2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（巩固）》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题：17.9勾股定理的逆定理(巩固篇)(专项练习)

1、单选题

类型一、判断三边能否构成直角三角形

1.三角形的三边长分别为a、b、c,且满足("+')-=〃+2叱则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

2.由线段。、bc组成的三角形不是直角三角形的是()

A.a2-b2=c2B.44

Qa=2,b=c=>/lD.N/:N8:NC=3:4:5

3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的

是()

类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点

4.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离

为5,且aABC是直角三角形,则满足条件的C点有()

A.4个B.5个C.6个D.8个

5.在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),点B(2,-3).在坐标轴上找•点C,使得aABC为直

角三角形,这样的点C共有()个.

A.5B.6C.7D.8

6.下列叙述中，正确的是()

A.直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方

B.如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形

C.口ABC中，ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c,若a?+/=c?,则/A=90°

D.口ABC中，DA,ZB,/C的对边分别为a,b,c,若/B=90",则c?-a?="

类型三、网络中判断直角三角形

7.如图的网格中，每个小正方形的边长为1,A,B,C三点均在格点上,结论错误的是()

1

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B

A.AB=26B.ZBAC=90°C.SA^BC=10D.点A到直线BC的

距离是2

8.如图，在6X4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1,点4以均在格点上.则

ZABC-ZDCE=()

A.30°B.42°C.45°D.50°

9.在数学活动课上，老师要求学生在4X4的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画

直角三角形,要求三个顶点都在各点上,而且三边与AB或AD都不平行,则画出的形状不同的

直角三角形有()种.

DC

AB

A.3B.4C.5D.6

类型四、利用直角三角形的逆定理求解

10.已知在等腰三角形｛a'中，D为根的中点4M2,BD=5,4庐13,点P为和边上的动点,

点£为18边上的动点,则阳阳的最小值是()

2

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120120

c.TF

A.10B.12D.E

11.图，在四边形“88中，48=8C=1,CD=240=而且448c=90。，则四边形

/8CZ）的面积为o

/T—I-^2I—V6—

A.〃+1B.2C.1+V2D.2

12.如图，在四边形/8CZ)中，AB=12,8c=17,8=8,4)=9,8。=15,则四边形

/8CD的面积为()

类型五、勾股定理的逆定理的实际运用

13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=1,AD=3,NABC=90°,则四边形ABCD的面积

为（）

3

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D

76

+——

A.2B.4C.12D.2+^2

14.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min,甲客轮用30min到达A处，乙客

轮用40min到达B处.若A,B两处的直线距离为2000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则

乙客轮的航行方向可能是()

A.北偏西30°B.南偏西30°C,南偏东60°D.南偏西60°

15.下列结沦中，错误的有()

①RtaABC中，已知两边分别为3和4,则第三边的长为5;

②三角形的三边分别为a、b、c,若/心则/A=90°;

③若aABC中，NA:NB:NC=1:5:6,则这个三角形是一个直角三角形;

④若(x-y)2+M={x+y)2成立，贝！JM=4xy.

A.0个B.1个C.2个D.3个

类型六、勾股定理逆定的拓展运用

16.中，//>90。，46=6,〃'=8,则及7的长度可能是（）

A.8B.10C.12D.14

17.AABC的三边长为4cm、5cm、6cm,则AABC的形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能判定

18.下列说法正确的是()

A.在直角三角形中，已知两边长为3和4,则第三边长为5

B.三角形为直角三角形,三角形的三边长为a,b,c,则满足岸

C.以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形

D.在△力比1中，若/力：N6：NC=1：5:6,则为直角三角形

2、填空题

类型一、判断三边能否构成直角三角形

19.已知|%61+(2»16)2+^^=0,则以a、b、c为三边的三角形的形状是—

20.AABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作DE1AP,交

边AB于点D,交边AC于点E,点N为DE中点，若四边形ADPE的面积为18,则AN的最大值

4

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c

21.如图，口48c中,CDJ_AB,垂足为D.下列条件中，能证明口43c是直角三角形的有

（多选、错选不得分）.

ACCD

①/A+NB=90°;②AB2=AC2+BC2;③8。；④CD2=AD・BD.

