2021-2022学年江苏省南京市七年级上学期期末数学典型试卷2（含答案）

2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷2

一.选择题（共8小题）

1.(2020秋•建邺区期末)下列各数中，无理数是()

22n

A.-2B.3.14C.—D.-

72

2.(2020秋•建邺区期末)下列各式中与a-b-c的值不相等的是()

A.a-(b-c')B.a-(A>+c)C.(a-/>)+(-c)D.(-c)-(.b-a)

3.(2010•广州)下列运算正确的是()

A.~3(x~l)--3x-lB.~3(x-l)--3x+l

C.-3(x-1)=-3x-3D.-3(x-1)=-3x+3

4.（2020秋♦鼓楼区期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最

短”的是（）

A.用两颗钉子固定一根木条

B.把弯路改直可以缩短路程

C.用两根木桩拉一直线把树栽成一排

D.沿桌子的一边看，可将桌子排整齐

5.（2007•济南）已知：如图，ABLCD,垂足为。，EF为过点。的一条直线，则N1与N2

的关系一定成立的是（）

B.互余C.互补D.互为

对顶角

6.（2019秋•漂水区期末）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“会”字对面

的字是（）

B.淮C.源D.头7.（2019秋•高淳区期末）下列说法错

A.同角的补角相等

B.对顶角相等

C.锐角的2倍是钝角

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

8.（2020秋•叶胎县期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则/

1的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

二.填空题（共10小题）

9.（2012•鲤城区校级一模）比-I小2的数是.

10.（2020秋•南京期末）太阳的直径大约是1392000千米，将1392000用科学记数法表

示为.

11.（2020秋•建邺区期末）己知代数式x-3y的值是4,则代数式（x-3y）2-2x+6y-1的

值是.

12.（2020秋•建邺区期末）已知x=a是关于x的方程2a+3x=-5的解，则“的值是.

13.（2020秋•鼓楼区期末）如图，直线人相交于点。，将量角器的中心与点。重合，发

现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线匕上，则/1=

14.（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴

的单位长度是Ian）,刻度尺上表示“Ocvn”、“8cm”的点分别对应数轴上的-2和x,那

么x的值为

15.（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块,

可得到如图几何体，这个几何体有条棱.

16.（2020秋•沈河区期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的

树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数

学知识是

17.（2019秋•高淳区期末）如图，把一张长方形纸条ABC。沿EF

折叠，若NAEG=62°,则N£>EF=

18.（2019秋•高淳区期末）如图，直线AB,CD相交于点O,OE

平分NB。。；。尸平分NCOE,若NAOC=82°,贝ijNBOF=

三.解答题（共8小题）

19.（2020秋•南京期末）计算:

(2)(-2)3X(-2+6)-|-4|.20.(2020秋•南京期末)先化简,再求值：3(2a2/?-4/)

-(-34廿+642/7),其中a=l,b——n-

21.（2020秋•建邺区期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以

下步骤操作:

-*3~I—>1-6~1—?1-s-3—+7------>果师/

11111

I--1I------N----/魔术师能立刻说出

观众想的那个数.

（1）如果小玲想的数是-2,那么她告诉魔术师的结果应该是；

（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73,那么魔术师立刻说出小明想的

那个数是;

（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数.若设观众心想的数

为“，请通过计算解密这个魔术的奥妙.

22.（2020秋•建邺区期末）如图，已知。8=2,AC=10，点。为线段AC的中点，求线段

8c的长度.

ADR023.（2020秋•鼓楼区期末）已知：如图，O是直线AB

上一点，0。是NAOC的平分线，NCOD与NCOE互余.求证：NAOE与NCOE互补.

请将下面的证明过程补充完整；

证明：；0是直线A3上一点，

.•.2408=180°.

INCOD与NCOE互余,

：.ZCOD+ZCOE=°.

AZAOD+ZBOE=90Q.

是NAOC的平分线，

ZAOD=Z（理由：）.

，NBOE=NCOE（理由：）.

VZAOE+ZBOE^°.

...NAOE+NCOE=180°.

NAOE与NCOE互补.

24.（2020秋•鼓楼区期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯

冠军，成为世界三大赛的“十冠王”.2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取

单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，

负队积0分；而在比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部

分信息如表所示.

（1）中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，请将中国队的总积分填在表格中；

（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分

见表格，求巴西队胜场的场数.

名次球队场次胜场负场总积分

1中国11110—

2美国1110128

3俄罗斯118323

4巴西1121

25.（2019秋•漂水区期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如

果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元.”问：小明今天

计划买多少个纸杯蛋糕？

若设小明今天计划买纸杯蛋糕的总价为x元，请你根据题意完善表格中的信息，并列方

程解答.

单价数量总价

今天12—X

明天_______——

26.（2019秋•漂水区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的

数为-10.点B表示的数为6,点C为线段AB的中点.

（1）数轴上点C表示的数是；

（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q

从点5出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为：

秒.

①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；

②当，为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三

等分点（是把一条线段平均分成三等分的点）.（直接写出结果）

Fc~oB―>2021-2022学年上学期南京初中数

学七年级期末典型试卷2

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2020秋•建邺区期末)下列各数中，无理数是()

22n

A.-2B.3.14C.—D.—

72

【考点】无理数.

【专题】实数.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概

念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环

小数是无理数.由此即可判定选择项.

71

【解答】解：无理数是5，

故选：D.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：TT,2Tt等：

开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.

2.(2020秋•建邺区期末)下列各式中与〃-6-c的值不相等的是()

A.a-(b-c)B.a-(b+c)C.(a-/>)+(-c)D.(-c)-(Z>-a)

【考点】去括号与添括号.

【专题】常规题型.

【分析】依据去括号法则进行判断即可.

【解答】解：A、a-(…)=a-b+c,与要求相符；

B、a-(b+c)—a-b-c,与要求不符；

C、(a-b)+(-c)—a-b-c,与要求不符；

D、(-c)-(b-a)--c-b+a,与要求不符.

故选：A.

【点评】本题主要考查的是去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键.

3.(2010•广州)下列运算正确的是()

A.-3(x-1)=-3x-1B.-3(x-1)=-3x+l

C.-3(x-1)=-3x-3D.-3(x-1)=-3x+3

【考点】去括号与添括号.【分析】去括号时，要按照去括号法则，将括号前的-3与括

号内每一项分别相乘，尤其需要注意，-3与-1相乘时，应该是+3而不是-3.

【解答】解：根据去括号的方法可知-3（x-1）=-3x+3.

故选：D.

【点评】本题属于基础题，主要考查去括号法则，理论依据是乘法分配律，容易出错的

地方有两处，一是-3只与尤相乘，忘记乘以

-1；二是-3与-1相乘时，忘记变符号.本题直指去括号法则，没有任何其它干扰，

掌握了去括号法则就能得分，不掌握就不能得分.

4.（2020秋•鼓楼区期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最

短”的是（）

A.用两颗钉子固定一根木条

B.把弯路改直可以缩短路程

C.用两根木桩拉一直线把树栽成一排

D.沿桌子的一边看，可将桌子排整齐

【考点】线段的性质：两点之间线段最短.

【分析】根据实际、线段的性质判断即可.

【解答】解：A、用两颗钉子固定一根木条体现基本事实“两点确定一条直线”；

8、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”；

C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”；

。、沿桌子的一边看，可将桌子排整齐体现基本事实”线段的延长线”；

故选：B.

【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键.

5.（2007•济南）已知：如图，ABLCD,垂足为O,EF为过点O的一条直线，则/I与N2

的关系一定成立的是（）

A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角【考点】余角和补角;

对顶角、邻补角;垂线.

【专题】计算题.

【分析】根据图形可看出，/2的对顶角NCOE与N1互余，那么N1与N2就互余.

【解答】解：图中，N2=/C0E（对顶角相等），

又；A8_LCZ）,

.,.Z1+ZCOE=90",

；.N1+N2=9O°,

，两角互余.

故选：B.

【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质.

6.（2019秋•涕水区期末）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“会”字对面

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字.

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“会”字对面的字是“源”.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对

面入手，分析及解答问题.

7.（2019秋•高淳区期末）下列说法错误的是（）

A.同角的补角相等

B.对顶角相等

C.锐角的2倍是钝角D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【考点】余角和补角：对顶角、邻补角：平行公理及推论.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，对各选项分析判断后利用排除

法求解.

【解答】解：4、同角的补角相等，正确；

B、对顶角相等；正确；

C、锐角的2倍不一定是钝角，错误：

。、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；

故选：C.

【点评】本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概

念题.

8.（2020秋•叶胎县期末）如图，若将三个含45。的直角三角板的直角顶点重合放置，则/

1的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【考点】等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】求出/2即可解决问题.

【解答】解：；NAOB=NCOO=90°

，N2=/AOC=25°,

AZ1=ZEOF-Z2-ZDOF=90°-25°-35°=30°,

故选：D.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质角的和差定

义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

填空题（共10小题）

9.（2012•鲤城区校级一模）比-1小2的数是n

【考点】有理数的减法.

【专题】计算题.

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：-1-2=-3.

故答案为：-3.

【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键.

