好一般燃油经济性较好好稍差下面利用AHP方法来帮助张老师选择一套尽可能满意的轿车。解：用AHP方法研究解决问题的具体步骤是：第一步：分析和细化具体问题，明确该问题的总目标。第二步：构建递阶的层次结构模型。这是AHP的关键步骤。通常模型结构分为3层，其中顶层为目标层，中间层为准则层（根据问题的复杂程度，每项准则还可以细分为若干子准则），最底层为方案层。（1） 目标层。这是最高层次，或称为理想结果层。如需要，可再分为总目际层，战略目标层，战术目标层以至子战术目标层等；（2） 准则层。第二层次为评价准则或衡量准则，也可为因素层、约束层。同样，可再分为子准则层、子因素层等；（3） 措施层。第三层次为措施层，或对策层、备择对象（人选、方案）等层，对不同问题可有不同的描述。同样，可再分为子措施层或子对策层等。构造一个好的层次结构对于问题的解决极为重要．它决定了分析结果的有效程度。层次结构建立在决策者（或分析者）对问题全面深入认识的基础之上。如果在层次的划分和确定层次的支配关系上举棋不定，最好的办法是重新分析问题，打乱原来的结构，重新定义要素并建立新的结构。第三步：构造判断矩阵，求本层次要素相对于上一层次要素的权重。建立了递阶层次后，上下层之间元素的隶属关系就被确定了。假设上一层次的元素C作k为准则，对下一层次的元素A,,A有支配关系。在此要在准则C下，按其相对重要性对1nkA, ,A赋予相应的权重（Weight）。对于大多数社会经济问题，特别是那些没有统一指标1n表示而仅靠人的经验判断和估计的问题，往往要通过适当的方法来导出其权重，以给出某种量化指标或直接判断元素之间的重要性。AHP中的方法是将本层次的要素Ai和Ajij（i,j=l,2,…，n）相对于上一层次要素ck（k=l,2,…,m）按照重要程度进行两两比较，从而得到判断矩阵A=（aij）nXi。在此，决策者或专家系统要反复回答，对于准则C，下层元素A和A哪一个更为重kij要，且重要多少，并对重要多少赋予1—9的比例标度。比例标度的意义见表5-3

表5-3比例标度的意义标度值两个兀素相比，其中一个兀素比另一个兀素的重要程度1同样重要3稍微重要5明显重要7强烈重要9绝对重要2，4，6，8为上述相邻判断的中值若因素i与j比较得a，则因素j与因素i相比得1/aijij采用上述这种比例标度的依据是：其一，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上的差别的分辨能力在5〜9级之间.采用1〜9的标度反映多数人的判断能力；其二，大量的社会调查表明，1〜9的比例标度早已为人们所熟悉和采用；其三，科学考察表明：1〜9的比例标度已完全能够标度引起人们感觉差别的事物的各种属性。在例中将甲、乙、丙轿车的相对价格因素（C1）两两比较时，得到如下的判断矩阵表5-4：表5-4C1甲乙丙甲11/31/4乙311/2丙421合计810/37/4此外应当指出，当被比较元素的属性处于不同数量级时，应将较高数量级元素进一步分解，以保证被比较元素在所考虑的属性上属于同一数量级，视问题的特点，还可以采用0－1标度、指数标度等。由此，可以得到准则C下的判断矩阵A：A二（a）k ijnxnA矩阵的性质见上一节内容。若记A的最大特征根为九，属于九的标准化的特征maxmax向量为W=（W],…,wn）T,则W],…,wn给出了因素A],…,An相对于因素C的按重要（或偏好）程度的一个排序，即层次单排序。第四步：计算判断矩阵A的最大特征值九，对判断矩阵A进行一致性检验。max检验的方法和原理见上一节内容。主要利用一致性指标CI进行检验，一般只要CI<0.1就可认为判断矩阵A是满意的。AHP计算的根本问题是如何计算判断矩阵的最大特征根和相应的特征向量，对于这一问题可利用一般的线性代数的方法进行计算。但从实用的角度来看，一般采用下面三种近似的算法来进行计算：1、和积法为了简化计算，可采用近似方法－和积法计算，它使得我们可以仅使用小型计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。其具体计算步骤为：（1）将判断矩阵的每一列正规化，有：b二a/工a,i,j二1,2, ,n，ijij ijj=1

