高等数学第七版下册复习纲要

(完整版高数学第七版下册复习纲要第七章：分方程一微方的关念1.微分方程的数：方程所含未知数导数的最高阶数叫做微分方程的.2.微分方程的：使微分程成为恒式的函数称为微分方程的解.通解：所含立的任意数的个数方程的阶数相同的解称为微分方程通解.特解：确定任意常数通解称为分方程的特解.3。特与通解的系：可通初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的解;也可通过方的表达式接观察得特解,因特解不总含在通解。二微方的见型其解1。可离变量的分方程及解法（1）.方程的形式

g()()

。(2).方程解法：分变量法（3）.解步骤①。分变量，将程写成g(ydy()dx

的形式；②.两积分：)dy

f()dx

，得隐式通G(y)F()

;③。将函数显化2.齐次方程及解法(1程的形:

（2程的解法变量换法(3）.解步骤①．引进新量u

ydydu，有y及xdx

;②．代入原程得：u

du

)

;③．分离变后求解，解方程

dxux

;④．变量还即再用

yx

代替

.3.一阶线性微方程及其法（1)。方程的形式

P(x)(

.一阶齐次线微分方程

P(x)y

。一阶非齐次性微分方:

dydx

(x)()

。1

)(完整版高数学第)（2阶齐次线微分方程

()y

的解法分变法。通解为

P(x)d

,（C

)公）（3）.一阶非齐次性微分方

dydx

(x)()

的解法：数易。对方程

P(x)(，设y()

Px

为其通解，中)

为未知函数从而有

e()()

P)dx

，代入原方程

e

P()d

x)(x)

x)

()()

x)d

Q(x)

,整理得

(x)e

P(x)

,两端积分得

(x)

P(x)d

,再代入通解达式，便到一阶非次线性微分方程的通解y

x)dx

()dxdx)Cex)xx)d

()e

Px)d

，(公）即齐线方通=次性程解+齐次性程解。第八章：间解析几何向量代数一、向量x,z),,,),)aabbbc1。向量y)与bx,y,)的数量：abcosxzaaabbbabijk2.向量y)与bx,y,)的向量y.aaabbaybbab的何意义为以为邻边平行四形的面积。

；3.向量

r,yz)

的方向余弦

2

,cos

22

,cos

，

2

2

cos

2

；

2

2

sin

2

2

。4.向量

axy)与bx,y,)垂直的定：aaabbabxxyab2

.

xzxzxa125.向量

,y,)axy)与b平行的判定aaaba//,kaayzbb

.

(完整版高数学第七版下册复习纲要6。三量共面的定：

kancac

共面。7.向量

axy)在baaa

,y,b

b

)

上的投影：

Prjb

axyzbbya

。二、平面1.过点

P(z000

，以

nA)

为法向量的面的点法方程：)(y))000

.2。以量

nA,)

为法向量的面的一般方程：

AxByD

。3.点

M(x,z)11

到平面

AxD

的距离

D1

.4。平

:AB0与:xCzD011222AD//nn1111。ABD22

平行的判定5.平面

:AB与:AB01122222AA.1122

垂直的判定6。平

:AB0与:xCzD011222

的夹角：

C222222A222112三、直线1.点

x)0

，以

np)

为方向向量直线的点式（对称、标准方程：yyz00mnp

。2。过

,y,00

，以

np)

为方向向量直线的参式方程：

y

。3

mnp11(完整版高数学第七版下册复习纲要mnp113。直的一般式程

AxyD111AxyzD2222

.方向向量为

s1

。4.直线程之间的化：i）点向式参式ii）一般式点式第一步：找第二步：找向向量

s1

25。直

L:1

yy11mn111

与

L:2

yy22m222

平行的判定nL//ss111122

。6。直

yL:1m11

与

L:2

yy22m222

垂直的判定LLssmp11221

。7.直线

yyL:11mn111

与

L:2

y22m222

的夹角：

m2

mnp21122m21

p

。8.直线9.直线

L:L:

xz00与平:BylmnlmLS//N.xz00与平:BylmnL//SNAl.

垂直的判定平行的判定10.直线

L:

xz00ln

0

与平面

:By

的夹角：sin

BnCp22p2

。11.点

x)0

到直线

AxyD11AxyzD222

的距离：

PM

,其中M是直线上任一点，

s1

。四、曲线、面1.