10.(2020秋•南京期末)太阳的直径大约是139200()千米，将1392000用科学记数法表

示为1.392X1()6

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【专题】实数；数感.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1〈闷<10,”为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值VI时，〃是负整数.

【解答】解：1392000=1.392X1()6.

故答案是：1.392X1()6

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

11.(2020秋•建邺区期末)已知代数式x-3y的值是4,则代数式(x-33；)2-2x+6y-1的

值是7.

【考点】代数式求值.

【专题】整体思想.

【分析】把(x-3y)看作一个整体并代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：..”-3y=4,

(x-3y)2-2x+6y-1=(x-3y)2-2(x-3y)-1,

=42-2X4-1,

=16-8-1,=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键.

12.(2020秋•建邺区期末)已知x=a是关于x的方程2a+3x=-5的解,则a的值是-1.

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【分析】把x=a代入方程，解关于。的一元一次方程即可.

【解答】解：把片=“代入方程，得2〃+3a=-5,

所以5a=-5

解得a--1

故答案是：-1.

【点评】本题考查了一元一次方程的解.掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键.

13.（2020秋•鼓楼区期末）如图，直线八人相交于点O,将量角器的中心与点。重合，发

现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线匕上，则/1=75°.

【考点】对顶角、邻补角.

【分析】首先计算出N2的度数，再根据对顶角相等可得/I的度数.

【解答】解：；/2=135°-60°=75°,

.*.Z1=Z2=75°,

故答案为：75.

a

【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等.

14.（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是la”），刻

度尺上表示“0cm”、“8加”的点分别对应数轴上的-2和尤，那么x的值为

【考点】数轴.

【分析】根据直尺的长度知X为-2右边8个单位的点所表示的数，据此可得.

【解答】解：由题意知I,x的值为-2+（8-0）=6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示-2的点之间的距离.

15.（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有12条

棱.

【考点】截一个几何体.

【专题】推理填空题.

【分析】通过观察图形即可得到答案.

【解答】如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有12条棱.

故答案为：12.

【点评】此题主要考查了认识正方体，关键是看正方体切的位置.

16.（2020秋•沈河区期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，

发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之

间线段最短.

【考点】线段的性质：两点之间线段最短.

【专题】常规题型.

【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案.

【解答】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周

长比原树叶的周长要小，

能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短.

【点评】此题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键.

17.（2019秋•高淳区期末）如图，把一张长方形纸条ABC。沿EF折叠，若NAEG=62°,

C【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】线段、角、相交线与平行线：几何直观.

【分析】由折叠的性质结合平角等于180°,即可得出/(180°-ZAEG),再

代入NAEG的度数即可求出结论.

【解答】解：由折叠的性质，可知：NDEF=NGEF.

VZAEG+ZGEF+ZD£F=180°,NAEG=62°,

ZDEF=1(180°-ZAEG)=1(180°-62°)=59°.

故答案为：59.

【点评】本题考查了翻折变换以及角的计算，利用折叠的性质结合平角等于180°,找出

ZDEF=1(180°-ZAEG)是解题的关键.

18.(2019秋•高淳区期末)如图，直线AB、C。相交于点。，OE平分/BO。；O尸平分N

COE,若NAOC=82°,则/8。尸=28.5°.

【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角.【专题】线

段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的

度数，则NCOE即可求得，再根据角平分线的定义求得/EOF,最后根据NBOF=/EOF

-NBOF求解.

【解答】解：：/AOC=82°

：.ZBOD^ZAOC=82°,

又•:OE平分NB。。，

11

AZDOE=^ZBOD=x82°=41。.

AZC(?£=180°-NDOE=180°-41°=139°,

；OF平分NCOE,

AZEOF=^ZCOE=ix139°=69.5°,

・・・NBOF=NEOF-NBOE=695°-41°=28.5°.

故答案是：28.5.

【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键.

三.解答题(共8小题)

19.(2020秋•南京期末)计算：

2151

(1)(一+一—一)-T-(―yr);

32624

(2)(-2)3X(-2+6)-|-4|.

【考点】有理数的混合运算.

【专题】实数；运算能力.

【分析】(1)除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，进一步计算即可；

(2)先计算乘方和绝对值、括号内的减法，再计算乘法，最后计算减法即可.

215

【解答】解：(1)原式=(-+---)X(-24)

326

=-16-12+20

=-8；

(2)(-2)3X(-2+6)-|-4|=(-8)X4-4

=-32-4

=-36.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和

运算法则.

20.(2020秋•南京期末)先化简,再求值：3(LbY/)-(-3/+6油＞),其中。=1,

b=

【考点】整式的加减一化简求值.

【专题】计算题；整式；运算能力.

【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值.

