高中数学必修二培优讲义

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高一课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第01讲一-三视图和直观图

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体结构；

教学目标②能画出简单的空间图形的三视图，能识别三视图说表示的立体模型；

③能通过三视图求出空间几何体的体积和表面积。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)后1.1果早

体系搭建

（-）几何体的结构特征及分类

名称定义图形特征分类

一个多边形的点沿相同4__1）侧棱平行且相等;1）直棱柱和斜棱柱；

棱方向移动相等距离形成2）底面平行且全等;2）正棱柱和非正棱

柱///

/£__/

的多面体。/✓3）不相邻侧棱截面是挂；

平行四边形。3）三棱柱、四棱柱等。

一个面是多边形,其余棱锥被平行于底面的平1）三棱锥、四棱锥等；

棱各面有一个公共点的二面所截，截面与底面相2）正棱锥和非正棱

锥

角形的多面体。似，面积比等于高平方锥；

之比。

平行于底面的平面截去1）两个面相互平行的1）三棱台、四棱台等；

/__/

棱锥的多面体。多边形；2）正棱台和非正棱

棱/'

台

2）其余各面是梯形，且台。

相邻梯形的腰线共点。

以矩形的一边所在的直1）两个底面是平行且无

线为旋转轴，其余三边全等的圆:

圆旋转形成的几何体。2）轴截面是全等的矩

柱

/一—'形。

<___J

以直角三角形的一直角轴截面都是全等的等腰无

边为轴，其余各边旋转三角形。

圆

锥而成的曲面所形成的几

何体。3

等腰直角梯修垂直于底轴截面都是全等的等腰无

的腰所在的直线为轴，梯形。

圆其余各边旋转而成的曲

台

面几何体。□

到定点的距离等于或小1）大圆：截面过球心；无

工定长的点集合。小圆：截面不过球心；

2）球心与不过球心的

球

匕截面；

3）平面截球面,截面是

一个圆。

（-）简单组合体

组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成

的几何体；

常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合：②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组

合.

①多面体与多面体的组合体：

由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体.如下图（1）是一个四棱柱与

一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三

棱台的组合体.

②多面体与旋转体的组合体

由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与

一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥

组合而成的.

③旋转体与旋转体的组合体

由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体.如图（1）是由一个球体

和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一

个圆柱和一个圆锥组合而成的.

(三)三视图

三视图的概念：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很

难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小.通

常，我们总是选择三种投影.

(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；

(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；

(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

三视图的画法规则：画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，

正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位.

正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此,

每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：

(1)正、俯视图都反映物体的长度一一“长对正”；

(2)正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；

(3)俯、侧视图都反映物体的宽度一一“宽相等”.

(四)斜二测画法

在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.要画空间几何体的直观图，

首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法.

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.

斜二测画法的步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0.画直观图时，把它们画成对应的x'

轴与y'轴，两轴交于点0',且使/x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于『轴、『轴的线段，并使

它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

(3)已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变

为原来的一半.画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图.

线表示看不见的部分.画完直观图后还应注意检验.

典例分析

考点一:简单几何体的结构特征

例1、判断下列说法是否正确.

(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形；

(2)一个n(n23)棱柱共有2n个顶点；

(3)棱柱的两个底面是全等的多边形；

(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形.

例2、有下面五个命题：

(1)侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

(2)侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

(3)底面是正方形的棱锥是正四棱锥；

(4)正四面体就是正四棱锥；

(5)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥.

其中正确命题的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥.这种说法是否正确？如果正确说明

理由；如果不正确，举出反例.

例4、判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？

考点二:几何体中的基本计算

例1、一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀加和25ncm2.求

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

考点三:简单几何体的组合体

例1、(1)一个正方体内接于一个球，过球心作一福:面，如下图所示，则截面可能的图形是()

恒@

①®_③④

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

(2)如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和.

C

考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题

例1、长方体ABCD-ABCD(如图)中，AB=3,BC=4,AA=5,现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C.来

获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程白勺最小值.

,0

例4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

考点六：空间几何体的直观图

例1、已知正三角形ABC的边长为a,那么AABC的平面直观图AA'B'C的面积为（）

A/32^32V625/62

A.—ci~B.—a'C.-----ci~D-----a-

48816

例2、如图所示，矩形O'A'B'C是水平放置一个平面图形的直观图，其中O'A'=6,O'C'=2,则原

图形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形

P(Practice-Oriented)一—实战演练

实战演练

＞课堂狙击

1,下列命题中正确的是（）

A.正方形的直观图是正方形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

2、若一个圆锥侧面展开图是面积为2n的半圆面，则该圆锥底面的面积为（）

A.nB.2nC.3JtD.4Jt

3、如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的直观图是（）

正视图侧视图

ABCD

俯视图

4、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（）

A.上面为棱台，下面为棱柱B.上面为圆台，下面为棱柱

C.上面为圆台，下面为圆柱D.上面为棱台，下面为圆柱

正视图侧视图俯视图

5、三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）

A.2VT1D.1673

6、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（)

A.10cm,B.20cmC.30cm'D.40cm

・3,

7、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如

图则原平面图形的面积为（）

A.2B.3C.8D.872

X

A课后反击

1,以下四个命题中，正确的有（）

①两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥.

A.①②④B.②③C.@D.②④

2、下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（）

A.棱台的侧面一定不会是平行四边形

B.棱锥的侧面只能是三角形

C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥

D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥

3、有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成（如图），则这个几何体含有的正方体的个数是（）

4、扇形的半径为3,中心角为120°,把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（）

A.nB.2C.空0D.2衣兀

333

5、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是至，则正视图中的x的值是（）

2

D.3

6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）

M二」

正视图侧视图

弋

俯视图

战术指导

1、棱柱概念的理解

对于棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四边

形，且每相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，底

面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；

2、正棱锥概念的理解

顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都

相等；

3、三角形的直观图的面积与原平面图形的面积比是多少？

对于一边上的高为h的三角形，其直观图的高或xY2=立6。

224

故三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比是0：4。

本节所蕴含的数学方法主要是将要解决的问题化归为概念的理解上，将空间几何体问题转化为平面儿

何问题，立体几何离不开画图，借助几何体的直观图和三视图渗透数形结合的数学思想方法。

4、【2013广东】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（

A.4B.14

~3

C.16D.6

~3正视图

5、【2016全国卷1】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直

的半径.若该几何体的体积是2旺，则它的表面积是（）

D.28Tl

S(summary-Embedded)归纳总结

重点回顾

考点一:简单几何体的结构特征

考点二:几何体中的基本计算

考点三:简单几何体的组合体

考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题

考点五：空间几何体的三视图

考点六：空间几何体的直观图

名师点拨

1、棱锥的侧面三角形有一个公共顶点；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的

底面；用平行于底面的平面丢截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台.正棱锥顶点在底面的射影是底面正

多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都相等；

2、对于棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四

边形，且每相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，

底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；

3、以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆锥；圆台可以是直角梯形以垂直

于底边的一腰所在直线为轴旋转而得；用平行于底面的平面去截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台。

学霸经验上

＞本节课我学到了

＞我需要努力的地方是

-

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高一课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第02讲一柱体、椎体、台体、球的表面积和体积

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①能够熟练运用柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式计算一些组合体的表

教学目标面积和体积；

②用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)---------同少堂

体系搭建

(-)柱体、锥体、台体的表面积

A、多面体的表面积

1、多面体的表面积求法：求平面展开图的面积

注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.

2、直棱柱的侧面积与全面积

(1)侧面积

①求法：侧面展开(如图)；

②公式：S=c/(其中c为底面周长，/为侧棱长);

(2)表面积：侧面积+两底面积.

(3)推论：

①正棱柱的侧面积：S="(其中c为底面周长，/为侧棱长).

②长方体的表面积：S=2(ab+bc+c”).(其中分别为长方体的长宽高)

③正方体的表面积：S=6/为正方体的棱长).

3、斜棱柱侧面积与全面积

（1）侧面积：

①求法：作出直截面（如图）；

注：这种处理方法蕴含着割补思想.

②公式：S=c/（其中c为直截面周长，/为侧棱长）;

（2）表面积：侧面积+两底面积.

4、正棱锥的侧面积与全面积

（1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）；

②公式：S（其中c为底面周长，"为斜高）;

2

（2）表面积：侧面积+底面积.

5、正棱台的侧面积与全面积

（1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）；

②公式：S=g（c+d）//（其中c、d为底面周长，〃为斜高）;

（2）表面积：侧面积+两底面积.

6、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系:

①求法：侧面展开（如图）;

②公式：S=2乃〃（，•为两底半径，/为母线长）;

（2）表面积：S=27tr（r+l）.

2、圆锥的侧面积与表面积

（1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）;

②公式：S=7rrl；

（2）表面积：S=m（r+/）（r为两底半径，/为母线长）.

事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2内，半径为圆锥母线,,故面积为:x2nrx/=兀ri.

3、圆台的侧面积与表面积

（1）侧面积

①求法：侧面展开（如图）;

②公式：S=T（r+R）/;

事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为24、2",半径分别为八X+/,故圆台侧面积为

>•r/

S=Lx2aRx(x+r)-Lx2Krx*=n(R-r)x+"RI，・——=>(R-r)x=rlf・・S=乃(r+R)l.

