2018年数学总复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课时作业

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精13-学必求其心得，业必贵于专精PAGE第5讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。椭圆eq\f（x2，m)＋eq\f(y2，4）＝1的焦距为2，则m的值等于（)A.5 B。3C。5或3 D.8解析当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m〈4时，4－m＝1，∴m＝3。答案C2。“2〈m<6”是“方程eq\f（x2，m－2)＋eq\f（y2，6－m)＝1表示椭圆”的（)A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C。充要条件 D。既不充分也不必要条件解析若eq\f（x2，m－2)＋eq\f(y2，6－m）＝1表示椭圆。则有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(m－2>0，，6－m>0,，m－2≠6－m,)）∴2<m〈6且m≠4。故“2〈m〈6”是“eq\f(x2，m－2）＋eq\f（y2，6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件。答案B3。设椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°,则C的离心率为(）A.eq\f(\r（3)，6） B。eq\f(1,3） C。eq\f（1，2) D.eq\f（\r（3)，3）解析在Rt△PF2F1中，令｜PF2｜＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1｜＝2，｜F1F2|＝eq\r（3）。故e＝eq\f（2c,2a）＝eq\f（|F1F2｜,｜PF1|＋|PF2|）＝eq\f（\r(3）,3）。故选D。答案D4。（2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1，2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB｜＝(）A。3 B.6 C.9 D。12解析抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0），准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2。可设椭圆E的方程为eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0)，因为离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(1,2)，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝eq\f（2b2，a）＝2×eq\f(12，4)＝6.故选B。答案B5。（2017·东阳调研）椭圆ax2＋by2＝1（a＞0,b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq\f(\r（3）,2)，则eq\f(b，a）的值为(）A.eq\f（\r(3)，2) B。eq\f(2\r(3），3） C.eq\f(9\r（3)，2） D.eq\f(2\r(3），27）解析设A(x1，y1），B(x2，y2)，则axeq\o\al（2，1)＋byeq\o\al(2,1)＝1,axeq\o\al(2,2）＋byeq\o\al(2,2）＝1，即axeq\o\al（2,1）－axeq\o\al(2,2)＝－(byeq\o\al(2,1）－byeq\o\al（2,2）)，eq\f（byeq\o\al(2,1）－byeq\o\al（2，2),axeq\o\al（2，1)－axeq\o\al（2，2))＝－1，eq\f（b（y1－y2）(y1＋y2），a（x1－x2）（x1＋x2））＝－1，∴eq\f(b，a)×（－1)×eq\f(\r(3),2)＝－1，∴eq\f(b，a)＝eq\f（2\r（3)，3)，故选B。答案B二、填空题6.（2017·宁波月考）焦距是8,离心率等于0.8.(1)若焦点在x轴，则椭圆的标准方程为________；(2）若焦点在y轴，则椭圆的标准方程为________。解析由题意知eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(2c＝8,，\f（c,a）＝0。8,)）解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a＝5，，c＝4，）)又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3。当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq\f（x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq\f（y2，25）＋eq\f(x2，9）＝1.答案（1)eq\f(x2,25)＋eq\f（y2,9）＝1（2）eq\f（y2,25)＋eq\f（x2，9)＝17.（2017·昆明质检)椭圆eq\f（x2,9）＋eq\f（y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10。则m＝|PF1|·｜PF2｜≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（|PF1|＋|PF2｜,2)））eq\s\up12（2）＝25,当且仅当｜PF1|＝|PF2｜＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0)。答案（－3，0)或(3，0）8.(2017·温州十校联考）已知F1（－c，0),F2(c,0）为椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点,且eq\o(PF1,\s\up6(→）)·eq\o（PF2，\s\up6(→）)＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________.解析设P（x，y），则eq\o(PF1，\s\up6（→）)·eq\o(PF2,\s\up6(→））＝(－c－x，－y)·（c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－eq\f(b2，a2)x2代入①式解得x2＝eq\f((2c2－b2）a2，c2)＝eq\f（(3c2－a2）a2，c2),又x2∈［0，a2］,∴2c2≤a2≤3c2,∴e＝eq\f(c，a)∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,3)，\f(\r(2），2））).答案eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3）,3)，\f（\r（2),2））)三、解答题9。设F1,F2分别是椭圆C：eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a＞b＞0）的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.（1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且｜MN｜＝5｜F1N｜，求a，b.解(1）根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(c,\f（b2,a)）),2b2＝3ac。将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a）＝eq\f（1，2）或eq\f(c，a)＝－2（舍去)。故C的离心率为eq\f（1,2).（2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D（0，2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a）＝4，即b2＝4a。①由｜MN|＝5|F1N|，得|DF1｜＝2|F1N|。设N（x1,y1)，由题意知y1＜0，则eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（2(－c－x1）＝c，,－2y1＝2,））即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x1＝－\f（3,2）c.,y1＝－1.）)代入C的方程,得eq\f(9c2，4a2）＋eq\f（1,b2）＝1。②将①及c＝eq\r(a2－b2）代入②得eq\f（9(a2－4a），4a2）＋eq\f（1，4a）＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r（7）。10。（2017·兴义月考）已知点M（eq\r(6)，eq\r(2））在椭圆C：eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为eq\f（\r(6）,3)。（1)求椭圆C的方程;（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积。解(1）由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f(6，a2)＋\f（2，b2)＝1，,\f（c,a)＝\f（\r（6),3)，,a2＝b2＋c2，）)解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝4。））故椭圆C的方程为eq\f(x2，12)＋eq\f（y2，4)＝1.（2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1），B(x2，y2），AB的中点为D(x0，y0).由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f（x2，12）＋\f(y2，4）＝1，)）消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，则x0＝eq\f（x1＋x2,2)＝－eq\f（3，4）m，y0＝x0＋m＝eq\f(1，4)m,即Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,4)m，\f（1,4）m)).