2021年湖南省衡阳市中考数学考前信心卷及答案解析

2021年湖南省衡阳市中考数学考前信心卷

一．选择题（共12小题，满分36分）

l.(3分）－3的相反数为（)

11-3

Bc

A.-33-D.3

2.(3分）下列运算正确的是()

A.a+2a=3a2B.a2．忒＝c户C.（动）3=ab3D.(-论）2=-a6

3.(3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划

“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（)

A.44X108B.4.4X109C.0.44Xl01oD.4.4X108

4.(3分）下列运算中，正确的是()

A.西＝土3B.V习3=-2C.(-2)0=0D.2-1=-2

5.(3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

:。

A.赵翠弦图B.笛卡尔心形线

勹

c.科克曲线D.斐波那契蛭肢线

6.(3分`）若x=-I使某个分式无意义，则这个分式可以是（)

x-12x+12x-1x+1

A.B.c.D.

2x+lx+1x-12x+1

7.(3分）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条

AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依

据是（)

A

B-c

A.对角线互相平分的四边形是平行匹边形—

第1页共23页

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

8.(3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（)

A[ill]B@C心D[IIJ

2x-4三0

9.(3分）不等式组｛的解集在数轴上用阴影表示正确的是（)

x+Z>O

iI厂弓i

A.-202B.-20'2

t`,二ll［二

C.-202D.-202

k

10.(3分）已知反比例函数y=－的图象经过点(3,2)，小良说了四句话，其中正确的是（)

X

A.当x<O时，y>O

B.函数的图象只在第一象限

c.y随x的增大而增大

D.点（－3,2)不在此函数的图象上

11.(3分）如图，一块长方形绿地的长为100m,宽为50m,在绿地中开辟两条道路后剩余

绿地面积为4704m2.则根据题意可列出方程（)

A.5000-150x=4704B.5000-150x+x2=4704

C.5000-ISOx-2=4704D.5000-lSOx+;.1.-<=47042

2

12.C3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm

的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B

点时运动同时停止，设6AMN的面积为y(cm.勺，运动时间为x（秒），则下列图象中能

大致反映y与x之间函数关系的是（)

第2页共23页

Vy9-

”9

-『.....r/

4••4

3-2_03-2

A.

yB.v

>“9-4

9-

4

3-23-2

c.D.

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13.(3分）把ab2-ab分解因式的结果是.

x2-4X

L4.(3分）计算-—的结果是

x2-4x+4x+2

15.(3分）已知一个正n边形的每个内角都为144°'则边数n为.

16.(3分）如图已知ABIICDIIEF,则乙l,乙2,乙3之间的数晕关系是.

B

E尸F

17.(3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是5,把这个两位数加上9后，结果恰好

成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是.

18.(3分）如图，在平面宜角坐标系中，将6.ABO绕点A顺指针旋转到6.AB1C1的位置，

点B、0分别落在点Bl、C1处，点趴在x轴上，再将6.AB心1绕点B1顺时针旋转到A

A心Q的位嚣，点Q在x轴上，将6.A心C2绕点C2顺时针旋转到6.A设2C2的位置，点

5

心在x轴上，依次进行下去…，若点A（一，0）、B(O,4)，则点B2020的横坐标为.

3

第3页共23页

),j

BB:B4

。x

BlC:A.A千

三．解答题（共8小题，满分66分）

19.(6分）计算：(3x+2y)Ox-2y)-3x(x+2y).

20.(6分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机

分到A组（体温检铡）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．

(l)小红的爸爸被分到B组的概率是

(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是

多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

21.(8分）如图，在6ABC中，AB=AC,BD上AC于D,CE上AB千E,BD、CE相交千F.

求证：AF平分乙BAC.

A

B尸

22.(8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h,精确到lh)，抽

样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据团中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出扇形统计图中百分数a的值为，所抽查的学生人数为

(2)求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图．

(3)求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．

(4)如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少千8小时）的学生数．

了

第4页共23页

23.(8分）课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用

刚学过的数学知识来测显这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图

所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树

冠DK，古树长在一个小坡上，经测杂，斜坡HJ长2.2米，坡角乙JHL=30°,窗口高

EF=l.2米，树干底部KC=0.9m,A点距墙根G为I.Sm,树干距墙面的水平距离IC为

4.Sm,请根据上面的信息，计算出树顶到地面的距离DL的长度．

D

H

24.(8分）如图，在丛ABC中，乙C=90°，乙BAC的平分线交BC千点D,点0在AB上，

以点0为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB千点E.F.

(1)试判断直线BC与00的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=2长，BF=2,求00的半径．

C

A开～

25.(10分）如图，已知二次函数y=-2-+bx+c的阳象经过点A(3,1)，点BCO,4).

