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文档简介
相似多边形及位似一.选择题
1.下面给出了相似的一些命题:
(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;
(5)正六边形都相似;其中正确的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.下列说法错误的是().
A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.
3.下列说法正确的是()
A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,则ADE是ABC放大后的图形.
B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.
4.平面直角坐标系中,有一条“鱼,它有六个顶点”,则()
A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变,得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以,得到的鱼与原来的鱼位似.
5.下列命题:①两个正方形是位似图形;②两个等边三角形是位似图形;③两个同心圆是位似图形;④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边,所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.如果点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列各式不正确的是()
A.AB:AC=AC:BCB.AC=C.AB=D.BC≈0.618AB
7.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()
A.B.C.D.2
二.填空题
8.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为______.
9.已知ABC,以点A为位似中心,作出ADE,使ADE是ABC放大2倍的图形,则这样的图形可以作出___个,它们之间的关系是__________.
10.如图,以点O为位似中心,将五边形ABCDE放大后得到五边形,已知OA=10cm,OA′=20cm,则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________.
11.△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分,则AD:AB=________.
12.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为_______.
13.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取△ABC和△DEF各边中点,连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分,取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分,如此下去…,则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为________.
14.如图,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=36°,∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点(AD>DC),则BC=______________.
三.综合题
15.如图,D、E分别AB、AC上的点.
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC是位似图形吗?为什么?
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?
16.善于学习的小敏查资料知道:对应角相等,对应边成比例的两个梯形,叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,提出如下两个问题,你能帮助解决吗?
问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似?
(1)从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位线(如图①).根据相似梯形的定义,请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似;
(2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_____________;(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明)
问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
(1)从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________;
(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明)
(2)从特殊梯形入手探究.同上假设,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线PQ(点P,Q在梯形的两腰上,如图②),使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由;
(3)一般结论:对于任意梯形(如图③),一定_____________(填“存在”或“不存在”)平行于梯形底边的直线PQ,使截得的两个小梯形相似.若存在,则确定这条平行线位置的条件是.(不妨设AD=a,BC=b,AB=c,CD=d.)
17.如图1,矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上,并且矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:4,矩形ABCO的边AB=4,BC=4.
(1)求矩形ODEF的面积;
(2)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周,连接EC、EA,△ACE的面积是否存在最大值或最小值?
若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由.
【答案与解析】一、选择题
1.【答案】B
【解析】(1)菱形的角不一定对应相等,故错误;
(2)(3)(5)符合相似的定义,故正确;
(4)对应边的比不一定相等.故错误.
故正确的是:(2)(3)(5).故选B.
2.【答案】D.
3.【答案】C.
4.【答案】C.
5.【答案】B
【解析】由位似图形的概念可知③和④对,故选B.
6.【答案】D.
【解析】∵AC>BC,∴AC是较长的线段,
根据黄金分割的定义可知:AB:AC=AC:BC,AC=,AB=AC≈0.618AB.故选D.
7.【答案】B.
【解析】∵AB=1,
设AD=x,则FD=x-1,FE=1,
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴,即,
解得,,(负值舍去),
经检验是原方程的解.故选B.
二、填空题
8.【答案】50cm.
9.【答案】2个;全等.
10.【答案】1:2.
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似,OA=10cm,OA′=20cm,
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,且相似比为:OA:OA′=10:20=1:2,
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为:OA:OA′=1:2.
故答案为:1:2.
11.【答案】;
【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC,所以,故.
12.【答案】;
【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似,则矩形ABCD∽矩形BFEA,设矩形的长为a,宽为b.
则AB=CD=b,AD=BC=a,BF=AE=,根据矩形相似,对应边的比相等得到:
即:,则b2=
∴∴
13.【答案】.
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点,
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1,且相似比为2:1,
∵正六角星形AFBDCE的面积为1,
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为,
同理可得,第三个六角形的面积为:=,
第四个六角形的面积为:,
故答案为:.
14.【答案】;
【解析】∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
又BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴∠BDC=72°,
∴BC=BD=AD,
∵D点是AC的黄金分割点,
∴BC=AD=4×=.
三.解答题
15.【答案与解析】
(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是:DE∥BC,
所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC,所以.
又因为点A是△ADE和△ABC的公共点,点D和点B是对应点,点E和点C
是对应点,直线BD与CE交于点A,所以△ADE和△ABC是位似图形.
(2)DE∥BC.理由是:
因为△ADE和△ABC是位似图形,
所以△ADE∽△ABC
所以∠ADE=∠B
所以DE∥BC.
16.【答案与解析】
问题一:
(1)不相似.
因为两个梯形的腰相等,即腰的比是1:2,而上底的比是1:1,因而这两个梯形一定不相似;
(2)相似性无法确定.
问题二:
(1)不相似;
(2)梯形APQD与梯形PBCQ相似,
∴,即
解得:PQ=4.
∵
又∵AP+PB=6,
∴AP=2
(3)存在.
如果梯形APQD∽梯形PBCQ,
则,,
∵AD=a,BC=b,
∴PQ=,
∴
17.【答案与解析】
(1)∵矩形ODEF∽矩形ABCO,其相似比为1:4,
∴
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