河南省周口市马旗中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

河南省周口市马旗中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）A． B．5 C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，则|x+yi|=|﹣3+4i|==5．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.以下正确命题的个数为（

）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A．

B．

C．

D．参考答案：D3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，,而对角线A1B上存在一点P，使得取得最小值，则此最小值为A. B.3 C. D.2参考答案：A【分析】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就是最小值．【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接．就是的最小值，，，．所以故选：．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．4.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（

）A．若∥，， ，则∥ B．若⊥，，则C．若，，则∥

D．若⊥，∥，则参考答案：D略5.集合，定义集合，已知，则的子集为参考答案：D6.已知函数在单调递减，则的取值范围(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知实数满足不等式组，那么的最小值是A、

B、

C、5

D、8参考答案：B略8.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解答： 解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：?a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a?2R+2×=18．故选C．点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．9.关于x的不等式x2﹣ax﹣6a2＞0（a＜0）的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），且x2﹣x1=5，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【分析】解不等式，求出x1=3a，x2=﹣2a，从而求出a的值即可．【解答】解：原不等式可化为（x+2a）（x﹣3a）＞0，当a＜0时，﹣2a＞3a，∴解得：x＞﹣2a或x＜3a，故x1=3a，x2=﹣2a，故且x2﹣x1=﹣5a=5，解得：a=﹣，故选：C．10.在平面直角坐标系xoy中，过动点P分别作圆和圆圆的切线PA,PB(A,B为切点)，若，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，下列结论正确的有__________________.(写出所有正确结论的编号)①；②顶点P在底面上的射影是△ABC的垂心；③△ABC可能是钝角三角形；④此三棱锥的体积为.参考答案：①②.略12.定义运算法则如下：则M＋N＝

。参考答案：513.已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则?的取值范围是．参考答案：[﹣，2]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到?=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴?=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则?的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．14.函数且在上，是减函数，则n=_______________.参考答案：1或2略15.已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos，若极轴与x轴的非负半轴重合，则直线l被圆C截得的弦长为

．参考答案：考点：直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：将圆和直线的转化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．解答： 解：圆C的标准方程为x2+y2=4，直线l的极坐标方程为ρcos，即ρcosθ+ρsinθ=，即ρcosθ+ρsinθ=2，即直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，则直线l被圆C截得的弦长为，故答案为：点评：本题主要考查参数方程的转化以及直线和圆相交的弦长公式的计算，将参数方程化为普通方程是解决本题的关键．16.的展开式中，的系数为

．参考答案：﹣40【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得开式中x的系数．【解答】解：的展开式的通项为C5r25﹣r（﹣1）rx，令5﹣r=，求得r=3，∴的系数为C5325﹣3（﹣1）3=﹣40故答案为：﹣40．17.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当时，AE+BF是定值。其中正确说法是_______。（写出正确说法的序号）参考答案：（1）、（3）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式；（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；（2）Sn==2n﹣1，∴bn===﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19.（本小题满分10分）选修：不等式选讲（1）已知关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值；

（2）已知，求证：．参考答案：

（1），

（2）因为，所以

20.已知等差数列的首项，公差，且第项、第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设数列对，均有成立，求．参考答案：解：（Ⅰ）

解得

又所以，等比数列的公比（Ⅱ）

当时，两式相减，得

当时，不满足上式

故略21.在等差数列{an}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{bn}是等比数列，b1=16，a2b2=4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn=an·bn(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设{an}公差为d，{bn}公比为q．由a1+a7=2a4，得3a4=12，即a4=4．再结合题意，得，解得或（舍）．由a1=1，a7=7，得．故an=a1+（n﹣1）d=n．在数列{bn}中，，解得q=2．所以．（2）因为，所以．又．以上两式作差，得，所以．22.（13分）设a∈R，函数

（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求常数a的值；

（2）若f（x）在（－∞，1）上为增函数，求a的取值范围.参考答案：解析：（1）解：根据抛物线方程可得F（1，0）………………1分设直线l的方程为将其与C的方程联立，消去x得……………