类型二、图形上与已知两个点构成直角三角形的点

22.同一平面内有A,8,C三点，A,8两点之间的距离为5cm,点C到直线的距离为

2cm,且口43。为直角三角形,则满足上述条件的点C有个.

23.如凰在中，/8=/C=20,80=32,点。在线段8c上以每秒2个单位的速度从

8向C移动，连接N。，当点。移动秒时，X。与M8C的边垂直.

24.已知点A的坐标为*，5）,点5在x轴上,且/〃=13,那么点8的坐标为.

类型三、网络中判断直角三角形

25.如图所示的网格是正方形网格,则+=.

26.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图,线段

AB,BC,做应■的端点均在格点上,线段和座交于点F,则加'的长度为

5

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27.如图，在3X3的正方形网格中标出了/I和N2,则/2—/1=

类型四、利用直角三角形的逆定理求解

28.如图，点尸是等边△49。内的一点，为=6,⑶=8,/T=10,若点户是外的一点，且

△〃4侬△/C则N4阳的度数为一.

29.如图，口48C的周长为36cm,4S8C：C4=3:4:5,点〃从点/出发，以icm/S的速度向

点6移动;点0从点6出发，以2cm/s的速度向点C移动.如果P,0两点同时出发,那么经过

3s后JBPQ的面积为_____cm2.

30.如图,在△四C中，四=12,〃=16,6C=20.将△/相沿射线"折叠，使点A与比边上

的点〃重合,上为射线817上一个动点，当△吸周长最小时，丝的长为.

6

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类型五、勾股定理的逆定理的实际运用

31.在口/叱中，/B=3,AC=4tBC=5,4）平分N8/C交8c于点。，DE/IAB,RDE交

/C于点E,则DE的长为.

32.“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一

块,有三斜,其中小斜五里，中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何？”这道题讲的是:有一块

三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国

市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为—平方千米.

33.如图,某开发区有一块四边形的空地ABCD,现计划在空地上种植草皮,经测量NA=90°,

AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

类型六、勾股定理逆定的拓展运用

34.边长为6,8,10的口月5c内有一点尸到三边的距离均为加，则加的值为______.

35.如图，点C为直线/上的一个动点，4。呼于〃点，BE*于E点,4D=DE=4,BE=1,当

长为口"3。为直角三角形.

36.在M8C中，的对边分别是以6c,若/+/=25,/一/=7,又0=5,贝ij

最大边上的高为.

三、解答题

7

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37,尺规作图：已知"=3,8c=4,4C=5(单位长度线段己知)，请画出这个三角形，保留

痕迹,不写画法,并求出力。边上的高.

38.生态兴则文明兴，生态衰则文明衰.“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展

理念,持续改善生态环境.如图现有施工遗留的一处空地,计划改造成绿地公园，已知

N4=90°,AB=AD=3C■米,比'=10米,CD=8米，已知每平方米的改造费用为200元,请问

改造该区域需要花费多少元？

39.如图，己知四边形/颇中，4?=2狡，5=2,N6=30°,过点/作/到_凿垂足为

E,4£=1,且点£是比的中点,求N6"的度数.

40.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果相表示大于1的整数，”=2机，b=/-l,c=〃?2+l,那

么“，仇c为勾股数.你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

41.阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c

三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状:①若a。=从+',则该三角形是直角三角

形;②若/则该三角形是钝角三角形;③若/+。2,则该三角形是锐角三角

形.例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,62=36<42+5\故由③可知

该三角形是锐角三角形,请解答以下问题：

(1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是________三角形.

2

(2)若一个三角形的三边长分别是5,12.x.且这个三角形是直角三角形,求厂的值.

(3)当。=2,b=4时,判断口/5。的形状,并求出对应的的取值范围.

参考答案

8

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1.c

【分析】

化简：S+”=c?+2叱即可得到结论.

【详解】

解....(a+b)2=c2+2ab

.,.a2+b2=c2.

因为a、b、c,为三角形的三边长,所以为直角三角形.故选:C.

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三

角形是直角三角形.

2.D

【分析】

根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】

A.•/a?-b?=c2,，b2+c2=a2,.•.能够成直角三角形,故本选项错误；

a=-m2=m2

B.；44,.•.b2+c2=i2+lM=22,.•.能够成直角三角形，故本选项错误；

C....a=2,b=gc=V7,.•.a2+b2=22+3)=S)=c2,.•.能够成直角三角形，故本

选项错误；

D.V/A:/B:/C=3:4:5,NA+/B+NC=90°,/.ZA=45°，/B=60°,NC=75°,二不是

直角三角形,故本选项符合题意，

故选D.