平面上的曲C：(yz)0绕轴旋转一周得的旋转面为4

22(完整版高数学第七版下册复习纲要22

：

f(x2y2z

。2。空间曲线

(x,,z0:G(,z)0

关于

平面上的投柱面方程：

Hxy)

;在平面上的投曲线为：

Hx,

。第章多函微法其用一、平面点1.内点定在点集，但点集的点未必是点集的内点,还孤立点;2。聚点可以是集的边界，也可以点集的内点，但不可以是点集的外和点集内孤立点；3.开集闭集内的有点都是点。二、二元函的极限、续性的相知识点1.二元数

f(xy在(,0

点的二重极：

limfx)(x,)(x)

。2.二元数

f(xy

在

,0

点的连续性

limf(x,)(xy)(y)(,)

.3.二元等函数在定义区域连续。二、二元函的偏导数相关知识1。函数

f(y)

对自变量

xy

的偏导数：

及。2.函数

(x,)

对自变量

x,y

的二阶偏导:

z、、、注：若二阶合偏导数

与连续,则二者相三、二元函的全微分

dz

四、二元函连续性、导数存在以及全微分存在性三者之间的关系1.函数连续性偏导数存性的关系二者没有任何的蕴涵关系2.偏导数存在与全微分在性的关：全微分存在偏导数存；反之未。(偏导数不在，全微分一定不存在偏导数连续全微分存，反之未.3。连性与全微存在性的系：全微分存在函数一定续数不连,全微分一不存在）函数连续，微分未必在。五、二元复函数的偏()数5

(完整版高数学第七版下册复习纲要1.中间量为两个自变量为个的复合函数的全导数:fu,vu),v),f),t))dzdudvdt

，2。中间变量为个，自变为两个的合函数的偏导数：fu,vuy),vzx,),,y))六、隐函数分法

，1.由一方程确定隐函数微法：

F(x,yz)

确定隐函数

f(x,y)

，直接对方程右两端关自变量求导数，即

dydxdx

,即

，解得

FxF'x,0)，2.由方组确定的函数组微法：确隐函数G,,v)0(y)dydxdx直接对方程左右两端于自变量偏导数，即dydx，可以解出,.七、偏导数几何应用1。曲线的切线程和法平方程

，即1以参式方程

),),z)

表示的曲线

t

0

对应的点

(y)00

的切线方程:

0(t)0

0t)0

0(t)0法平面方程

(x)

()(yy)

()6

(完整版高数学第七版下册复习纲要(x,,z)2以一式方程G(x,)0

表示的曲线点

(y)00

的切线和法面方程：(x,,z)先方程组G(,)0

确的隐函数

yf(xg(x

dydz微分法求出,,然后得到切线方向向量dxdxn

x

,

dz

x

切线方程:

y0001f'()(x)0法平面方程

xf(x)(y)'(x)0002.曲面切平面方和法线方1).以一式方程

F(yz)

表示的曲面点

(y)00

的切平面和线方程：切平面线方：

'(M)'(M)(yy)'(M)()x00法方程：

yy000F(M)F(M)F'()xxz2以殊式方程

f(x)

表示的曲面点

(y)00

的切平面和线方程：令

F(,yz)f(x)

，有曲面在

(y)00

的切平面的向量NFM),'M),(Mf'(),f'(,),xxy0切平面线方：

f

'x

(,)f0

'y

(x,y)(y0法方程：

f

y000()f'(x,yxx

。3。方向导数与度：1).方向数：

f(yf(x)2方向数存在条：可微分数

f(x,y)

在一点沿任方向l方向导都存在，并且

，其中

是方向

l

的方向余弦3梯度函数

f(x,yz)

在点

(x,,z)00

处的梯度gradf(x,zx,y,)i(x,y,zjf(xyzk00x000007

(）.