(2)每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加：W=£b,j=1,2 ,ni ijj=1W12(3)将向量W=[WW ,W]T正规化，得到：W=―—,i=1,2,,n121 2 n ie——£W•••j•••j=1所得到的w=[w1,w2, ,wn]T即为所求的特征向量。(4)计算判断矩阵的最大特征根九(4)计算判断矩阵的最大特征根九，有:max九max£naWnWi=1 inWi=1 i式中(AW)表示向量AW的第i个分量。i2、方根法为了简化计算，AHP也可以采用另一种近似方法一方根法计算，其步骤为：(1)将判断矩阵A的元素按行相乘，得到：u=寸aij ijj=12)所得的乘积分别开n次方，有：u=:2)iVj3)将方根向量正规化，即得到特征向量W：Wiu3)将方根向量正规化，即得到特征向量W：Wiu i—£uii=14)计算判断矩阵的最大特征根九，有:max九=max£ni=1n^aWijjnWi=1 i式中(AW)同样表示向量AW的第i个分量。i3、幂法计算特征根的幕法使我们有可能利用计算机来得到任意精度的最大特征根九及其max对应的特征向量W。这一方法的计算步骤为:1)任取与判断矩阵A同阶的正规化的初始向量W0，例如w0=(1n,in/,Tn；/)(2)计算Wk+1=AWk,k=0,1,2n 1i=1(3)令卩=2W.z，计算Wk+1=Wk+1,k=0,1,2,(正规化)： i=1（4）对于预先给定的精确度£，当|Wk+1-Wk||<8对所有的i=1,2 ,n成立时，则计算停止，此时W=Wk+1即为所求的特征向量，否则继续进行（2）。判断矩阵的最大特征值九可由下式求得:max九maxWk+九maxi nWki式中：n为矩阵的阶数；Wk为向量Wk的第i个分量。例3用和积法计算下列判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。表5-5BGBGC.5C.3C2C31/51/3131/31解：（1）按照上述的和积法的计算步骤（1），得到按列正规化后的判断矩阵为：0.1110.1300.0770.5560.6520.6920.3330.2170.2312）按照步骤（2），按行相加得：W=£b=0.111+0.130+0.077=0.317ij_ j=1W=0.556+0.652+0.692=1.9002W=0.333+0.217+0.231=0.7813（3）将向量W=[0.317 1.9000.781]T正规化得：_ =0.317j_ =0.317jj=1W=W,1jj=1W=1.90022.998W=0.78132.998+1.9000.3172.9980.6340.261+0.7810.1062.998则所求得的特征向量为：W=[0.1060.6340.261]T。（4）计算判断矩阵的最大特征根九max

-1 1/5 1/3"-0.106"AW=5 1 30.6343 1/3 10.261(AW)=1x0.106+-x0.634+-x0.261=0.320TOC\o"1-5"\h\z5 3(AW)=5x0.106+1x0.634+3x0.261=1.9412(AW)=3x0.106+丄x0.634+1x0.261=0.7853 3九仝竺丄=(AW) (AW)-+ 2-,(AW)■+ 3max nW3W3W3Wii i1230.3201.9410.785-+-+——3.0363x0.106 3x0.634 3x0.261例中利用近似的方法(即和法)求特征向量，对价格因素的判断矩阵求得的结果如表5-6：表5-6甲乙丙W.甲1/81/101/70.123乙3/83/102/70.320丙4/86/104/70.557计算最大特征值，对于价格因素有：11/31/4"0.1230.369AW—311/20.320—0.9784210.5571.6891九=—max3二1九=—max3二3.029++0.123 0.320 0.5573.029-33.029-33-1=0.0145CR=0.0145=0.028<0.10.52故对价格因素的判断矩阵通过了一致性检验，由该判断矩阵计算得到的权重向量W=(0.123,0.320,0.557)T可作为甲、乙、丙三款轿车相对于价格因素的重要度比较。用相同的方法可列出甲、乙、丙三款轿车相对于其他三个因素的判断矩阵如下：对C2对C2对C3对C41 1/5 1/8"1 1/5 1/8"5 1 1/58 5 11281/2161/81/611 1/3"3 11/5 1/7计算得到相应的权重向量，连同对q的权重向量列于表5-7中:表5-7三款轿车相对各准则的权重向量价格售后服务动力性燃油经济性甲0.1230.0620.5930.283乙0.3200.2120.3410.643丙0.5570.7260.0660.074以上判断矩阵均通过了致性检验。最后列出C、C、c、C这4个准则相对于目标的9 4判断矩阵并计算出权重向量分别为如下j422"「0.44"41/411/21/20.111A=1/2211W=0.222_1/2211_0.222第五步：计算同一层次上的组合权系数。为了得到递阶层次结构中每个层次中所有元素相对于总目标的相对权重，需把前一步计算的结果进行适当组合，以计算出总排序的相对权重，并进行层次和结构的一致性检验。在此，要由上而下逐层进行，最终得出最低层元素，即决策方案优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判断一致性。（1）组合权系数的计算。设当前层次上的因素为A、,…,A,相关的上一层因素为J，…,C,则对每个C.根据第三TOC\o"1-5"\h\z1 n 1 n i步的讨论可以求出一个权向量wi=（wi, ,wi）。如果已知上一层m个因素的权重分别为1nawi，乙awi,乙aw：，如此一层层自上1m i1 i2 ini=1 i=1 i=1而下地求下去，一直到最底层所有因素的权系数（组合权系数）都求出来为止，根据最底层权系数的分布就可给出一个关于各方案优先程度的排序，即层次总排序。在例2中，记s甲、s乙、s丙为三款轿车相对于购买一辆满意轿车的总目标的得分为:甲乙丙「s"「0.123甲s「s"「0.123甲s=0.320乙s0.557丙1—0.0620.2120.7260.5930.3410.0660.2830.6430.0740.4440.1110.2220.2220.256"0.3850.359按得分的排序结果，B款轿车对张老师来说满意度是最高的。（2）组合判断的一致性检验。设第K层一致性检验的结构分别为CI,RI,CR，则第k+1层的相应指标为:kkkCI=(CI1,CI2,,CIm)ak-1k+1kkkRI=(RI1,RI2,,RIm)akk+1k kkCR=CR+CI/RIk+1 k k+1••k+1在此，叫分别为在k层第i个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。当CRk+1<0.1时，则认为递阶层次结构在k