【点拨】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那

么这个三角形就是直角三角形.

3.C

【分析】

求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,根据两小边的平方和等于最长边的平方逐一验

证即可得到答案.

【详解】

解:A、+24J25?,152+20%24?,22?+20?工25?,故人不正确；

B、72+242=252,152+202W24)故B不正确;

以72+24=252,6+202=252,故0正确；

D、72+20F52,S+242H252,故口不正确.

9

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故选:c.

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三

边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:若三角形三边满足

那么这个三角形是直角三角形.

4.C

【分析】

当NA=90°时，满足条件的C点2个；当NB=90°时，满足条件的C点2个；当NC=90°时，满

足条件的C点2个.所以共有6个.

【详解】

•.•点A,B的纵坐标相等，

；.AB〃x轴，

:点C到AB距离为5,AB=10,

...点C在平行于AB的两条直线上，

；•过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为

直径的圆与那两条直线有只有2个交点(这两个两点在线段AB的垂直平分线上)，

•••满足条件的C点共,6个.

故选C.

【点拨】用到的知识点为:到一条直线距离为某个定值的直线有两条.AABC是直角三角形，它

的任意一个顶点都有可能为直角顶点.

5.B

【详解】

试题解析：(DNBAP=90°易得&(0,2);

(2)ZABP=90°易得P2(0,-3);

(3)ZBAP=90°;

(如图)以AB为直径画。0'与x轴,y轴分别交于P：；、P」、P5、P6,AB与x轴交于C,过点

0，作O'D，y轴，

5"一4二3

在RtaOO'P3中易知O'D=2,0,P3=2,则P3D—42

10

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3i

-』=则（）易知

OP3=P3D-OD=21,P30,1P:SD=P5D,

则P5（0,-2）,连接O'P4,0‘P6,

易求出P4（2-^,0）P6（2+^；0）

综上所述P1（O,2）,P2（0,-3）,P3（0,D,P4（2-恒0）,P5（0,-2）,P6（2+♦,0）.

故选B.

考点：L勾股定理;2.坐标与图形性质.

6.B

【分析】

根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解.

【详解】

解：：由勾股定理知,直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方,而直角边应该都小

于斜边,所以直角三角形中,应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，二A错误；

•••由勾股定理的逆定理可得:如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形，，B正确；

Va2+b2=c\：.。为斜边,c的对角ZC=90°,AC错误;

「△ABC中，NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,ZB=90°,Ab为斜边，，〃=〃，D错误；

故选B.

【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等

于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键.

7.C

【分析】

根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案.

【详解】

解:AB=@+4,=而=2后,故选项A正确，不符合题意；

A。_>/12+22=#>BC=+4?=\/25=5

••"+加=5+20=25=心，

/.△ACB是直角三角形，

:.ZCAB=90°,故选项B正确,不符合题意；

=4x4--x2x4--x2xl--x3x4=5

SAABC222，故选项C错误，符合题意；

点A到直线BC的距离BC5，故选项D正确，不符合题意;

故选:C.

11

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【点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长

的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为

c,那么a2+b2=c\熟记勾股定理的内容是解题得关键.

8.C

【分析】

在A的右边距离/点1个单位的网格上取一点F,在点/下方1个单位处取一点G,连接

AF,FG,BG,CG,DF,证明ACE。三ASFG得/DCE=/G8F,从而得=

再证明RGBC是等腰直角三角形即可得到结论.

【详解】

解:在力的右边距离/点1个单位的网格上取一点/在点尸下方1个单位处取一点G,连接

AF,FG,BG,CG,DF,

■:B户户3,FG=ED=\,BG=CF际

\CED=\BFG

ZDCE=NGBF

NABC-ZDCE=NABC-NGBF=NGBC

在XGBC中，GC-BC=4SBG=Vio

GC2+BC2=BG2

・•.AGSC是等腰宜角三角形，且NGC8=90°

ZCGB=ZGBC=45°

NABC-^DCE45°

故选：C

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性

质等知识，证明/Z8C-ZDCE=/G8C是解答此题的关犍.

