第08讲-指数与指数函数

+m++m+第08讲-指数与指数函数m1.过对有理数指数幂a(a，且；m整数，且n、实数指数幂n

x

a，且；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.1.根式n概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数nna≥0，性质aa(a使a有意义)为奇数时，n＝an偶数时，a＝a＝，<0.2.分数指数幂m规定：正数的正分数指数幂的意义是＝n

ma>0，m，n∈，且n>1)；正数负分数指数幂的意义是a

－

n

＝

n

1a

m

a，，nN，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：a

ra

s＝a

rs；a

r＝a

；()r＝a

rb

r，其中a>0，b>0，r，s∈.3.指数函数及其性质概念：函数＝a(a>0且a≠1)做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是R，是底数.指数函数的图象与性质a>1<1图象1

a113＝a521133a113＝a521133＝－－13定义域值域

R(0，＋∞过定点(0，，即x＝0，y＝1性质[点提醒]

当x>0时，y；当x<0时，0<y<1在－∞，＋∞)上是增函数

当x时，；当x时，0<<1在－∞，＋∞)上是减数1.画指数函数y＝a

x

a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a，(0，，，2.在第一象限内，指数函数＝ax(a>0a1)的图象越高，底数越大考点一

指数幂的运算【例1-1】化简下列各式：【解析】原式＝1＋×21116＝1×－＝1＋－＝.1061012

12（a33b32(2)原式＝1ab2ab3

3111233

＝【例1-2】化简下列各式：解

(1)原式＝

12

－3

－11522＝－－＝0.22

11规律方法

1.数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)算的先后顺序.2.底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二

指数函数的图象及应用【例2-1】函数(x)

－2|－b两个零点，则实数取值范围解析

y(xa

20xy(ax2

(2)

b.∴0<()

.∴b(【例2-2】函数f(x)＝a的象如图所示，其中，为数，则下列结论正确的()a，<0，b>0C.0<<1D.0<a<1b<0【例2-3】曲y＝

＋1与直线y＝b没公共点，则的取值范围是_解析

f)

b

f(xaxba3

f)

b

fx)ax

(2)y

1b.y1ybb[1考点三

指数函数的性质及应用【例－1】下列各式比较大小正确的()A.1.72.5>1.7

1

>1.25

0.3

<0.93.11(2)设函数f(x)＝

－7<0，若fa)<1则实数a的值范围________.

x，x≥，【解析】(1)Ay1.7∴1.72.5

R2.5<3B∵y0.6

R1<2∴0.6

1C∵(0.8)1.25∴1.250.1

.∵y1.25x

R∴0.1<1.250.20.8<1.250.2D∵1.70.3>1,3.1∴1.70.33.1(2)

a

7<14

mm4mm4212a()a.2

a<8>3aa≥0a<10(31).答案

－3，【例－2】(1)已知函数f()＝2|2x

m为数()在区间2∞)上是增加的m的值范围是(2)若函数f(x)

2

2

3

的值域是0，fx的单调递增区间【解析】(1)t|2xmt|2x

m

∞∞.

t

Rfx2

m[，∞≤2m(∞(2)()2f)

(x[2∞).a(x2x3fx)

2

2

3

(x(∞f)∞1].【例－3】如函数y＝2a－a>0，且a≠在区间[－11]的最大值是14，则值为【解析】xya221t2t(1)22.x∈[11]ty(1)

(a1)

21).a<1∈[11]∈(t2

y

135

答案3或规律方法

1.较指数式的大小的方法是能化成同底数的先化成同底数幂用单调性比较大小；(2)能化成同底数的，一般引入“1中间量比较大小.2.解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借减”这一性质分析判断.易错警示

在研究指数型函数的单调性时，当底数与“的大小关系不确定时，要分类讨论[法技巧]1.式与分数指数幂的实质是相同的数指数幂与根式可以互化常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1到底数的值再进行比较3.数函数的单调性取决于底数a大小数与的大小关系不确定时应分<1和>1两种情况分类讨论.4.与复合函数有关的问题弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成且一定要注意函数的定义域.A

