2018年数学总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算课时作业

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精11-学必求其心得，业必贵于专精PAGE第1讲导数的概念与导数的计算基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(）A.0 B.1 C。2 D.3解析∵y＝eax－ln（x＋1)，∴y′＝aeax－eq\f(1，x＋1），∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln（x＋1）在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.答案D2。若f（x）＝2xf′（1)＋x2，则f′（0)等于(）A.2 B.0 C。－2 D.－4解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1,得f′(1)＝－2,∴f′（0）＝2f′（1)＝－4。答案D3.(2017·杭州质测)曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1,则P点的坐标为（)A。（1,3） B。(－1，3)C。(1，3)和（－1，3) D。(1，－3)解析f′（x)＝3x2－1,令f′(x)＝2，则3x2－1＝2,解得x＝1或x＝－1,∴P(1，3)或(－1，3),经检验,点（1,3),（－1,3）均不在直线y＝2x－1上，故选C.答案C4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(）A。e B.－e C.eq\f(1,e) D。－eq\f（1,e）解析y＝lnx的定义域为（0，＋∞)，且y′＝eq\f（1，x），设切点为(x0，lnx0），则y′|x＝x0＝eq\f(1，x0），切线方程为y－lnx0＝eq\f（1,x0)(x－x0),因为切线过点（0，0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e,故此切线的斜率为eq\f（1,e)。答案C5.(2016·郑州质检）已知y＝f（x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x)＝xf(x)，g′(x）是g（x)的导函数，则g′（3）＝(）A。－1 B.0 C。2 D.4解析由题图可知曲线y＝f(x）在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1，3）,∴f′(3）＝－eq\f（1，3），∵g(x）＝xf(x)，∴g′（x）＝f（x）＋xf′(x),∴g′（3)＝f(3)＋3f′(3）,又由题图可知f(3）＝1,所以g′（3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)）)＝0。答案B二、填空题6.(2015·天津卷改编)已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0,＋∞），其中a为实数,f′（x)为f（x）的导函数，若f′（1）＝3，则a的值为________；f（x）在x＝1处的切线方程为________.解析f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(lnx＋x·\f(1,x）))＝a（1＋lnx）,由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a,又f′（1)＝3，所以a＝3.f（x)＝3xlnx，f（1)＝0，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y＝3(x－1)，即为3x－y－3＝0。答案33x－y－3＝07.(2016·全国Ⅲ卷）已知f(x）为偶函数，当x＜0时，f(x）＝ln(－x）＋3x,则曲线y＝f（x)在点(1，－3)处的切线方程是________.解析设x＞0,则－x＜0，f(－x）＝lnx－3x，又f（x)为偶函数,f(x）＝lnx－3x,f′(x）＝eq\f（1，x）－3，f′(1)＝－2,切线方程为y＝－2x－1.答案2x＋y＋1＝08。（2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点（0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x）（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________。解析y′＝ex,曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P（m，n)，y＝eq\f（1，x）（x＞0)的导数为y′＝－eq\f(1，x2)（x＞0），曲线y＝eq\f(1,x）（x＞0）在点P处的切线斜率k2＝－eq\f（1，m2）（m＞0),因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1,则点P的坐标为(1,1).答案（1，1）三、解答题9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝eq\f(1,3）x3－2x2＋3x＋1上任意一点,曲线在M处的切线为l，求:（1）斜率最小的切线方程;（2）切线l的倾斜角α的取值范围.解（1）y′＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1≥－1,∴当x＝2时，y′＝－1，y＝eq\f(5,3)，∴斜率最小的切线过点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2,\f(5,3））），斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0。(2）由(1)得k≥－1,∴tanα≥－1,又∵α∈［0，π),∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)））∪eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3π，4),π）).故α的取值范围为eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2))）∪eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3π,4），π)).10。已知曲线y＝eq\f（1,3)x3＋eq\f（4，3)。（1）求曲线在点P(2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点P（2，4)的切线方程。解(1）∵P（2,4)在曲线y＝eq\f（1,3)x3＋eq\f(4，3)上，且y′＝x2，∴在点P（2，4)处的切线的斜率为y′｜x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0。