河南省南阳市第十九中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

河南省南阳市第十九中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的奇函数满足（其中e=2.7182…），且在区间[e,2e]上是减函数，令，则f(a),f(b),f(c)的大小关系（用不等号连接）为A．f(b)>f(a)>f(c)

B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(a)>f(b)>f(c)

D.f(a)>f(c)>f(b)参考答案：A2.若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：A∵=1﹣i，∴z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3.复数（其中为虚数单位）的虚部是（

）

参考答案：C化简得，则虚部为，故选4.已知、是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中假命题是(

)A．若，,则

B．若，,则C．若，,则

D．若，,,,则参考答案：C5.设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：①

；②

.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：.参考答案：解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…………1分数列为四阶期待数列,………3分(其它答案酌情给分)（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为，因为，，即，

,……………………5分当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，当d>0时，据期待数列的条件①②可得,

………………6分该数列的通项公式为，…7分当d<0时，同理可得.…………………8分（Ⅲ）当k=n时，显然成立；…………9分当k<n时，根据条件①得，

…………………10分即，……11分………………………14略6.已知函数的图象关于点成中心对称，则的最小值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为

A.

B.C.

D.参考答案：C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选C.8.设复数z满足，则(

)A. B. C. D.2参考答案：A【详解】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．详解：由，得故选A．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

9.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．10.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是A.若，则可以取3个不同的值；B.若，则数列是周期为3的数列；C.且，存在，数列周期为；D.且，数列是周期数列.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.（Ⅰ）设,当矩形的面积最大时，求的值；（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．参考答案：解：（Ⅰ）先求矩形面积的最大值：设，，则，，∴当，即时，此时，，

……6分（Ⅱ）过Q点作垂足为S，设在中，有，则，∴

………………8分令，∵，∴，此时，则，当时，的最大值为

……………10分∴方案裁剪出内接五边形面积最大值为

，即利用率=……12分12.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为

.参考答案：

13.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，若a=1，sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC，则R的值为．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC为b2+c2﹣a2=bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）=+，再利用基本不等式的性质得出sinA，即可求出R．【解答】解：由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC为b2+c2﹣a2=bcsinA，再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，代入上式可得：2（sinA﹣2cosA）=+≥2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ=2．即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）=1．∴A﹣θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k∈N*．∴tanA=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==，∴A∈（0，π），sinA=，∵a=1，∴2R==，∴R=．故答案为：．14.已知数列,中，是公比为的等比数列.记若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是________.参考答案：15.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.参考答案：

16.已知向量是单位向量，向量若，则，的夹角为__________．参考答案：由向量的垂直以及向量的数量积，体现条件，.解答：,则，的夹角为.17.过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为___________w。w-w*k&s%5￥u参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过点的直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于点，且，求实数的值.参考答案：（Ⅰ）消去参数可得，由，得，可得的直角坐标方程；（Ⅱ）把（为参数），代入，根据参数的几何意义，结合韦达定理得结果.解答：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），消去参数可得.由，得，可得的直角坐标方程：.（Ⅱ）把（为参数），代入，得.由，解得，，，，解得或1.又满足，实数或1.说明：参数方程与普通方程的互化；极坐标方程化为直角坐标；19.某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？参考答案：（1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，依题意可设.

由图1，得即.

由图2，得即

故.

(2）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，由（1）得

，

当，即时，.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。20.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：(1)由题意知：a＝1，b＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.∴g(x)＝－x2＋2x.(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，∵F(x)在(－1,1上是增函数且连续，F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，即λ≤＝－1在(－1,1上恒成立，由－1在(－1,1上为减函数，当x＝1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0．21.已知命题：函数在上是增函数；命题：函数在区间上没有零点．（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．参考答案：（1）如果命题p为真命题，∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（﹣∞，+∞）恒成立∴….…………5分（2）g′（x）=ex﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在区间[0，+∞）递增命题q为真命题g（0）=a+1＞0?a＞﹣1….…………7分由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，.…………8分若p真q假，则….…………10分若p假q真，则….…………11分综上所述，.…………12分22.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆上任一点到两焦点的距离的和为4，且椭圆的离心率为，单位圆的切线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求面积的最大值.参考答案：（Ⅰ）设椭圆的方程为由题意可知，解得所以．所以椭圆的方程为．（2分）（1）若单位圆的切线的斜率不存在，则．

在中令得．不妨设，则．所以．

同理，当时，也有．