河南省安阳市文源高级中学2023年高三数学理联考试题含解析

河南省安阳市文源高级中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取名同学，其中高一的同学有30名，则A.65 B.75 C.50 D.150参考答案：【答案解析】B

由题意得：，解得n=75．故选：B．2.（5分）已知函数f（x）=loga（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且2a+b≤4，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：复合函数的单调性；基本不等式．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由条件可得a＞1，且b≥1．再根据2a+b≤4，可得1≤b＜2，1＜a≤，故有≤＜1，∴≤＜2，从而求得的取值范围．解：已知函数f（x）=loga（2x+b﹣1）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，而函数t=2x+b﹣1是R上的增函数，故有a＞1．再根据t＞0恒成立可得b≥1．又2a+b≤4，∴1≤b＜2，∴2a≤3，∴1＜a≤，≤＜1，∴≤＜2，3.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：A因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一对角线垂直一边，此对角线的长为，所以该四棱锥的体积为。【答案】【解析】略4.过点且方向向量是的直线方程是A.

B.

C.

D.参考答案：A5. 已知平面向量,且,则实数的值是（A）－1 （B）1 （C）2 （D）－1或2参考答案：D本题考查平面向量的平行的坐标运算.由,且,可以得到,即,所以或,故选D.6.已知，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为（）A． B． C．7 D．8参考答案：A7.设的实部与虚部互为相反数，其中a为实数，则a=（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3参考答案：D8.双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，为半径的圆与C的公共点为P，若是直角三角形，则C的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用是直角三角形可得∠PF1F2＝，且|PF2|=，结合定义解得离心率.【详解】由题意知|F1F2|＝2c=|PF1|，若是直角三角形，则∠PF1F2＝，且|PF2|=，又由双曲线的定义，可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，可得|PF2|＝2a+2c=，即2a=由e，解得e，故选：C．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A.

B.

C.

D.参考答案：A，故选A.10.已知是定义在上的奇函数,且,则函数的零点个数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：函数的图像和零点的计算．【易错点晴】分类整合思想是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答许多数学问题的法宝,本题设置的目的是考查分类整合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数的解析式表示出来,在分类求出方程的解析式,通过解方程确方程根的个数,从而使问题简捷获解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}的前n项和Sn，若，，则{an}的通项公式为_____．参考答案：【分析】已知求，通常分进行求解即可。【详解】时，，化为：．时，，解得．不满足上式．∴数列在时成等比数列．∴时，．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。12.若则的值

。

参考答案：13.已知函数f(x)=，①方程f（x）=﹣x有

个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是．参考答案：①1，②

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】①画出函数的图形，即可得到解的个数；②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：①函数，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②．14.若关于的三元一次方程组有唯一解，则的取值的集合是-------------------

．参考答案：15.圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为．参考答案：（x﹣1）2+（y+4）2=8【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆心坐标，利用直线与圆相切，求出x的值，然后求出半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆心O为（x，﹣4x）kop=kL=﹣1又相切∴kop?kL=﹣1∴x=1∴O（1，﹣4）r==所以所求圆方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2=8．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力．16.若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．参考答案：考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；待定系数法．分析：设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）的值．解答：解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴9α=，∴α=﹣，故f（x）=，∴f（25）==，故答案为：．点评：本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．17.已知函数,则的值为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若、，求．参考答案：略19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且∠=600，,．（I）求证：平面⊥平面；（II）求二面角的余弦值．参考答案：解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接EO,CO∵，AB=2

∴△ABC为等腰三角形∴,EO=1

又∵AB=BC，∠ABC=600∴△ABC为等边三角形

∴,又EC=2∴

即，平面ABCD，且平面EAB

∴平面EAB⊥平面ABCD，……………6 分（2）过A作AH⊥CE于H点，过H作HM//CD,又Rt△EDO解得DE=，

所以即,所以MH⊥CE,因此∠AHM为二面角的平面角，通过计算知,,，所以所以二面角的余弦值为

……………12分解法2.（1）设AC∩BD=O，如图，以O为原点，OC,OB为x,y轴建立空间直角坐标系O-xyz设E(m,n,t),则A(-1,0,0)，C(1,0,0)，B(0,,0),

D(0,-,0),

∴,,所以

解得：所以,因为AB的中点,所以即ME⊥平面ABCD，又平面EAB，所以平面EAB⊥平面ABCD

……6分（2）,,，分别设平面AEC,平面ECD的法向量为则令y=-2，得令，所以二面角的余弦值为

……………12分20.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.

安全意识强安全意识不强合计男性

女性

合计

（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数X的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828

参考答案：（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，【分析】（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（Ⅰ），解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.（Ⅱ）

安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100

，所以有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）的取值为所以的分布列为

期望.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.（本小题满分12分）国家质检总局对某工厂进行质量检测，抽查有编号为,,…的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：编号直径

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.

（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。参考答案：(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：，，共有6种.

所以P(B)=.22.曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|?|OB|的取值范围．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|?|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos