人教版七年级数学上册第二章整式的加减导学案

第二章整式的加减2．1单项式1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数；3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识．重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念；难点：区别单项式的系数和次数．一、温故知新1．列代数式：(1)边长为a的正方体的表面积为__6a2__，体积为__a3__；(2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是__2.5x__元；(3)一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是__vt__千米；(4)设n是一个数，则它的相反数是__－n__．2．请学生说出所列代数式的意义．3．请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征．(由小组讨论后，经小组推荐人员回答)二、自主学习1．单项式通过上述特征的描述，从而概括单项式的概念：单项式：即由__数__与__字母__的乘积组成的代数式称为单项式．补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.2．练习：判断下列代数式哪些是单项式？(1)eq\f(x＋1,2)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y＋x；(6)－xy2；(7)－5.解：是单项式的有(填序号)：(2)(3)(4)(6)(7)．3．单项式的系数和次数四个单项式eq\f(1,3)a2h，2πr，abc，－m中，请说出它们的系数和次数分别是什么？单项式eq\f(1,3)a2h2πrabc－m系数eq\f(1,3)2π1－1次数3131小结：一个单项式中，单项式中的数字因数称为这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．4．学生阅读课本P57，完成例3.1．课本P57练习1，2题．2．判断下列各代数式是否是单项式．如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数．①x＋1；②eq\f(1,x)；③πr2；④－eq\f(3,2)a2b.答：①②不是，它们不是数字与字母积的形式．③④是，③的系数是π，次数是2，④的系数是－eq\f(3,2)，次数是3.3．下面各题的判断是否正确？①－7xy2的系数是7；(×)②－x2y3与x3没有系数；(×)③－ab3c2的次数是0＋3＋2；(×)④－a3的系数是－1；(√)⑤－32x2y3的次数是7；(×)⑥eq\f(1,3)πr2h的系数是eq\f(1,3).(×)1．单项式：2．单项式的系数和次数：3．通过例题及练习，应注意以下几点：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；③单项式次数只与字母指数有关．2．1多项式1．通过本节课的学习，使学生掌握多项式的项及其次数、常数项的概念；2．能确定一个多项式的项数及其次数．重点：多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念；难点：多项式的次数．一、温故知新1．下列说法或书写是否正确：①1x(×)②－1x(×)③a×3(×)④a÷2(×)⑤1eq\f(1,4)xy2(×)⑥b的系数为1，次数为0(×)⑦2πR的系数为2，次数为2(×)2．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a，b，则长方形的周长是2a＋2b；(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生(21＋x)人；(3)一个数比x的2倍小3，则这个数为2x－3；(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头(a＋b)个，脚(2a＋4b)只．3．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别．(由小组讨论后，经小组推荐人员回答)二、自主学习1．多项式学生阅读课本P58完成下列问题：上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的．像这样，几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的__项__．其中，不含字母的项叫做常数项．例如，多项式有3x2－2x＋5有__三__项，它们是3x2，－2x，5．其中常数项是__5__．一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．例如，多项式3x2－2x＋5是一个__二__次__三__项式．问题：(1)多项式的次数是所有项的次数之和吗？(2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗？例题讲解例1指出下列多项式的项和次数：(1)3x－1＋3x2；解：项分别为3x，－1，3x2，次数为2；(2)4x3＋2x－2y2.解：项分别为4x3，2x，－2y2，次数为3.例2已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m，n的条件．解：由题意得n＝3，m－1＝0，∴n＝3，m＝1.2．自学书本例4.(教师指导)注：单项式与多项式统称整式．1．课本P58练习1，2题．(直接做在课本上)2．指出下列多项式是几次几项式．(1)x3－x＋1；解：三次三项式；(2)x3－2x2y2＋3y2.解：四次三项式．3．用多项式表示：(1)一辆汽车以x千米/小时行驶d小时，若速度加快10千米/小时，则可多行多少千米？解：d(10＋x)－dx；(2)一批运动服按原价85%(八五折)出售，每套售价为y元，则这批运动服装原价为多少？解：y÷0.85＝eq\f(20,17)y.1．你知道多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念了吗？2．整式的概念：单项式与多项式统称整式．2．2同类项1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项；2．初步体会数学与人类生活的密切联系．重点：理解同类项的概念；难点：根据同类项的概念，在多项式中找同类项．一、温故知新1．运用有理数的运算律计算：(1)100×2＋252×2＝2×(100＋252)＝704；(2)100×(－2)＋252×(－2)＝(－2)×(100＋252)＝－704；(3)100t＋252t＝352t．思路点拨：反用分配律可得．2．请根据上面得到结论的方法，探究下面各式的结果：(1)100t－252t＝(－152)t；(2)3x2＋2x2＝(5)x2；(3)3ab2－4ab2＝(－)ab2.上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？二、自主学习同类项的定义：1．观察：3x2和2x2，3ab2与－4ab2在结构上有哪些相同点和不同点？2．归纳：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．