因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝eq\f(2－\f(m，4），－3＋\f(3m,4）)＝－1,解得m＝2。此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则｜AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r（2)·eq\r（（x1＋x2）2－4x1x2)＝3eq\r(2），又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝eq\f(3，\r（2）），所以△PAB的面积为S＝eq\f（1，2）｜AB|·d＝eq\f（9,2）。能力提升题组(建议用时：30分钟)11。（2016·高安模拟）椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a〉b〉0)的左焦点为F，若F关于直线eq\r（3）x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A。eq\f（1，2) B。eq\f(\r（3)－1,2）C.eq\f（\r(3），2） D.eq\r（3）－1解析设F(－c，0)关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A（m,n），则eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(n，m＋c)·（－\r(3））＝－1，，\r（3）·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(m－c，2)））＋\f（n，2)＝0,）)∴m＝eq\f(c,2），n＝eq\f（\r(3）,2）c，代入椭圆方程可得eq\f（\f（c2，4），a2）＋eq\f(\f(3，4）c2,b2)＝1，并把b2＝a2－c2代入，化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2eq\r（3）,又0＜e＜1，∴e＝eq\r（3）－1，故选D。答案D12。（2017·绍兴一中质检）已知直线l：y＝kx＋2过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥eq\f(4\r（5），5），则椭圆离心率e的取值范围是（)A。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（\r（5),5))） B。eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f(2\r（5),5)))C。eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（3\r（5）,5））) D.eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（4\r（5）,5))）解析依题意，知b＝2，kc＝2。设圆心到直线l的距离为d，则L＝2eq\r（4－d2)≥eq\f(4\r（5）,5），解得d2≤eq\f（16，5).又因为d＝eq\f（2，\r（1＋k2）)，所以eq\f（1,1＋k2）≤eq\f(4，5),解得k2≥eq\f(1,4）。于是e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f（c2,b2＋c2)＝eq\f（1，1＋k2），所以0＜e2≤eq\f（4，5），解得0＜e≤eq\f（2\r（5）,5）.故选B.答案B13。椭圆eq\f（x2，4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2,点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________。解析设椭圆上一点P的坐标为（x，y),则eq\o(F1P，\s\up6(→)）＝(x＋eq\r(3)，y），eq\o(F2P，\s\up6(→）)＝(x－eq\r(3)，y）.∵∠F1PF2为钝角，∴eq\o（F1P，\s\up6（→)）·eq\o（F2P,\s\up6(→））<0，即x2－3＋y2〈0，①∵y2＝1－eq\f（x2，4）,代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)〈0，即eq\f(3，4)x2<2，∴x2〈eq\f（8,3）。解得－eq\f(2\r(6)，3)<x〈eq\f（2\r(6),3），∴x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r（6)，3),\f（2\r（6)，3）)).答案eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2\r(6),3），\f(2\r(6），3)))14。(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a>b〉0)，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0)，点B的坐标为（0,b),点M在线段AB上,满足|BM|＝2｜MA｜，直线OM的斜率为eq\f（\r（5)，10）。（1）求E的离心率e;（2）设点C的坐标为（0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为eq\f（7,2）,求E的方程。解(1）由题设条件知，点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f（1,3）b）），又kOM＝eq\f（\r（5)，10)，从而eq\f（b,2a）＝eq\f(\r(5)，10），进而得a＝eq\r（5）b，c＝eq\r（a2－b2)＝2b，故e＝eq\f(c，a)＝eq\f(2\r(5)，5)。(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为eq\f(x，\r（5)b）＋eq\f（y，b）＝1，点N的坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（5),2）b，－\f（1，2）b)).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x1，\f（7,2)）)，则线段NS的中点T的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(5),4）b＋\f（x1，2)，－\f(1,4)b＋\f(7,4））)。又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(\f（\r（5），4）b＋\f(x1,2),\r(5）b)＋\f（－\f（1,4）b＋\f（7,4），b)＝1，，\f(\f(7,2）＋\f(1，2)b,x1－\f（\r(5)，2)b）＝\r（5）。））解得b＝3。所以a＝3eq\r(5），故椭圆E的方程为eq\f(x2，45)＋eq\f(y2,9）＝1。15。（2017·沈阳质监)已知椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,且|F1F2｜＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点。(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程;（2）若k＝eq\f(\r（2），4），且A，B，F1,F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；（3)在（2)的条件下，设P(x0,y0）为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈（－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围.解（1）由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16,得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25,b2＝16.所以椭圆的标准方程为eq\f（x2，25)＋eq\f(y2，16)＝1.(2)法一由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(\f（x2，a2)＋\f（y2，b2）＝1,,y＝\f（\r（2），4)x,））得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b2＋\f（1，8）a2））x2－a2b2＝0.设A(x1，y1),B（x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f(－a2b2,b2＋\f(1，8）a2），由AB,F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为eq\o(F2A,\s\up6(→)）＝(x1－3，y1)，eq\o（F2B，\s\up6（→))＝（x2－3，y2)，所以eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o（F2B，\s\up6(→））＝(x1－3）(x2－3)＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，8))）x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有eq\f(－a2b2，b2＋\f(1,8)a2）＝－8,结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，∴e＝eq\f（\r（3),2).法二设A(x1，y1),又AB，F1F2互相平分且共圆,所以AB，F1F2是圆的直径，所以xeq\o\al(2，1）＋yeq\o\al(2，1）＝9，又由椭圆及直线方程综合可得eq\b\lc\｛(\a\v