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河南省新乡市大宾乡中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12π B.π C.8π D.4π参考答案:A【考点】LG:球的体积和表面积.【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积.【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为=2,即为球的直径,所以半径为,所以球的表面积为=12π.故选:A.2.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是
.A. B. C. D.参考答案:D【分析】列决出三张卡片排序的所有情况,找到能组成“中国梦”的情况,根据古典概型求得结果.【详解】把这三张卡片排序有“中国梦”,“中梦国”,“国中梦”,“国梦中”,“梦中国”,“梦国中”,共有6种能组成“中国梦”的只有1种,故所求概率为本题正确选项:D【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,考查基本的列举法,属于基础题.3.如果点位于第三象限,那么角所在象限是(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:B【分析】由二倍角的正弦公式以及已知条件得出和的符号,由此得出角所在的象限.【详解】由于点位于第三象限,则,得,因此,角为第二象限角,故选:B.【点睛】本题考查角所在象限的判断,解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号,利用“一全二正弦,三切四余弦”的规律判断出角所在的象限,考查推理能力,属于中等题.
4.以下结论正确的是A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角C.轴上的角均可表示为, D.是偶函数参考答案:D略5.三视图如图所示的几何体的表面积是().A.2+
B.1+
C.2+
D.1+参考答案:A6.若命题p:x∈A∪B则p是
(
)
A.xA且xB
B.xA或xB
C.
D.参考答案:A7.下列说法中:⑴若向量,则存在实数,使得;⑵非零向量,若满足,则Ks5u⑶与向量,夹角相等的单位向量⑷已知,若对任意,则一定为锐角三角形。其中正确说法的序号是(
)A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(2)参考答案:D8.(5分)下列几何体中,正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是() A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(4)参考答案:D考点: 简单空间图形的三视图.专题: 综合题.分析: 根据三视图的作法,判断正方体、圆锥、圆柱、球的三视图中,满足题意的几何体即可.解答: (1)的三视图中正视图、左视图、俯视图都是正方形,满足题意;(2)(3)的左视图、正视图是相同的,俯视图与之不同;(4)的三视图都是圆,满足题意;故选D点评: 本题是基础题,考查三视图的作法,注意简单几何体的三视图的特征,常考题型.9.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足的x的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:D10.已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x﹣b的零点所在的区间是()A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)参考答案:B【考点】函数的零点;指数函数的图象与性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据对数,指数的转化得出f(x)=(log23)x+x﹣log32单调递增,根据函数的零点判定定理得出f(0)=1﹣log32>0,f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0,判定即可.【解答】解:∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log23>1,0<b=log32<1,∵函数f(x)=ax+x﹣b,∴f(x)=(log23)x+x﹣log32单调递增,∵f(0)=1﹣log32>0f(﹣1)=log32﹣1﹣log32=﹣1<0,∴根据函数的零点判定定理得出函数f(x)=ax+x﹣b的零点所在的区间(﹣1,0),故选:B.【点评】本题考查了函数的性质,对数,指数的转化,函数的零点的判定定理,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的定义域为
.参考答案:{x|x≥﹣2且x≠1}【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0联立不等式组可得原函数的定义域.【解答】解:要使原函数有意义,则,解得x≥﹣2且x≠1.所以原函数的定义域为{x|x≥﹣2且x≠1}.故答案为{x|x≥﹣2且x≠1}.12.函数满足,写出满足此条件的两个函数解析式:=
,=
;参考答案:答案不唯一13.已知和的图象的对称轴完全相同,则时,方程的解是______.参考答案:或【分析】根据两个函数对称轴相同,则周期相同,求得的值,根据函数值为求得的值.【详解】由于两个函数对称轴相同,则周期相同,故,即,当时,,令,则或,解得或.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性,考查已知三角函数值求对应的值,属于基础题.14.已知函数,则f(x)的单调增区间为,的解集为.参考答案:(﹣∞,1],(1,5﹣)∪(log4,1].【考点】分段函数的应用;函数的单调性及单调区间.【分析】根据绝对值的性质将函数f(x)进行化简,结合分段函数的表达式进行判断求解即可.【解答】解:∵函数y=5﹣x﹣4x为减函数,且x=1时,y=5﹣x﹣4x=5﹣1﹣4=0,∴当x>1时,5﹣x﹣4x<0,此时f(x)=+=5﹣x为减函数,当x≤1时,5﹣x﹣4x≥0,此时f(x)=﹣=4x为增函数,即函数f(x)的单调递增区间为为(﹣∞,1],当x>1时,由5﹣x>得x<5﹣,此时1<x<5﹣,当x≤1时,由4x>得x>log4,此时log4<x≤1,即不等式的解集为(1,5﹣)∪(log4,1],故答案为:(﹣∞,1],(1,5﹣)∪(log4,1].15.的解集