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)点C(m,n)在该二次函数图象上．

＠当m=-1时，求n的值；

＠当m~x~3时，n蔽大值为5，最小值为l，请根据图象直接写出m的取值范围．

x

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26.(12分）如图，在丛ABC中，乙ACB=90°,AB=10,AC=8,CD是边AB的中线．动

点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P

2

作PQ..lAC干点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN=;PQ3．设

矩形PQMN与6ACD重叠部分图形的面积是S,点P的运动时间为tCs)Ct>O)

(1)当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长；

(2)当点N落在边AD上时，求t的值；

(3)求S与t之间的函数关系式；

(4)连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1:2的两部分时，直接写出t

的值．

A三三

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2021年湖南省衡阳市中考数学考前信心卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分）

l.(3分）－3的相反数为（)

11

B-3c一

A.-33D.3

【解答】解：－3的相反数是3.

故选：D.

2.(3分）下列运算正确的是（)

A.a+2a=3a2B.a2.a3=a5C.(ab)3=ab3D.(-a3)2=-a6

【解答】解：a+2a=3a,因此选项A不符合题意；

a2•a3=a2+3=as,因此选项B符合题意；

(ab)3=a沪，因此选项C不符合题意；

C_a3)2=a6,因此选项D不符合题意；

故选：B.

3.(3分）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划

“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为()

A.44X108B.4.4X109C.0.44X101()D.4.4X108

【解答】解：4400000000=4.4X109,

故选：B.

4.(3分）下列运算中，正确的是（)

A.-./9＝士3B.卢＝－2C.(-2)O=OD.2一1=-2

【解答】解：．：西＝3,

：．选项A不正确；

·:v飞＝－2,

:．选项B正确；

·:(-2)o=l.

：．选项C不正确；

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•••2-l1

=-2'

:．选项D不正确．

故选：B.

5.(3分）下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

卢。

A.赵衷弦图B.笛卡尔心形线

。勹

C.科克曲线D.斐波那契蚽肢线

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意：

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：c.

6.(3分）若x=-I使某个分式无意义，则这个分式可以是（)

x-12x+12x-1x+l

A.B.C.D.

2x+lx+1x-12x+l

x-1

【解答】解：A、当x=－－时，分式一一－无意义，故此选项不合题意：

22x+1

2x+l

B、x=-］时，分式——－无意义，故此选项符合题意；

x+l

2x-1

C、当x=l时，分式一一一无意义，故此选项不合题意；

x-1

1X+1

D、当x=－－时，分式——－无意义，故此选项不合题意；

22x+1

故选：B.

7.(3分）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将俩根木条

AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依

据是（)

第8页共23页

A

B..—c

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行匹边形

【解答】解：由已知可得AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形，依据

是对角线互相平分的四边形是平行四边形．

故选：A.

8.(3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（)

ADJ]B．心C.心D.[IIJ

【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．

故选：A.

2x-4~0、丿

9.

(3分）不等式组｛x+2>0的解集在数轴上用阴影表示正确的是（

」，厂，二

A.-2o2B.-2o2

_J,il勹，厂

c.-202D.-2o2

2x-4三00

【解答】解：{x+z>o@'

由G)得x~2,由＠）得x>-2,

—l,i』

故此不等式组的解集为：-202

故选：c.

k

10.(3分）已知反比例记数y=－的图象经过点(3,2)，小良说了四句话，其中正确的是()

X

A.当x<O时，y>O

B.函数的图象只在第一象限

c.y随x的增大而增大

D.点（－3,2)不在此函数的图象上

k

【解答】解：？反比例涵数y=－的图象经过点(3,2),

X

第9页共23页

:.k=2X3=6,

•6

.•y=:::,

X

:．图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A,B,C错误，选项D正确，

故选：D.

11.(3分）如图，一块长方形绿地的长为100m,宽为50m,在绿地中开辟两条道路后剩余

绿地面积为4704m2.则根据题意可列出方程（)

A.5000-150x=4704B.5000-lSOx+>-2=4704

1?

C.5000-150x-x2=4704D.5000-150x+;.r=4704

2

【解答】解：依题意，得：100X50-(100+50)x+Y'=4704,

即5000-150x+x2=4704.

故选：B.

12.(3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒lcm

的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B

点时运动同时停止，设6.AMN的面积为y(cm.2)，运动时间为x（秒），则下列图象中能

大致反映y与x之间函数关系的是（)

V39^~V}9-

....

-4^4

3-23-2

A.B.

第10页共23页

Vy“9-4

5

9-4

3-23-2

C.D.

