河南省开封市信阳第四高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析

河南省开封市信阳第四高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若等差数列的前7项和，且，则(

)A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：C

解得，知识点：等差数列性质

难度：12.定义在上的函数满足：，当时，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．4.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为（

）.A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：D5.在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为A．B．C．D．参考答案：B略6.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（

）A.向左平移个单位

B.向右平移个单位C.向左平移个单位

D.向右平移个单位参考答案：D7.若函数满足且时，，函数，则函数在区间[-5,5]内的零点的个数为(

)

(A)5

（B）7

(C)8

(D)10参考答案：C8.下列说法正确的是（

）A．“为真”是“为真”的充分不必要条件；B．已知随机变量，且，则；C．若，则不等式成立的概率是；D．已知空间直线，若，，则．参考答案：B9.已知x，y满足约束条件且目标函数的最大值为-6，则的取值范罔是

A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设（i是虚数单位），则=（

）

A．1+i

B．-1+i

C．1-i

D．-1-i参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则________.参考答案：【分析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可．【详解】∵第四象限角，，∴，故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．12.若在各项都为正数的等比数列中，，，则

．参考答案：22018设公比为，则，（因），∴.

13.如图，某地区有四个单位分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=2km，BC=4km，四个单位商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在变BC，CD上运动，若∠MAN=，则△AMN面积的最小值为km2．参考答案：8﹣8【考点】三角函数的最值．【分析】设∠BAM=α，由题意可知，AM=，AN=，可求三角形面积，利用三角函数的恒等变换化简得到S△AMN关于α的三角函数，利用正弦函数的性质结合α的范围即可计算得解．【解答】解：设∠BAM=α，由题意可知，AM=，AN=，则S△AMN=AM?ANsin=×××=，当α=22.5°时，三角形AMN面积最小，最小值为（8﹣8）km2．故答案为：8﹣8．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角形的面积公式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．14.已知|+|=|﹣|，那么向量与向量的关系是

．参考答案：垂直【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出?=0时⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2?+=﹣2?+，∴?=0，∴⊥，∴向量与向量的关系是垂直．故答案为：垂直．15.（4分）（2015?上海模拟）在行列式中，元素a的代数余子式值为．参考答案：﹣1【考点】：三阶矩阵．【专题】：计算题．【分析】：首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．16.已知变数满足约束条件目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为_____________．参考答案：略17.命题“”的否定为

_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若?x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：解（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若?x∈R，恒成立，则只需，综上所述．略19.（本小题满分14分）如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

参考答案：解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形T∥且=T为平行四边形T∥T的所成角．中，BF=

,PF=，PB=3TT异面直线PB和DE所成角的余弦为………………6分（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，

设平面PFB的一个法向量为，则可得

即

令x=1,得，所以.

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得：，解得．………12分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为．………14分20.（本小题满分12分）已知椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围.参考答案：……2分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，（5分）(7分)当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值，而，（10分）又点在椭圆的长轴上，所以所以实数的取值范围是

（12分）21.已知函数f（x）=﹣1（k为常数，k∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当k=时，若函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z，e是自然对数的底数）上有两个零点，求n的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，即可求出函数的单调区间；（2）把k=代入函数解析式，结合（1）中函数的单调性，可得f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）＜0，要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，转化为，由此不等式组可得n的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，由，得．①当k≤0时，对x∈R都有kex﹣1＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0）；减区间是（0，+∞）．②当0＜k＜1时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＞0．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，0）0（0，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0），（﹣lnk，+∞）；减区间是（0，﹣lnk）．③当k=1时，，此时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞），没有减区间．④当1＜k时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＜0．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增此时，f（x）的增区间是（﹣∞，﹣lnk），（0，+∞）；减区间是（﹣lnk，0）．（2）k=时，，由（1）②得：﹣lnk=﹣ln=3ln2，f（x）的增区间是（﹣∞，0），（3ln2，+∞）；减区间是（0，3ln2）．∴f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）==＜0，要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，∴，∵满足en＞3ln2的最小整数n为2，当n=2时，，∴n的最小值为2．22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（为参数），直线l与C交于M，N两点，求的值参考答案：（Ⅰ），的直角坐标方程为，的参数方程为：（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；（Ⅱ）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出和，于是