(2）设曲线y＝eq\f（1，3)x3＋eq\f（4,3）与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3）xeq\o\al（3，0）＋\f(4,3)))，则切线的斜率为y′｜x＝x0＝xeq\o\al(2,0）。∴切线方程为y－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）xeq\o\al(3，0)＋\f(4,3）））＝xeq\o\al（2，0)(x－x0），即y＝xeq\o\al（2,0）·x－eq\f(2,3）xeq\o\al(3,0)＋eq\f（4,3）。∵点P（2，4)在切线上，∴4＝2xeq\o\al（2，0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0）＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al（3,0）－3xeq\o\al（2，0)＋4＝0，∴xeq\o\al（3,0)＋xeq\o\al(2，0）－4xeq\o\al（2,0）＋4＝0，∴xeq\o\al（2,0)（x0＋1)－4(x0＋1）(x0－1)＝0，∴（x0＋1）（x0－2）2＝0,解得x0＝－1或x0＝2,故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0。能力提升题组(建议用时：25分钟)11.已知f1(x）＝sinx＋cosx，fn＋1(x）是fn(x)的导函数，即f2（x)＝f1′(x），f3(x）＝f′2（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x）,n∈N＊，则f2017(x)等于（）A。－sinx－cosx B。sinx－cosxC。－sinx＋cosx D。sinx＋cosx解析∵f1(x）＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3（x）＝f2′（x)＝－sinx－cosx,∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5（x)＝f4′（x)＝sinx＋cosx,∴fn(x）是以4为周期的函数,∴f2017(x）＝f1(x）＝sinx＋cosx，故选D。答案D12.已知函数f(x）＝g(x）＋x2,曲线y＝g（x）在点(1，g（1）)处的切线方程为y＝2x＋1,则曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线的斜率为（)A。4 B.－eq\f(1，4) C。2 D。－eq\f（1,2)解析f′(x)＝g′（x)＋2x。∵y＝g（x)在点（1，g(1）)处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1）＝2，∴f′（1）＝g′（1)＋2×1＝2＋2＝4,∴曲线y＝f（x)在点(1，f（1)）处的切线的斜率为4。答案A13.(2016·全国Ⅱ卷）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线,则b＝________。解析y＝lnx＋2的切线为：y＝eq\f（1，x1）·x＋lnx1＋1（设切点横坐标为x1).y＝ln(x＋1）的切线为:y＝eq\f（1,x2＋1)x＋ln(x2＋1)－eq\f（x2，x2＋1）(设切点横坐标为x2)。∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（1,x1)＝\f(1，x2＋1)，,lnx1＋1＝ln（x2＋1）－\f（x2,x2＋1),)）解得x1＝eq\f（1,2),x2＝－eq\f(1，2）,∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案1－ln214。设函数f(x)＝ax－eq\f(b，x)，曲线y＝f(x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0。(1)求f(x）的解析式;(2)曲线f（x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解（1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3,当x＝2时，y＝eq\f（1,2）。又f′（x）＝a＋eq\f(b，x2)，于是eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（2a－\f(b,2)＝\f（1,2），,a＋\f（b，4)＝\f(7，4），）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3。))故f(x)＝x－eq\f（3,x).（2)设P（x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f（3，x2)知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,xeq\o\al(2,0))））(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x0－\f（3,x0)）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3，xeq\o\al（2，0）)））（x－x0）。令x＝0,得y＝－eq\f（6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（6，x0））).令y＝x,得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0)。所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝eq\f（1，2）eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（－\f(6,x0)））|2x0|＝6.故曲线y＝f(x）上任一点处的切线与直线x＝0,y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15。如图,从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；P2,Q2;…；Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)（k＝1，2，…,n）。（1)试求xk与xk－1的关系(k＝2,…，n)；（2)求|P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋|P3Q3|＋…＋｜PnQn|。解(1)设点Pk－1的坐标是(xk－1，0）,∵y＝ex，∴y′＝ex，∴Qk－1（xk－1，exk－1)，在点Qk－1（xk－1，exk－1）处的切线方程是y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0，则xk＝xk－1－1（k＝2，…，n).（2)∵x1＝0,