福建省泉州市2021届高三一模数学试题

．泉州市届中毕业班质监测（三）．高三数学本试卷，满分分，共页.考用时120分.注意事：1.答题前，生先将己的姓名、考证号写在题卡上.2.考生作答，答案在答题上请按照号在各题的题区（黑线框内作答超出答区域书写的案无效.在草稿、试题上答题无效3.选择题答使用铅笔涂，如改动，用橡擦干净，再选涂其答案标；非选择题案使用米的黑中性（签字笔或碳笔书写，字工整、迹清楚4.保持答题卡面清，不折叠、破损考试结后，将本试和答题一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已i

是虚数单位，则“a

”是“a2

”的（）充分不必要条件C.充条件

必要不充分条件既充分也不必条件已知集合

A

y

B

中元素的个数为（）

D.5函

y2xsin

的最小值为（）-2

C.

“定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据

（单位：

cm

）服从正态分布N

，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在X

，则（）

P

C.

已单位向量，满足a

，且

，则

sin

（）

6

C.

在方体

D111

中，

，

2

，则异面直线

AC1

与

BC1

所成角的余弦值为（）

C.

已a

，

ln，c2

，则（）

a

c

C.

c

a已曲线

：

x

，直线

与E

有且只有4个共点，这些公共点从左到右依次为A

，B

，

，

，设

Ay

2

，则下列结论中错误的是（）

2或2

x12C.

AB

CD二、选择题：本题共小，每小题分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符题目要.全部选对的得，有选错的得0分部分选对的得分记差数列

项和为S若a10Sn5

2

，则（）

3

4

a106

C.

n

的最大值为D.

n

的最大值为10.已函

f()

0,

3

的部分图象如图所示，则（）

C.

113113x11.已函fx，()kx

，则（）

lnx

f(x在上为增函数当

时，方程f((x)

有且只有3个不同实根C.

f(x

的值域为

若

x

f((x

，1,

12.如正四棱柱

AC111

的底面边长为棱为2P

Q

分别在半圆弧

CC

A（均不含端点）上，且

C1

，P

，Q

，

在球

O

上，则（）当点P

在

CC

中点处，三棱锥

CPQC1

的体积为定值当P在C中处过，三的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形1C.球的表面积的取值范围为

当

在

A

的三等分点处，球

O

的表面积为

三、填空题：本题共4小，每小题，共分13.

展开式中，二项式系数最大的项的系数_（数字填写答案）14.甲乙几个孩子说”.此时，一男孩过乙对甲说是小孩着乙对该男孩说把哥姐姐都叫过来你们四人一起跟甲去趟学校根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第次才猜对的概率___________.15.圆曲光学性质（如图示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应如图，一个光

学装置由有公共焦点

1

，

2

的椭圆

与双曲线

'

构成，一光线从左焦点

1

发出，依次经过

'

与

的反射，又回到点

1

历时

m

秒；若将装置中的

'

去掉，则该光线从点

1

发出，经过

两次反射后又回到点

1历时n秒若与的心率之比为

，则n

16.若数

，

满足

，则

x

的最小值为四、解答题：本题共6小，共分解应写出文字说明，证明过或演算步.17.已数

，1

n

，bnn

（1）证明：（2）求数列

；

项和

n

18.脱攻取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬村当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯实现了“村民搬下来，旅游搬上去到了长效脱贫如图为得到峭壁上的

，B

两点的距离钢梯的设计团队在底的

，

两点处分别测得

1

，BPQ1

，

2

2

，且PQ.（1）用，，s表AP；1

（2）已知

1

，

2

，

米，

51.3

，又经计算得

米，求

参考数据：

，

cos13

，

sin51.3

，

cos51.3

19.永老以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件行指标值M的测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等因检测设备问题良后的成品醋有20件进行第一步检测且均为合格完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所指标

区间改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良

改良来源个数

前

后

前

后

前

后

前

后

前

后

前

后附：成品醋的品质采用指标值进评价，评价标准如下表所.一等品

二等品

三等品合格

不合格（1）现从样本的不合格品中随机抽取，记来自改良后的不合格品件数为，求的布列；M（2据往的数据销一件成品醋的利润单指标值M的系为

，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长

件未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？20.如四棱锥P中二面角P是二面角，AD为腰直角三角形PAD的边AD

，

BC

，

5

，M为段

上的动点.