9.A

【解析】

【详解】

解:如图所示：

12

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2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（巩固）》专项练习题

形状不同的直角三角形共有3种情况:直角边之比为1:1,或1:2,或1:3.

故选A.

10.D

【分析】

根据勾股定理的逆定理得到N49斤90°,得到点4点。关于直线4。对称,过，作CELAB交

4?于P,则此时阳陟龙的值最小,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：氏12,切=5,仍13,

.•.您=初+协，

...N49/90°,

•.•〃为常的中点，劭=勿，

垂直平分比；

.•.点B,点C关于直线对称,过。作CELAB交AD于P,则此时阳陟3的值最小，

•/SXA-AB,C"5BQAD,

13•语10X12,

120

：.CE=13,

120

.,.侬阳的最小值为13,

故选:〃.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题,勾股定理的逆定理,两点这间线段最短,线段垂

直平分线的性质,三角形的面积公式,利用两点之间线段最短来解答本题.

13

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11.B

【分析】

连接AC,在直角三角形47。中，利用勾股定理求出的长,在三角形/”?中，利用勾股定理

的逆定理判断得到三角形4切为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形4国a的面

积.

【详解】

解:连接/C如图，

根据勾股定理得：4c==五,

在中，02,瓜,

：.A(?+Cff=AI^,

为直角三角形，

则四边形顺的面积$~九"+S&ACD=­xlxl+—x2x^2=—+V2

222

故选：反

【点拨】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关

键.

12.B

【分析】

利用勾股定理的逆定理,得到AABD和△BCD是直角三角形,然后根据三角形的面积公式,即

可求出答案.

【详解】

解:在AABD中,

■*­AB=\2,BC=17，CD=8，AD=9，BD=15

•AB2+AD2=\22+92=225=152=BD2

,,，

...△ABD是直角三角形，

14

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222222

•••BD+CD=15+8=289=17=BC,

...△BCD是直角三角形，

八S“w>+S.=—xl2x9+—xl5x8=114

二.四边形Z88的面积=A"BD…Ker)22；

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的面枳公式，解题的关键是熟练掌握勾

股定理的逆定理,判断aABD和ABCD是直角三角形.

13.D

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AC,根据勾股定理的逆定理求出NACD=90°,根据三角形的面积公式分

别求出4ABC和4ACD的面积，即可得出答案.

【详解】

在RtAABC中，由勾股定理得:AC==2上,

VCD=1,AD=3,AC=2'/2>

,,.AC2+CD2=AD2,

.-.ZACD=90°,

四边形ABCD的面积：

S=S4ABc+SzkACD

j_j_

=2AB*BC+2AC-CD

=2X2X2+2X1X2加

=2+&,

故选D.

【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出AACD是直角三角形是解

此题的关键.

14.C

【解析】

【分析】

首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘

轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.

【详解】

根据题意可得甲的路程:40X30=1200(4，

15

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乙的路程:40X40=1600®.

,.T2002+16002=20002,

，甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.

:甲客轮沿着北偏东30°,

二乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.

故选C.

【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,6,，满

足/+〃=c?,那么这个三角形就是直角三角形.

15.C

【分析】

根据勾股定理以及逆定理即可解答.

【详解】

①分两种情况讨论:当3和4为直角边时,斜边为5;当4为斜边时,另一直角边是近，所以

错误；

②三角形的三边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,应NC=90°,所以错误；

180。

③最大角NC=l+5+6X6=90°,这个三角形是一个直角三角形,正确；

④若(x-y)2+M=(x+y)2成立,则M=(x+y)2-(x-y)2=4xy,正确.故选C.

【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形

三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:若三角形三边满

足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

16.C

【解析】

:当/A=90°时，由勾股定理可知:BC=J/82+/C2=10,

...当NA>90°时,BC>10,

又•.•当BC=14时,AB+AC=BC了，此时不能围成三角形，

.,.BC=12.

故选C.

17.A

【解析】

【分析】

先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状.

【详解】

解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，

16

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2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理（巩固）》专项练习题

由勾股定理可知42+52=41>36=62

可知当第三边为6cm时,三角形为锐角三角形.

故应选A

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三

角形形状的变化趋势.

18.D

【分析】

根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案.