22

（2）表面积：万，+乃叱+万（r+R）/.（r、R分别为上、下底面半径，/为母线长）

4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系:

（二）柱体、锥体、台体的体积

A、棱柱、棱锥、棱台的体积

1、棱柱体积公式：V=Sh（人为高，S为底面面积）；

2、棱锥体积公式：V=-Sh（//为高，S为底面面积）;

3

3、棱台体积公式：/台=：3+耶瓦+$2）〃（也为高，S、、S,分别为两底面面积）.

事实上：设小棱锥高为*,则大棱锥高为*+〃.于是丫=京式工+力-3*=；斗+扣「S,）x.R

:金哈士医一商户房’J：

•*•V=；SJi+；（叵+&）（厄一后）x=；S*+g（厄+&）西h=；（4+麻+SQh.

4、棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系:

B、圆柱、圆锥、圆台的体积

1、圆柱的体积：V=7vr2h（〃为（Wj,r为底面半径）.

2、圆锥的体积：V=-7rR2h（〃为高，R为底面半径）.

3

3、圆台的体积：V=^（r2+rR+R2）h（r、R分别为上、下底半径，力为高）.

事实上：设小圆锥高为X,则大圆锥高为工+力（如图）.

.于是V=g%川（x+A）-1兀/h=g;r（R+r）（R-r）x+；兀R?h.

••xfxr•11,1,、

•-----=-=>-=--------n(R-r)x=rh，••V=-/r(R+r)rh+-7rR2h=-^r'+rR+R)h.

x+hRhR-r333

4、圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系:

（三）球的体积与表面积

1、球的体积：V=-7rR\

3

2、球的表面积：S=4兀R?.

3、球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长

度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离.

（四）祖晒原理：惠势既同，则积不容异

这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截

面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.应用祖晒原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥

体的体积相等.

典例分析

考点一：几何体的表面积和侧面积

例1、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

删（左）现图

A.28+6小B.30+6小C.56+12乖D.60+12/

例2、已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P—ABCD的四个侧面中面积最大的是（）

A.3D.8

考点二：几何体的体积

例1、若某儿何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此儿何体的体积等于.cm.

正视图侧现图

俯视图

例2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

—8—

侧（左）视图

560580

A.-r-B---C.200D.240

3

考点三：球的组合体及球的性质

例1、已知H是球0的直径AB上一点，AH：HB=1：2,AB，平面a,H为垂足，a截球0所得截面的面积

为n,则球0的表面积为.

例2、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这

个球面面积的萤，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

考点四：空间几何体体积求法例析

A、公式法

例1、四棱锥P-ABCD的顶点尸在底面中的射影恰好是A,其三视图如图，则四棱锥尸-ABS的体积

为.

B、分割法

a

例1、如图，在多面体ABCOEF中，已知面/WCZ）是边长为3的正方形，EF//AB,EF=~,E尸与AC面

2

的距离为2,则该多面体的体积为.

C、补形法

例1、已知PA、PB、PC两两互相垂直，且△»：、APAC,△PBC的面积分别为1.5cn?,2cm2,6cm2,

则过户、A、B、C四点的外接球的体积为cm2.

D、特殊化法

例1、如图，直三棱柱A8C-A8c体积为丫，点?、。分别在侧

棱A4,、上，AP=DtQ,则四棱锥B-APQZ）的体积为.

D

B

E、等体积转化（变换角度）

例1、如图，在长方体A8CQ-A8cA中，如果分别过8C、AR的2个平行平面将长方体分成体积相等

的3部分，那么组=.

P(Practice-Oriented)---------实战演纺^

>课堂狙击

1、已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（）

A.小

2、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

正《主）视图便（左）视图

A.200+9nB.200+18兀C.140+9JiD.140+18u

3、已知直三棱柱ABC-ABG的6个顶点都在球0的球面上.若AB=3,AC=4,AB±AC,AAi=12,则球0

的半径为（）

B.D.3^/10

4、正三棱锥底面三角形的边长为4,侧棱长为2,则其体积为（）

5、将长为a,宽为b（a>b）的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V”以b为轴旋转一周，所得柱

体的体积为V2,则有（）

A.Vi>V2B.V)<V2c.v)=v2D.%与V?的大小关系不确定

6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

7、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为

8、如图，在三棱柱ABG—ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AAi的中点.设三棱锥F—ADE的体积为％,

三棱柱AiB,C,-ABC的体积为V2,则V,：Vz=.

9、已知正四棱锥P—ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-ABCD的体积和侧面积.

10、在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这个球的体积.