（1）当

PM

时，证明：

PA//

平面MBD；（2）若平面MBD

平面

ABCD

，求二面角

BMD

的余弦21.已椭

：

xy4

的左、右顶点分别为

，B

，右焦点为F

，折线

xmy

与

交于M，

两点（1）当

时，求

NF

的值；（2）直线AM与BN交点P

，证明：点P

在定直线上22.已函

f()sinx

（1）若x

在

单调递减，求实数的值围；（2）证明：对任意整数

，f()

至多个零点泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学三、填空题：本题共4小，每小题，共分13.【题意图】本小题要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题简析】依题意，二项式系数最大项为

TC4

36

x3

3

160x

3

，其系数为160.故答案为14.【题意图】本小题要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关.【试题简析】记

A1

为乙的第i

个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有

,A,A13,A,A,,AA,A1333144

，共6种，最多需要猜测，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3就猜对的概率为

故答案为；

15.【题意图】本题考椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、观想象等核心素养的关注.

【试题简析】设椭圆的长半轴长为

1

，双曲线的实半轴长为

2

，在图2左中，由椭圆义可得

BFa1

①由双曲线定义可得

AFAF1

②①②得

AFABa

，所以

△ABF1

的周长为

1

2

在图2右中，光线从圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED过F，所以△EDF的周长为4，211又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为，所以

a1

，又两次所用时间分别为

m

，

，而光线速度相同，所以

2a6a1222a12a12

16.【题意图】本小题要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关.【试题简析】令

t

，则

，所以

t2

16

2

，令

16f()yy

2

，由

16f'(y)

，解得

y

，

f

单调递减，

y

，

f

单调递增；所以

f

的最小值为

f

，又对正数

x

，

有x

，所以

t

min

四、解答题：本题共6小，共分解应写出文字说明，证明过或演算步.17.【题意图】本小题要考查等比数列的定义与前

项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一）题意，

nn10an

（非零常数

nnnn

11

故

1

，公比

的等比数列（2）可知1

所以cnlgnlg10nn

①当为数时，Sn

；②当

为奇数时，S4)n

为数故n奇数解法二）解法一；

（2）由（）可知b101

所以cnlgnn

n

Sn

(n

n

①(Sn

n

②①②得

2n

(

1

(

，故

n

n

18.【题意图】本小题“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模数学运算核心素养的关注.【试题解析）如图，在△APQ中根据正弦定理得

sinsin2

2

，

2222化简得

ssin1

2

；（2）在△

中，根据正弦定理得

PQsinsin2

2

，可得

ssin1

2

900.50.225

200

，又在△中根据余定理得

BP

AP

，代入得AB

4000062500

，所以

AB200

米.19.【题意图】本小题要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据析等核心素养的关注【试题解析）依题意，已检测的不合格品样本共有个其中改良前的有个，改良后的有5个P(X

C215C220

；C1P(X155C220

；P(X2)

C015C220

故X

的分布列为：X

1

P

（2）由样本估计总体的思想，改良前成品醋利润的数学期望5

2.85

；若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%则改良后的利润至少应为

假设改良后个还未进行进一步检测的样本中，一等品有

个，则改良后的一等品有

个，二等品有

69

个.改良后成品醋利润的数学期望5

5依题意，5

求得

7.5

，又

，故20个未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要个.20.【题意图】本题考空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素.【试题解析）连结