【详解】

解:A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4,则斜边的边长为5”，故不符合

题意；

B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b,c,斜边为a,则满足a2=b2+c2,即

a2-b2=c2"，故不符合题意；

C、比如:边长分别为3,4,5,有32+42=25=52,能构成直角三角形,故不符合题意；

D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°,75°,90°,因而是直角三角形，故符

合题意.故选:D.

【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确.

19.直角三角形

【解析】

分析:根据非负数的性质可得a-6=0,2bT6=0,10-c=0,再解方程可得a、b、c的值,再利用

勾股定理逆定理可得三角形的形状.

详解：由题意得：a-6=0,2b-16=0,10-c=0,

解得：a=6,b=8,c=10,

V62+82=102,

二三角形为直角三角形，

故答案为:直角三角形.

点睛:此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理,关键是掌握勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

15

20.~4

【分析】

先求AP-DE=36,再根据直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短,利用三角形面积公

式即可求得AP最短时的长,然后即可求出AN最长时的长.

【详解】

17

第17页共33页

解：；四边形ADPE的面积为18,DE±AP,

A2AP.|)E=18,即AP・I)E=36,

在AABC中，AB=6,AC=8,BC=10,

；.NBAC=90°,

:点N为DE中点，

]_

.\AN=2DE,

；.DE最大时,AN最大,

36

VDE=AP,

AAP最小时,DE最大，即AP1BC时,AP最小,

6x824

•.•AP=7"二丁，

15

.\DE=2,

15

.*.AN=T.

15

故答案为了.

【点拨】本题考查了勾股定理及直线外一点到直线上任一点的距离,垂线段最短的知识点,

解题的关键是理解AP最短时DE最大，即AN最大.

21.①②④.

【解析】

试题解析:①•••三角形内角和是180°,由①知NA+NB=90°,

AZACB=180°-(NA+NB)=180°-90°=90°,

」.△ABC是直角三角形.故选项①正确.

②AB,AC,BC分别为AABC三个边，由勾股定理的逆定理可知,②正确.

③题目所给的比例线段不是4ACB和ACDB的对应边，且夹角不相等,无法证明4ACB与4

CDB相似,也就不能得到NACB是直角，故③错误；

CDBD

④若AABC是直角三角形，已知CD1AB,又：CD2=AD・BD,(即AD~CD)

.,.△ACD^ACBD

.\ZACD=ZB

ZACB=ZACD+ZDCB=ZB+ZDCB=90°

△ABC是直角三角形

18

第18页共33页

•••故选项④正确;故答案为①②④.

22.8

【分析】

该题存在两种情况；（1）46为斜边,则NC=90。；（2）46为直角边，/C=2c机或8c=2cm；

【详解】

（1）当4?为斜边时，点C到直线48的距离为2cm,即AB边上的高为2cm,符合要求的,点

有4个,如图：

（2）当4?为直角边时，4C=2c/«或BC=2a«,符合条件的点有4个，如图;

符合要求的。点有8个;

故答案是8.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键.

23.3.5或8或12.5.

【分析】

设运动时间为'，然后分当"L/C、4O_LBC和NOJ.N8三种情况运用勾股定理解答即

可.

【详解】

解:设运动时间为‘，

则8。=2/。=5。-8。=32-2,

①当,/C时，如图1所示，

过点A作AH1BC于点H,

19

第19页共33页

图1

・.•AB=AC=20,8c=32

9

:.BH=CH=-BC=\6,

2

Rt\ABH中有=Bf/2+4H\

AHNAB。-BH?=12

:.DH=BH-BD=\6-2t,

Rt\ADH中，=I，？+,

RtMCD中，CD?=AD^+Ac\

:.CD2=AH2+DH1+AC2

.-.(32-2/)2=144+(16-2/)2+400

解得:，=35；

②当时，如图2所示，

图2

cSD=_5C=-x32=16,

由①可知，22

又BD=2/,

1.E=8.

③当ZB时，如图3所示,

图3

20

第20页共33页

过点A作/"，5C于点M，

由①知ZM=12,

R/A/1MZ）中有IM?+。河2=力。2,

Rt\ABD中有/^+AD1=BD\

2222

：.BD=AB+AM+DM1

人BD=2t,AB=20,AM=\2,DM=2t-\6,

4t2=400+144+4/-64f+256,

.-./=12.5

二当。点移动36秒或8秒或12.5秒时，N3与A48c边垂直.