【解答】解：？点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时

运动同时停止，

:.N到C的时间为：t=3-:-2=1.5,

分两部分：

＠当0辜勺5时，如图],此时N在DC上，

113

s凶\MN=y=;;AM2•AD=;;xx23=~x.2

＠当1.5＜冬3时，如图2,此时N在BC上，

:.DC+CN=2x,

:.BN=6-2x,

11

:.s凶MN=y=iAM•BN=ix(6-2x)=－忐＋3x,

故选：A.

勹

图1

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

13.(3分）把动2-ab分解因式的结果是ab(b-1)

【解答】解：ab2-ab=ab(b-1).

故答案为：ab(b-1).

第11页共23页

x2-4x....__6x+4

14.(3分）计算－一一的结果是一一－

灶－4x+4x+2__x2-4_.

x2-4X

【解答】解：

x2-4x+4x+2

=(x+2)(x-2)x

(x-2)2一石万

x+2X

＝言一石

(x+2)2x(x-2)

=(x+2)(x-2)-(x+2)(x-2)

x2+4x+4－灶＋2x

=x2-4

6x+4

7广·

=X—4

6x+4

故答案为：——-．

x2-4

15.(3分）已知一个正n边形的每个内角都为144°'则边数n为十.

【解答】解：由题意得，（n-2)•180°=144°•n,

解得n=lO.

故答案为：十．

16.C3分）如图，已知AB!!COIiEF,则乙l，乙2,乙3之间的数量关系是乙1－乙3+乙

2=180°

B

EEF

【解答】解：?CDIIEF,

:.乙2＋乙CEF=180°,

了AB/IEF,

:.4l＝乙3＋乙CEF,

．．乙CEF＝乙1-乙3,

:.乙2＋乙I-乙3=180°'

即乙l－乙3＋乙2=180°

故答案为：乙1-乙3＋乙2=180°

17.(3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是5，把这个两位数加上9后，结果恰好

成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是23.

第12页共23页

【解答】解：设这个两位数个位上的数字是X,则十位上的数字是5-X,

.'.JO(5-x)+x+9=lOx+(5-x),

.'.59-9x=5+9x,

.'.18x=54,

解得x=3,

:.s-x=S-3=2,

:．这个两位数是23.

故答案为：23.

18.(3分）如图，在平面直角坐标系中，将6.ABO绕点A顺指针旋转到6.AB心的位置，

点B、0分别落在点B1、C1处，点趴在x轴上，再将6AB1C1绕点趴顺时针旋转到A

A心G的位置，点Q在x轴上，将丛A心Q绕点C2顺时针旋转到丛A泣2C2的位置，点

5

心在x轴上，依次进行下去…，若点A(－，0)、B(0,4)，则点B2020的横坐标为10100.

3

)I

,j

BB:B4

GA.

么，x

OIABlC:A.B;

【解答】解：由图象可知点82020在第一象限，

s

·:OA=~.OB=4,乙AOB=90°,

3

:.AB=硐½OA2=三＝旱，

:.B2(IO,4),84(20,4),86(30,4),

:,B2020(10100,4).

:．点B2020横坐标为10100.

故答案为10100

三．解答题（共8小题，满分66分）

19.(6分）计算：(3x+2y)Ox-2y)-3x(x+2y).

【解答】解：(3x+2y)Ox-2y)-3x(x+2y)

=9x2-4y2-3x2-6芍

＝忍－6.xy-4y2.

20.(6分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机

第13页共23页

分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．

1

(1)小红的爸爸被分到B组的概率是-;

—3一

(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是

多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

【解答】解：（1)共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到

1

"B组”的概率为－；

3

(2)用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

王三老师爸ABC

AAABACA

BABBBCB

CACBCCC

共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，

31

:.p(他与小红爸爸在同一组）=5=了·

21.(8分）如图，在~ABC中，AB=AC,BD..lAC千D,CE..lAB于E,BD、CE相交千F.

求证：AF平分乙BAC.

A

Br

【解答】证明：·:AB=AC（已知），

:．乙ABC＝乙ACB（等边对等角）．

·:BO、CE分别是高，

:.BO..lAC,CE..lAB（高的定义）．

：．乙CEB＝乙BDC=90°.

：．乙ECB=90°-LABC,乙DBC=90°-乙ACB.

：．乙ECB＝乙DBC（等量代换）．

:.FB=FC（等角对等边），

在6ABF和6ACF中，

第14页共23页

卢二＄，

FB=FC

:.L:.ABF竺L:.ACF(SSS),

占乙BAF＝乙CAF（全等三角形对应角相等），

:.AF平分乙BAC.

22.(8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h,精确到Lh)，抽

样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(l)求出扇形统计图中百分数a的值为45%，所抽查的学生入数为60.