''(完整版高数学第七版''4).方向数与梯的关系:①.函数

f(x,yz)在点M(x,,z)0

处增加最快方向是其度

gradf(xy00

的方向，减最快的方是gradf(x,z)000

的方向②.数

f(x,yz)在点(xy000

沿任意方向方向导数最大值为

(xyz)0

.八、极值、件极值1。函

f(x,y)

的极值点和点的关系:数

f(x,y)

的极值在其点或不可导点取得.2。求函数极值步骤:(1)。对数

f(x,y)

求偏导数，方程组

f(,yf(,y)

，得所有驻

x,y)ii

.(2）.对每一个点

x,yii

,求出二阶偏导的值

f(x,),f''(x),Cf''(yiiiiii

。(3).计

AC

，根据

AC

以及

A

的符号判定

f(,yii

是否是极值若若

BB

22

，则fxii则f(,ii

是极小值；是极大值；若

AC0,

，则

f(,ii

不是极小值若

B

2

，则f(,ii

是否是极值能判定，其他方法证.3。求函数

f(x,y)

在附加条件

(,y

下的条件极的方法:做拉格朗日数

F(,y)f(,

(,y

，对自变量

x,

求偏导，建方程组'xy)f'(,y)x(xy)(x,y)

(,)0(,y)0'x,)f'(xy)xxx与附加条件立的方程(yf()yyyxy)

(xy)(xy)

，解出的

x,

就是函数

f(x,y)

的可能极值。第十章：积分一、二重积的相关性1。有界闭区域的连续函

f(x,)

在该区域D二重积分

f(x,)d

存在;D2。若函数

f(x,)

在有界闭区

D

上二重积分在

f(x,)d

，则

f(x,)

在该区域上界；D8

(完整版高数3。中值:若函数

f(xy

在有界闭区

D

上连续，区D的面积为，则在上至少存一点

,使得

f(xd(xy)

。D4。

1区D的积为。D二、二重积的计算1。利用平面直坐标计算重积分1)。先y后对x积分由于积分区

x

;

x)()1

，有

f(x)

b

dx

()

f(x,)dy

.D

a

(x)2).先对x后对分，由于积分区

:

cy

；(y)()1

,有

fxy)d

d

()

f(xy)dx

.D

(y)3)。积换序：

b

(x)

f(x,dy

f(x,y)d

d

(y)

f(x)dx

。a

(x)

D

(y)2。利用极坐标算二重积令

xy

，由于积分域

x12

,有

f(x,)d

(

f(

sin

.D三、三重积的相关性：

(1dV，区域的体积为

.四、三重积的计算1.利用角坐标计三重积分积分区域V：

；(x)yy(x)z(y(xy)1212

，有

f(x,x)dV

b

dx

y(x)

dy

z(,)

f(x

ay(x)

z(y)第一：线分面分一、曲线积的计算1.第一曲线积分计算：9

t(完整版高数学第七版下册复习纲要t若曲线的参数程是：

x),y

t0

,则第一型曲线分

(x,))](t)

)

t

2.第二曲线积分计算：若曲线

的参数方程是：

xy

t,tt01AB

分别对应曲线的两个端点，第一曲线分

(x)y)dy

t

),

(),

()dt

t

3。格林公式联系曲线分和二重分)设有界闭区由分段滑曲线C所围成C取正向函数

(xyQ()

在上具有一连续偏导，则有格公式

C

D

.注1。可用第二曲线积分算该曲线所围成区域的面积设有界闭域由取正向光滑曲线C所围成，区域D的积为

12

C

ydxxdy

.2.函数

(x),Q(,y)

在区域D上连续。二、曲面积的计算1。第一型曲面分的计算若曲面S的方程:

(y)

具有连续偏数,且在xoy平面上的影区域为，函数f(y)在上连续，则第xy型曲面积分S

(x,z)dS

[z,z(,y)]1

'2x

'2y

2.第二曲面积分计算：若正向曲面S的方程

(,y)

，且在平面上投影区域为D，函R(y)在S连续，第二型曲面积分xy

yz)

R[y(xy)]

,S

D

同理可得

(y,)dydz

R[(y,),,z)]dydz

；S

Q(,y,z)dzdx

Q[,y(x),SD

3。高斯公式（系曲面积和三重积)若函数

(xz(xyz)

在空间有界区域及其光滑边曲面S上具连续偏导则10

(完整版高数学第七版下册复习纲要有高斯公式

Qdzdx

。注:设空间有界区域由滑封闭曲S围成，区域的体为1ydzdx3S

.4.斯托斯公式(系曲面积分和三重积分若函数

(xz(xy,z