交

于

，连结

MN

，因为

AD，AB

，所以为的直平分线，则，又因为PM，所以为△PAC中位线，则

PA//MN

，又因为

平面

，

MN

平面

，所以

PA/

平面MBD

（2）解法一：取AD的点O，为平面PAD面ABCD，所以OP面

，过

O

作AD

的垂线作为

轴，分别以

OD

，

所在的直线为

轴，z

轴建立如图空间直角坐标系，

即则即

P

，由已知

AB

2

，得AB

，故

假设

,0

，因为

1,0

1,0

，由，

x

，解得

1,05

，1,,5

，DC

，假设平面MCD的个法向量是

,z11

，则

11

，z141

，令

x1

，

y1

，

z1

，取

，因为平面MBD平面，且BD，所以平面MBD

的一个法向量是

,

，取

，假设二面角

BMD的平面角为，因为二面角

BMD

的平面角为锐角，则二面角

BMD

的余弦值cos

121

4141

解法二）解法一；（2）因为

AB

2AD2

，得ABAD

，又因为平面PAD

平面

ABCD

，故以点A

为原点，

，AD

所在的直线为x轴

轴，在平面PAD

内过点A

作

的垂线为z

轴建立如图空间直角坐标系，

555555则555555

A4C,05

，4于是,5

6，，DC5

，假设平面

MCD

的一个法向量是

,z11

，则

11

，即

14y1

，令

x，y，z，取n11

，因为平面MBD

平面

ABCD

，且

AC

，所以平面MBD

的一个法向量是

,

，取

，假设二面角

BMD的平面角为，则cos

1212

241541

因为二面角

的平面角为锐角，所以其大小的余弦值

解法三）解法一；（2）以PA所直线为轴

所在的直线为

轴，过P

作

平行线为z

轴，则

A

2,0,0

22,,

，28232于是,,PD，PC,

，

11，得11，得假设平面

MCD

的一个法向量是

,z11

，则，即

y31

，令

2，y，取，111因为平面MBD

平面

ABCD

，且

AC

，所以平面MBD的一法向量是

22228,55

，取

，2假设二面角

BMD的平面角为，则

112

241

因为二面角

的平面角为锐角，所以其大小的余弦值

解法四）解法一；（2取

的中点

O

因为平面PAD

平面

ABCD

所

平面

ABCD

过

O

作AD

的垂线作为

轴，分别以

OD

，

OP

所在的直线为

轴，z

轴建立如图空间直角坐标系，由已知

AB

2AD2BD

，得AB，又

P

，假设

C,00

，因为

y0

0

，由

02y2000

，解得

C

,0

，1,,5

，DC

，假设

z

x,yz

，设

1PM5

，

1解得M5

1，5

，因为平面MBD平面，且BD，DM，4又因为,5

4，所以,,05

5

，解得

1，于是,,

8，则DM,3

，假设平面的一个法向量是

,z11

，则

1DM1

，即

4114111

，令

x1

，

y1

，

z1

，取

，依题意可取平面MBD

的一个法向量为

4,，n5

，假设二面角

BMD

的平面角为

，则则cos

121

41

因为二面角

的平面角为锐角，所以其大小的余弦值

21.【题意图】本题主考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、两直线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识等；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的关【试题解析】解法一）已知可得

关轴对称点为M，1则

，如图，不妨设直线

与椭圆相交于M，N两点，1设

x2

，联立

y2y3

，可得

yy2

，即

16yy

，

12122121所以y121221211

9，y16

，故

MFNFMFNFN

2

y1

2

512

（2）由已知可得

，

，

x,y

，

x1

，

N

x,

，不妨设直线my

与椭圆相交于点，，1联立

my2y3

，可得

3(my20

，即

，所以y1

m，y22

，且y12

y1

直线AM：y

1xx1

，直线

：

y

y2x2

，联立两直线方程，消去y

可得

xyxyy112

，即

my12y11

3232

y2y1

，所以

x

，

x

，即点P在定直上.

1212解法二）上（2）由已知可得

x,yy1122

，不妨设直线my

与椭圆相交于点

1

，

，联立

my2y3

，可得

3(my

y

2

，即

，所以y1

m，y22

，直线AM

1xx1

，直线

：

y

y2x2

，由点在圆上，可知1x1所以，xy1

1

所以直线AM

：

y

x1(1

，联立两直线方程，消去y可y12即x12

2)1，

y2x2

(x

，即

yyy12112xmyy121212

，

121223121223所以

9m2m24

，所以

x

，

x

，即点P在定直线x上解法三）上（2）由已知可得

，

，

x,y

，

x1

，

N

x,

，不妨设直线my

与椭圆相交于点，，1联立

my2y3

，可得

3(my20

，即

，所以y1

m，y22

，设直线

AM

1

，

的斜率分别为

k1

，

k

2

，则y12x12

y1x12

y12my12

y1m2yy12

2

1mm

，所以直线AM

，

的斜率满足1

，又设直线BN的率为k

3

，则yyy2k2xx22

，所以直线AM，BN的斜率满足

1k3

，故直线AM

：

y(，BN：

x

，

x

，即点P

在定直线

x

上.22.【题意图】本小题要考查函数与方程，不等式，导数的应用等基础知识，考查逻辑推理，运算求解能力，体现综合性，导向对发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关【试