故答案为：3.5或8或12.5.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本

题的关键.

24.（-9,0）或gO）

【分析】

设点6的横坐标为t,利用两点间的距离公式得到户和手=13,从而可以求出t的值.

【详解】

解：设点方的横坐标为t,

根据题意得J（3—）2+52=13,即（3-）2=12

所以3-t=12或3-t=T2.

t=-9或t=15.

故答案为（一9，°）或（I/0）.

【点拨】本题考查了两点间的距离公式:设有两点/（8,力），目（四,力），则这两点间的距离

为杷=-%）2+（必一%）2.

25.45°

【分析】

延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到PD2=BD2=l+22=5,PB2=l2+32=10,求得

PD2+DB2=PB2,于是得到/PDB=90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.

【详解】

如图，延长AP交格点于I）,连接B1）,

21

第21页共33页

D

,.,PD2=BD2=l+22=5,PB2=l2+32=10,

PD2+DB2=PB2,

/.ZPDB=90°,

/.ZDPB=ZPAB+ZPBA=45°,

故答案为:45.

【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质、等腰直角三角

形的判定和性质等知识,正确的作出辅助线是解题的关犍.

26.2

【分析】

连接AD、CD,由勾股定理得：4B=DE=d4、3°=5,BD74fl=2#,

22212

CD=AD=Jl+2="得出AB=DE=BC,BD+AD=AB1由此可得aABD为直角三角

形，同理可得ABCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABCgZ\DEB,得

出NBAC=NEDB,得出DF±AB,BD平分/ABC,再由角平分线的性得出DF=DG=2即可的解.

【详解】

连接AD、CD,如图所示：

由勾股定理可得，

AB=DE=742+32=5BD="+2?=2后CD=AD=V12+22=75

VBE=BC=5,AAB=DE=AB=BC,BD2+AD?=4B2,

.,.△ABD是直角三角形，NADB=90°,

同理可得：ZXBCD是直角三角形，NBDC=90°,

•,.ZADC=180°，，点A、D、C三点共线，

•AC=2AD=2^=BD

•,，

在aABC和4DEB中，

22

第22页共33页

AB=DE

<BC=EB

AC=BD.-.△ABC^ADEB（sss）i.-.ZBAC=ZEDB,

VZEDB+ZADF=90°，二NBAD+NADF=90°,

.".ZBFD=90°,.\DF±AB,

•.-AB=BC,BD±AC,ABD平分NABC,

VDG±BC,，DF=DG=2.

【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识,解题的关键是熟练掌

握勾股定理和过股定理的逆定理.

27.45

【分析】

根据图形,先将角进行转化,再根据勾股定理的逆定理,求得NACD=90°,由等腰三角形的性

质，推出/2-Nl=45°

【详解】

如图，连接AC,BC

根据勾股定理AC=BC=&\AB=J",因为（逐）、（逐）三（丽）;所以NACB=90°,/CAB=45°,

因为△△口［丝△FDE,AAOB^AABD（SAS）,

所以/CAH=N2,ZOAB=Z1,

因为2^八8=^^八11/048=45°,

所以/2-/1=45°

故答案为45

【点拨】本题的关键是构造等腰直角三角形，将/I,N2转化到同一个角中

28.150°

【分析】

如图：连接小，由△必隹可得P4=P4、4P44/用C进而可得△力m为

等边三角形易得小'=AP=AP'=6;然后再利用勾股定理逆定理可得为直角三角

形，旦NBP尸=90°,最后根据角的和差即可解答.

【详解】

解:连接小，

23

第23页共33页

2022年八年级数学下《勾股定理的逆定理(巩固)》专项练习题

；△必缁△户AB,

：.PA=P'A,AP'AB^ZPAC,

：.4PAP=NBAC=60°,

:.XAPP为等边三角形，

：.PP'=40=仍=6;

,：PP2+BP=BP'2,

.•.△物〃为直角三角形，且/"*=90°,

:.NAPB=90°+60°=150°.

故答案为：150°.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理

的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.