。
参考答案:16.函数的定义域是_____________.参考答案:17.在中,角、、所对的边为、、,若,,,则角________.参考答案:.【分析】利用余弦定理求出的值,结合角的取值范围得出角的值.【详解】由余弦定理得,,,故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数,解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足.(1)若设计米,米,问能否保证上述采光要求?(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)参考答案:(Ⅰ)能(Ⅱ)米且米【分析】(1)以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设太阳光线所在直线方程为y=x+b,利用直线与圆相切,求出直线方程,令x=30,得EG=1.5米<2.5米,即可得出结论;(2)欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为2.5米,即可求出截面面积最大.【详解】解:如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心为H(9,6),半径r=9.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b=(舍).故太阳光线所在直线方程为y=-x+24,令x=30,得EG=1.5<2.5.所以此时能保证上述采光要求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-(舍).故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r,令x=30,得EG=2r+h-,由EG≤,得h≤25-2r.所以S=2rh+πr2=2rh+×r2≤2r(25-2r)+×r2=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.方法二欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为2.5米,则此时点G为(30,2.5),设过点G的上述太阳光线为l1,则l1所在直线方程为y-=-(x-30),即3x+4y-100=0.由直线l1与半圆H相切,得r=.而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-100<0,即r=-,从而h=25-2r.又S=2rh+πr2=2r(25-2r)+×r2=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题,考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力,属于中档题.19.i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j,=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.(本小题12分)参考答案:∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j∵A、B、D三点共线,∴向量与共线,因此存在实数μ,使得=μ,即3i+2j=μ[-3i+(1-λ)j]=-3μi+μ(1-λ)j∵i与j是两不共线向量,由基本定理得:故当A、B、D三点共线时,λ=3.20.(本小题满分12分)已知实数,。(Ⅰ)求点(a,b)在第一象限的概率;(Ⅱ)求直线与圆有公共点的概率。参考答案:由于实数对的所有取值为:,,,,,,,,,,,,,,,,共16种.
设“点(a,b)在第一象限”为事件,“直线与圆有公共点”为事件.
(1)若点(a,b)在第一象限,则必须满足即满足条件的实数对有,,,,共4种.
∴,故直线不经过第四象限的概率为.
(2)若直线与圆有公共点,则必须满足≤1,即≤.若,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值;若,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;若,则符合要求,此时实数对()有2种不同取值;若,则符合要求,此时实数对()有4种不同取值.∴满足条件的实数对共有12种不同取值.∴.故直线与圆有公共点的概率为.21.(10分)已知等差数列{an}中,a2=3,a4+a6=18.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn+1=2bn,并且b1=a5,试求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案:【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(I)设数列{an}的公差为d,根据题意得:,解方程可求a1及d,从而可求通项(II))由bn+1=2bn,可得{bn}是公比为2的等比数列,结合已知求出首项后,代入等比数列的求和公式即可求解【解答】解:(I)设数列{an}的公差为d,根据题意得:解得:,∴通项公式为an=2n﹣1(II))∵bn+1=2bn,b1=a5=9∴{bn}是首项为9公比为2的等比数列∴=9×2n﹣9【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的通项公式、求和公式的简单应用,属于基础试题22.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知,.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.参考答案:(1)a
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