＞课后反击

1、将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）

A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2

2、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（）

A.镜B.#C.乎D.斗^

3、正四棱柱的体对角线长为6,侧面对角线长为34，则它的侧面积是—

4、平面a截球。的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为乖，则此球的体积为（）

A.m贝B.4乖“C.4mnD.6小n

5、正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB=6,BC=8,AC=10,则球的

表面积是（）

八100Ji400

A.100nB.300nC3D.—n

o

6、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）

△

侧（左）视图

A.32B.16+16/C.48D.16+32小

7、一圆锥的底面半径为4,用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体

积的（）

63111

A.-B.-C.~D.~

6416464

8、体积为8的一个正方体，其全面积与球0的表面积相等，则球0的体积等于.

9、如图所示，在长方体ABCD—A'B'C'D'中，截下一个棱锥C-A'DU,求棱锥C-A'DD'的体积

与剩余部分的体积之比.

AB

10＞如图所示，在边长为5+2班的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以0为圆心画一个圆，M、N、

K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆0为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.

战术指导

1.一种数学思想

计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，

因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

2.两种位置：球的组合体的内切与外接

如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体

的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解

题.

3.三种方法一一求空间几何体体积的常用方法

(D公式法：直接根据相关的体积公式计算.

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积

比等.

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间儿何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.

直击高考

1、【2016•全国I卷•理】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若

该几何体的体积是笙匚，则它的表面积是()

3

A.17兀C.20n:D.28K

2、【2015•全国1卷•理】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视

图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20兀，则心（）

A.1B.2C.4D.8

3、【2015•全国I卷•理】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：'‘今有委米

依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一

个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已

知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

4、【2013•全国I卷•理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容

器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为（）

n2048n3

u-----o----CID

o

S(Summary-Embedded)---------归Z内忌Z吉

重点回顾&

考点一：几何体的表面积和侧面积

考点二：几何体的体积

考点三：球的组合体及球的性质

考点四：空间几何体体积求法例析

A、公式法

B、分割法

C、补形法

D、特殊化法

E、等体积转化（变换角度）

名师点拨

几个重要结论的补充及应用

结论1:锥体平行截面性质

锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥

对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方.

2兀r

结论2：若圆锥母线长为/,底面半径为r,侧面展开图扇形圆心角为。，则

结论3：若圆台母线长为/,上、下底面半径分别为小R,侧面展开图扇环圆心角为巴则。=2乃xl.

I

证明：设小圆锥母线长为一则有正2m=e=迎.•••上/=2=q=x=旦，

Kx+lRIR-rR-r

：..上=2必£一~“口.

XrlI

学霸经验

＞本节课我学到了

＞我需要努力的地方是

IIJ小

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高一课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第04讲一空间点、直线、平面之间的位置关系

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①理解和掌握平面的性质定理，能合理运用：

②掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；

教学目标

③会判断异面直线、掌握异面直线的求法；

④会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)---------同步堂

体系木苔建

9

(-)平层ff

5F面的概WJr：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见

为平面抽^区出来的.常见的桌面、平『廊的水面等都给我们以平面的局部形象.

平面是理£民的、绝对的平且无大小，：无厚度,不可度量.

F面的表力W方法

⑴一个平面：自§平面是水平放置的时,候，i通常把平行四边形的锐角

画成45°,横边i画成邻边的2倍长，彳E右图

⑵两个相交平由1：

面两个相3好平面时，通常要化出它们J勺交线,当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的

戋段画成这9线或不画(如下图).

J一夕

)B4

运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言

空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看

成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示.

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形语言符号语言文字语言（读法）

A£Q点A在直线a上.

・A

-------aA^a点A不在直线a上.

/dA./Aea点A在平面a内.

A.

/d/A^a点4不在平面a内.

ar>h=A直线a、b交于A点.

aua直线a在平面a内.

a

A/ar>a=0直线a与平面a无公共点.

ar\a=A直线a与平面a交于点A.

A\z

0"B/acB=1平面a、夕相交于直线/.

（二）平面的基本性质

公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

推理模式：>=>ABaa.如图不：或者：；Aea.Bea,ABua

Bea

公理1的作用：①判定直线是否在平面内;

②判定点是否在平面内；

③检验面是否是平面.

公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公

共点的直线.

A£0CI

推理模式：4夕=如图示：

或者：VAs«,AG/7,ar\j3=l,Ael

公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置；

②判断点是否在线上

今后所说的两个平面（或两条直线），如无特殊说明,均指不同的平面（直线）.

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

A,不共线,

推理模式：A,B,Cea1na与£重合.

A,B,Cc0

或者：不共线，.•.存在唯一的平面a,使得A,5,Cec.

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

（1）以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、

辅助面的依据.

（2）“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一.因

此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.

（三）空间两直线的位置关系

位置关系共面情况公共点个数

相交直线在同一平面内有且只有一个公共点

平行直线在同一平面内没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内没有公共点

（四）平行直线

公理