29.18

【分析】

根据三角形的周长公式求出三边长,根据勾股定理的逆定理得出/庐90°,根据三角形的面

积公式求出△咽的面积；

【详解】

解：⑴设4反BC、。分别为3x、4x、5x,

由题意得：3户4户5A=36,

解得：户3,

则4?=3产9,上4产12,4小5方15,

：超+把=92+122=225,U52=225,

:.A序+BG=AG,

当r=3时，AP=-"icm,

则止9-3=6c图

.邑吨=gx6x6=18(c»j2)

故答案为:18.

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理.能正确判断为直角三角形

24

第24页共33页

30.10

【分析】

设BM与AC的交点为点尸，连接ZE,先根据折叠的性质可得

BD=AB=\2,DF=AF,DE=AE,NBDF=NBAF,再根据两点之间线段最短可得当点E与

点尸重合时;△CDE周长最小,此时CE=CF,然后根据勾股定理的逆定理得出ZB/C=90。,

最后设。尸=Mx>°),从而可得。尸=工尸=16-x,在RtHCDF中，利用勾股定理即可得.

【详解】

解:如图，设8M与/C的交点为点尸，连接4E,

由折叠的性质得：'°="=12,DF=AF,DE=AE,4BDF=/BAF

..CD=BC-BD=20-12=8

:DCDE周长=CD+DE+CE=8+AE+CE

要使△口)£周长最小，只需ZE+CE最小，

由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，4E+CE取最小值，最小值为/C,此时

CE=CF

乂:48=12,4。=16,8。=20

/.AB2+AC2=BC2

•山/2C是直角三角形，Z8力C=90°,

ZBDF=9曾,即EC_LBC,

设C尸=x(x>0)则DF=AF=AC-CF=16-x,

在火/OC。尸中，CD2+DF2=CF\即82+(16-》)2=/,

解得x=l0,

即当△COE周长最小时，CE的长为io,

故答案为:10.

【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性顺等知识点，熟练掌握折叠的

性质是解题关键.

12

31.7

【分析】

首先利用勾股定理逆定理证明□NBC为直角三.角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求

25

第25页共33页

得NB4D=NCAD=45。,/.BAD=ZADE=45°44。£*=/。。=45。，根据角平分线定理可

知DO=OE,再根据SABC=SABD+SADC求得DE的长.

【详解】

•,•/B=3,AC=4,8c=5,

222

,•,AB+AC=BC)

.•./诩0=90。，口450为直角三角形，

・.・力。平分/84C=90。，

.・/BAD=/CAD=45。

•・•DE//ABi

,•,ZBAD=^A，DE=45°

••,AADE=Z.C，AD=45°

・・.口40七为等腰直角三角形，

,-,AAED=ZD，EC=90°

如图作于点O,

•.・AD平分^BACyAB=3,AC=4BC=5

.・.DO=DE

在RtJABC中

=x

SABC"Bx"C=SABD+SADC

>

S=—Xy4^xJC=-xABxDO+-xACxDE

即{[tc222,

7

-DE=6

可得2,

12

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是

熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解.

32.7.5

26

第26页共33页

【分析】

直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.

【详解】

解：：52+122=132,

三条边长分别为5里，12里，13里,构成了直角三角形，

这块沙田面积为：2X5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

故答案为7.5.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键.

33.7200

【分析】

仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果.连接能在直角三角形/劭中可求得

物的长，由"CD,比的长度关系可得△加C为一直角三角形,〃，为斜边；由此看，四边形

4?（力由山/\45»和Rt△砍构成,则容易求解.

【详解】

解:连接BD,

在RtA/XBD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52,

在aCBD中，CD2=132BC2=122,

而122+52=132,

即BC2+BD2=CD2,

AZDBC=90",

-ADAB+-DBBC

s四边形ABCD=S^BAD+S/kDBC=22,

-x4x3+-xl2x5

=22=36.

所以需费用36X200=7200（元）.

故答案为7200.

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这

个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a,b,c表示三角形的三条边，如果

那么这个三角形是直角三角形.

34.2

27

第27页共33页

【分析】

根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,利用直角三角形的性质解答即可.

【详解】

解：：62+82=102,

.1△ABC是直角三角形，

VAABC内有一点P到三边的距离均为m,

J.L_L1

2X6Xm+2X8Xm+2X10Xm=2X6X8,

故答案为:2.

【点拨】此题考查勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理的逆定理得出aABC是直角三角

形解答.