＜

B

a＜b

C．

b

D．

＜【答案】C【解析】因为

0.6

0.3

，0.3

0.3

0.3

，所以

b

，故选6

342f2342f2A

BC．

D．【答案】C【解析】对A，

中的0,0

，

ya

中的，能统一，错误；对B

中的ba

x

中的

a

，不能统一，错误；对，

中的

0,0

，

y

x

中的

0,0

，正确；对D，

中的

b

，

y

中的

，不能统一，错误；故选：C.A

B

5

C．

D．

2

【答案】A【解析】由根式的性质得a

3

，

4

2因此，

，故选A.A1B42D．【答案】C【解析】由已知可得

f

f

52

12

A

B

C．

D．

7

22【答案】D【解析】令

，得

，

0

，因此，定点的坐标为A

13

B

3

C．

D．

13【答案】B【解析】因为指数函数

在区间

2即

10解

a

，又

a所以A2x

B

y2

xC．

yx

3

D．

|【答案】C【解析）

yx

的值域不是R，是［－1，＋∞以，排除；（B）

y

的值域是（，＋∞除（D）

y

2,＝,x

11，在（，）递减，在（，＋∞）上递增，不符；22A

a

B

b

C．

b

D．a【答案】B【解析】

，则函数

y

为偶函数，函数

y

，该函数在区间

上为减函数，log0log3log1，由换底公式得22

，由函数的性质可得

2对数函数

ylog在2

上为增函数，则

log3log222

，指数函数

y

x

为增函数，则

，即

0

12

，0

1log32

，因此，

b

8

xxxxxxA

B

C．

D．

【答案】B【解析】画出函数

的图象如图所示．不妨令

a

，则a，则结合图象可得

4

，故16

c

．∴18

c

．．A

B

C．

D．

【答案】D【解析】因为f()

axax

111，所以(2axax

，f(

1a111.2x2因为,

所以

0

1ax

，当

0

a

1x

时，

1110，22ax

，此时

11，2a

，

fx)

12

f)

12

；当

11时a

1f(x)f()2

；当

12ax

时，

11122

，

113122

，9

x3tftx3tft此时

12

a

1x

11，f()f(02

；4【答案】51x1x【解析】由题意，函数x2x22x

，所以

f

1111222

12

1t22t

1.2

，即

2t2，解得2t，2t53又由

f

11t23

7

45

【答案】

【解析】令

et

x

()2

x

2

m①当或2

或时f

m

或

；(1)②当时m.f综上

（1写出（2判断（3已知

的定义域；的奇偶性；在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式

恒成立，求实数

的取值范围．【解析）

，

恒立，∴，即

的定义域为

R10

（2∵由（1得

的定义域为

R称，∴f

55

xx

5x5x

，∴

为奇函数．（3∵对任意的

t

，不等式

f

恒成立，∴

f

t

，又∵

是奇函数，∴

f

又∵

在定义域内为单调减函数．∴t

tt

，即3t

t对意

t

恒成立，∴

k

得

k

13

即为所求．(1)求实数a的值；(2)若不等式

g

上恒成立，求实数k取值范围。【解析）

当

a

时，

gmin

，即，a矛盾故舍去。当

1

时，

，即

a

，故

a此时

min，满足

x当a时

min

，即

a

53

，舍去。综上所述：a。（2）由已知得

x

?40

在

x

上恒成立11

224224

k

1

12

x

上恒成立令

t

12

，且

t

，则上式

1k2tt0,

恒成立。记

t

12

时

单调递减，min

1故

k

14所以

的取值范围为。（1当

a

时，求函数

fg(x))(

的值域.（2设函数

(x)

fxxb(x),x

，若

ab，x)

2的最小值为，实数的值范.2【解析）

a

时，(g

x

x，令

x

2

，∵

∴

，而

y

是增函数，∴

12

y256

，∴函数的值域是

（2当

a

时，则

bg()在

上单调递减，在

()

上单调递增，所以

g(x)

的最小值为

(

2

，f(x)

在

[b,

上单调递增，最小值为2，而

()

的最小值为

22

，所以这种情况不可12

当a时，则

b0,g()

在

()

上单调递减且没有最小值，f(x)

在

[b,

上单调递增最小值为2b

，所以

x)

的最小值为2

，解得

b

12

（满足题意所以g()g

2

，解得a

所以实数的值范围是

（1求值；（2判断并证明函数

的单调性；（3若对任意的R，等式

f

t

恒成立，求k的取值范围【解析）为

是R上奇函数，所以

，即

b2

，即

12