如3和－5是同类项．1．判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．(1)3x与3mx是同类项．(×)(2)2ab与－5ab是同类项．(√)(3)3x2y与－yx2是同类项．(√)(4)5ab2与－2ab2c是同类项.(×)(5)23与32是同类项．(√)2．下列各组式子中，是同类项的是(B)A．3x2y与－3xy2B．3xy与－2yxC．2x与2x2D．5xy与5y23．在下列各组式子中，不是同类项的一组是(B)A．2，－5B．－0.5xy2，3x2yC．－3t，200πtD．ab2，－b2a4．已知xmy2与－5ynx3是同类项，则m＝__3__，n＝__2__.5．指出下列多项式中的同类项：(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；同类项是：3x与－2x，－2y与3y，＋1与－5；(2)3x2y－2xy2＋eq\f(1,3)xy2－eq\f(3,2)yx2.同类项是：3x2y与－eq\f(3,2)yx2，－2xy2与eq\f(1,3)xy2.6．游戏规则：一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项．要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同．请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验，从而揭示同类项的本质特征，透彻理解同类项的概念．1．同类项的概念：2．注意：两个相同：字母相同；相同字母的指数相同．两个无关：与系数无关；与字母顺序无关．所有的常数项都是同类项．两个项虽然所含字母相同，但相同字母的指数不全相同就不是同类项．1．若5x3ym和－9xn＋1y2是同类项，则m＝__2__，n＝__2__.2．若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项．(1)eq\f(1,3)(s＋t)－eq\f(1,5)(s－t)－eq\f(3,4)(s＋t)＋eq\f(1,6)(s－t)；解：eq\f(1,3)(s＋t)与－eq\f(3,4)(s＋t)，－eq\f(1,5)(s－t)与eq\f(1,6)(s－t)；(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋(s－t)．解：2(s－t)，－5(s－t)与(s－t)，3(s－t)2与－8(s－t)2.3．观察下列一串单项式的特点：xy，－2x2y，4x3y，－8x4y，16x5y，…(1)按此规律写出第6个单项式．(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？解：(1)－32x6y(2)(－2)n－1xny，系数是(－2)n－1，次数是n＋1.2．2合并同类项理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则．正确合并同类项．一、温故知新1．下列各组式子中是同类项的是(C)A．－2a与a2B．2a2b与3ab2C．5ab2c与－b2acD．－eq\f(1,7)ab2和4ab2c2．思考：(1)6个人＋4个人＝________________；(2)6只羊＋4只羊＝________________；(3)6个人＋4只羊＝________________．二、自主学习1．思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？要有同类项2．因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律，把多项式中的同类项进行合并．例如，4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2(找出多项式中的同类项)＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2(交换律)＝(4x2－8x2)＋(2x＋3x)＋(7－2)(结合律)＝(4－8)x2＋(2＋3)x＋(7－2)(分配律)＝－4x2＋5x＋5把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．3．合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？归纳：(1)合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．(2)若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如－3ab2＋3ab2＝(－3＋3)ab2＝0·ab2＝0.多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．例1.合并下列各式的同类项：(1)xy2－eq\f(1,5)xy2；(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；(3)4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.解：(1)eq\f(4,5)xy2；(2)－x2y＋xy2；(3)－b2＋2ab.例2.(1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝eq\f(1,2)；(2)求多项式3a＋abc－eq\f(1,3)c2－3a＋eq\f(1,3)c2的值，其中a＝－eq\f(1,6)，b＝2，c＝－3.解：(1)2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2(仔细观察，标出同类项)合并同类项，原式＝－x－2.当x＝eq\f(1,2)时，原式＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2).(2)3a＋abc－eq\f(1,3)c2－3a＋eq\f(1,3)c2.合并同类项，原式＝abc.当a＝－eq\f(1,6)，b＝2，c＝－3时，原式＝1.1．下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正．(1)2x2＋3x2＝5x4；改：5x2(2)3x＋2y＝5xy；不是同类项(3)7x2－3x2＝4；改：4x2(4)9a2b－9ba2＝0.对2．课本P65，练习第1，2，3，4题．(教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立练习，选择中等程度的学生上黑板演算)．1．什么叫合并同类项？2．怎样合并同类项？3．合并同类项的依据是什么？2．2去括号能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简；难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．一、温故知新1．合并同类项：(1)7a－3a；(2)4x2＋2x2；解：4a;解：6x2；(3)5ab2－13ab2;(4)－9x2y3＋9x2y3.解：－8ab2;解：0.二、自主探究1．利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？