(2)求出平均睡呡时间为8小时的人数，并补全频数直方图．

(3)求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．

(4)如果该校共有学,j1:生1800名，请你估计睡眠不足（少千8小时）的学生数．

l2

【解答】解：(1)a=I-20%-30%-5%=45%,

所抽查的学生人数为：375%=60,

故答案为：45%,60:

(2)平均睡眠时间为8小时的人数为：60X30%=18,

平均睡眠时间为7小时的人数为：60X45%=27,

补全的频数分布直方图如右图所示；

(3)这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，

-12x6+27x7+8x18+9x3

x=60=7.2（小时），

即这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，平均数是7.2小时；

(4)1800x号产＝1170（人），

即睡呡不足（少于8小时）的学生有1170人．

第15页共23页

守

3027

18

23.(8分）课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用

刚学过的数学知识来测谥这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图

所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树

冠DK,古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角乙JHL=30°,窗口高

EF=I.2米，树干底部KC=0.9m,A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为

4.5m,请根据上面的信息，计算出树顶到地面的距离DL的长度．

D

HL

【解答】解：连接EF，过点B作BM上DL，垂足为M,交EF千点N,

由题意可知，BN=AG=l.5,MN=JC=4.5,

由68£FV>68KD得，

EFBN1.21.5

—KD=-—BM'..即,.一－KD=-1.5+4.5，解得，KD=4.8,

？斜坡HJ长2.2米，坡角乙JHL=30°,

1

:.CL=;;HJ=1.1,

2

:.DL=DK+KC+CL=4.8+0.9+1.1=6.8（米），

答：树顶到地面的距离DL的长度为6.8米．

D

A

H

24.(8分）如图，在6.ABC中，乙C=90°，乙BAC的平分线交BC千点D,点0在AB上，

第16页共23页

以点0为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB千点E.F.

(I)试判断直线BC与00的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=2花，BF=2,求00的半径．

C

A开～

【解答】解：（1)线BC与00的位置关系是相切，

理由是：连接OD,

"."OA=OD,

：．乙OAD＝乙ODA,

·:AD平分乙CAB,

:．乙OAD＝乙CAD,

．．乙ODA＝乙CAD,

:.ODIiAC,

·.．乙C=90°,

．．乙ODB=90°,即OD_l_BC,

·:oo为半径，

:．线BC与00的位置关系是相切；

(2)设00的半径为R,

则OD=OF=R,

在Rt丛BDO中，由勾股定理得：OB2=B炉＋OD气

即(R+2)2=(2污）2+R气

解得：R=4,

即OO的半径是4.

第17页共23页

c

AB

25.(10分）如图，已知二次函数y=－，吕＋bx+c的图象经过点A(3,1)，点B(0,4).

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)点C(m,n)在该二次函数图象上．

O当m=-l时，求n的值；

＠当m冬冬3时，n最大值为5，最小值为l，请根据图象直接写出m的取值范围．

x

【解答】解：（1)？二次函数y=-1-+bx+c的图象经过点A(3,l)，点BCO,4).

.·.{-9+3b+c=1解得{b=2,

c=4c=4

占该二次函数为y=－入:2+2x+4,

·:y=-(x-1)2+5,

:．顶点为(1,5);

(2)？点CCm,n)在该二次函数图象上，

＠当m=-1时，则C(-l,n),

把C(-1,n)代入y=-x2+2x+4得，n=l;

＠当n圣冬3时，n最大值为5，最小值为l,

？抛物线的顶点为(I,5),

把y=I代入y=-1-+2x+4得l=-1-+2x+4，解得x,=3,x2=-1,

:.m的取值范围是－L:'.S;m:'.S;l.

26.(12分）如图，在!:::.ABC中，乙ACB=90°,AB=10,AC=8,CD是边AB的中线．动

点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P

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2

作PQ上AC千点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点CN始终在PQ的异侧，且PN=::,PQ．设

3

矩形PQMN与丛ACD重叠部分图形的而积是S,点P的运动时间为tCs)(t>O)

(I)当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长；

(2)当点N落在边AD上时，求t的值；

(3)求S与t之间的函数关系式；

(4)连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为I:2的两部分时，直接写出t

的值．

【解答】解：（l)如图］中，

A三三C

A

图1

在L::.ABC中，．：乙ACB=90°,AB=10,AC=8,

由勾股定理，得AB2=AC-+BC2.

.'.BC=6.

?CD是边AB的中线，

.'.CD=AD=5.

：．乙ACD＝乙CAD.

．：乙CQP＝乙ACB,

:．丛ABC=b.CPQ.

•PQCP

..

BC-AB'

•PQSt

..

610

.".PQ=3t.

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(2)如图2,当点N落在边AD上时