现在我们来看本章引言中的问题(3)：在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为(t－0.5)小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120(t－0.5)千米，因此，这段铁路全长为100t＋120(t－0.5)千米①，冻土地段与非冻土地段相差：100t－120(t－0.5)千米②.上面的式子①②都带有括号，它们应如何化简？100t＋120(t－0.5)＝100t＋120t－60＝220t－60，100t－120(t－0.5)＝100t－120t＋60＝－20t＋60.我们知道，化简带有括号的整式，应首先去括号．上面两式去括号部分变形分别为：＋120(t－0.5)＝120t－60，③－120(t－0.5)＝－120t＋60.④比较③④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？归纳去括号的法则：法则1：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；法则2：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．特别地，＋(x－3)与－(x－3)可以分别看作1与－1分别乘(x－3)．2．范例学习例4.化简下列各式：(1)8a＋2b＋(5a－b)；解：原式＝13a＋b；(2)(5a－3b)－3(a2－2b)．解：原式＝－3a2＋5a＋3b.例5.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．(1)2小时后两船相距多远？(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米？解：(1)2(50＋a)＋2(50－a)＝100＋2a＋100－2a＝200.(2)2(50＋a)－2(50－a)＝100＋2a－100＋2a＝4a去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项分别相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号．1．课本P67练习1，2题．去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项，可利用分配律来理解．2．2整式的加减让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算．重点：正确进行整式的加减；难点：总结出整式的加减的一般步骤．一、温故知新1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？2．如何去括号，它的依据是什么？二、自主学习例6计算：(1)(2x－3y)＋(5x＋4y)；解：原式＝2x－3y＋5x＋4y＝(2x＋5x)＋(－3y＋4y)＝7x＋y；(2)(8a－7b)－(4a－5b)．解：原式＝8a－7b－4a＋5b＝8a－7b－4a＋5b＝4a－2b.(解答由学生自己完成，教师巡视，关注学习有困难的学生)．例7一种笔记本的单价是x(元)，圆珠笔的单价是y(元)，小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？解：(3x＋2y)＋(4x＋3y)＝7x＋5y例8做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：厘米)：长宽高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？(学生分小组学习，讨论解题方法．)(思路点拨：让学生自己归纳整式加减的运算法则，提高表达能力．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．)例9求eq\f(1,2)x－2(x－eq\f(1,3)y2)＋(－eq\f(3,2)x＋eq\f(1,3)y2)的值，其中x＝－2，y＝eq\f(2,3).(思路点拨：先去括号，合并同类项化简后，再代入数值进行计算比较简便，去括号时，特别注意符号问题．)解答过程见课本1．课本P69练习1，2，3题．1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合．2．整式的加减的一般步骤：①如果有括号，那么先去括号；②如果有同类项，则合并同类项．3．求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样可使计算简便．第二章整式的加减复习1．进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念，准确确定单项式的系数、次数、多项式的项、次数；2．理解同类项概念，掌握合并同类项法则和去括号法则，熟练地进行整式加减．整式加减运算．知识回顾1．单项式和多项式统称整式．(1)单项式：__数__与字母乘积的形式称为单项式．单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.单项式的系数：单项式里的数字因数叫做单项式的系数．单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的__项__，不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数．2．同类项必须同时具备的两个条件(缺一不可)：①所含的字母相同；②相同字母的指数也相同．方法：把各项的系数相加，而字母部分不变．3．去括号法则法则1：__________________________；法则2：__________________________．去括号法则的依据实际是分配律．4．整式的加减整式的加减的运算法则：如遇到括号，则先去括号，再合并同类项．5．本章需要注意的几个问题①整式(即单项式和多项式)中，分母一律不能含有字母；②π不是字母，而是一个数字；③多项式相加(减)时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算；④去括号时，要特别注意括号前面的因数．1．在xy，－3，－eq\f(1,4)x3＋1，x－y，－m2n，eq\f(1,x)，4－x2，ab2，eq\f(2,x＋3)，eq\f(b2,π)中，单项式有：xy，－3，－m2n，ab2，eq\f(b2,π)；多项式有：－eq\f(1,4)x3＋1，x－y，4－x2；整式有：xy，－3，－m2n，ab2，eq\f(b2,π)，－eq\f(1,4)x3＋1，x－y，4－x2．2．已知－7x2ym是7次单项式，则m＝__5__．3．一种商品每件a元，按成本增加20%定出的价格是1.2a；后来因库存积压，又以原价的八五折出售，则现价是1.02a元，每件还能盈利0.02a元．4．单项式－eq\f(5x2y,6)的系数是－eq\f(5,6)，次数是__3__．5．已知－5xmy3与4x2yn能合并，则mn＝__8__．6．7－2xy－3x2y3＋5x3y2z－9x4y3z2是__九__次__五__项式，其中最高次项是－9x4y3z2，最高次项的系数是－9，常数项是__7__，是按字母__x__作__升__幂排列．7．已知x－y＝5，xy＝3，则3xy－7x＋7y＝－26．8．已知A＝3x＋1，B＝