【解答】解:原式=6。2b-12/+3苏-

--9ab2；

当a=1,b=一号时，

原式=-9X1X(-1)2

=-1.

【点评】本题考查了整式的加减及有理数的混合运算，掌握去括号法则和合并同类项法

则是解决本题的关键.

21.(2020秋•建邺区期末)解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以

下步骤操作：

x3以_61+3I+7]---->%果告诉魔术师/

1---------11------11------11------1N------------/魔术师能立刻说出

观众想的那个数.

(1)如果小玲想的数是-2,那么她告诉魔术师的结果应该是3；

(2)如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73,那么魔术师立刻说出小明想的

那个数是68；

(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数.若设观众心想的数

为〃，请通过计算解密这个魔术的奥妙.

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程.

【专题】实数；运算能力.【分析】(1)利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即

可；

(2)假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于73,得出一元一次方程，即可求出；

(3)结合(2)中方程，关键是发现运算步骤的规律.

【解答】解：(1)(-2X3-6)+3+7=3；

故答案为：3；

(2)设这个数为x,

(3x-6)4-3+7=73；

解得：x=68,

故答案为：68；

(3)设观众想的数为

因此，魔术师只要将最终结果减去5,就能得到观众想的数了.

【点评】此题主要考查了有理数的运算，以及运算步骤的规律性，题目比较新颖.

22.(2020秋•建邺区期末)如图，己知。B=2,AC=10,点O为线段AC的中点，求线段

BC的长度.

ADR0【考点】两点间的距离.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据线段中点的性质推出DC=AD=1AC=^xlO=5,再结合图形根据线段之

间的和差关系进行求解即可.

【解答】解：•••4C=10,点。为线段AC的中点，

：.DC=AD=%C=1X1O=5,

：.BC=DC-DB=5-2=3,

故BC的长度为3.

【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出DC^AD=|AC,

注意数形结合思想方法的运用.23.（2020秋•鼓楼区期末）已知：如图，。是直线A3

上一点，0。是/AOC的平分线，NCOD与NCOE互余.求证：NAOE与NCOE互补.

请将下面的证明过程补充完整；

证明：是直线A8上一点，

...NAOB=180°.

：NCO£>与NCOE互余，

：.NCOD+NCOE=90°.

：.ZAOD+ZBOE=90°.

是NAOC的平分线，

：.ZAOD^ZCOD（理由：角平分线的定义）.

二ZBOE=ZCOE（理由：等角的余角相等）.

VZAOE+ZBOE=180°.

AZAO£+ZCOE=180°.

.♦./AOE与/COE互补.

AOB【考点】角平分线的定义；余角和补角.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据证明过程可得答案.

【解答】证明：:。是直线AB上一点，

；./AOB=180°.

COD与/COE互余，

，NCOD+/COE=90°.

AZAOD+ZBOE=90°.

；0£）是/40C的平分线，

AZAOD^ZCOD（理由：角平分线的定义）.

，NBOE=NCOE（理由：等角的余角相等）.

VZAO£+ZBO£=180°.AZAOE+ZCOE=\SO°.

：.NAOE与/COE互补.

故答案为：90；COD；角平分线的定义；等角的余角相等，180.

【点评】本题考查推理证明的书写、互补（互余）及角平分线等知识，培养思维的严密

性，题目较容易.

24.（2020秋•鼓楼区期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯

冠军，成为世界三大赛的“十冠王”.2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取

单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3-0或者3-1取胜的球队积3分，

负队积0分；而在比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部

分信息如表所示.

（1）中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，请将中国队的总积分填在表格中；

（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分

见表格，求巴西队胜场的场数.

名次球队场次胜场负场总积分

1中国1111032

2美国1110128

3俄罗斯118323

4巴西1121

【考点】一元一次方程的应用：推理与论证.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）依据中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，即可得到中国队的总积分.

（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程,

进而得出x的值.

【解答】解：（1）中国队的总积分=3X10+2=32,

填表如下：

名次球队场次胜场负场总积分

1中国1111032

2美国1110128

3俄罗斯118323

4巴西1121

故答案为：32；

（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为（x-5）场,

依题意可列方程3x+2（x-5）+1=21,

3x+2x-10+1=21,

5x=3O,

x=6,

则积2分取胜的场数为x-5=1,

所以取胜的场数为6+1=7.

答：巴西队取胜的场数为7场.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未

知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答.

25.（2019秋•深水区期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如

果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元.”问：小明今天

计划买多少个纸杯蛋糕？

若设小明今天计划买纸杯蛋糕的总价为x元，请你根据题意完善表格中的信息，并列方

程解答.

单价数量总价

今天12XX

—12—

明天10.8」一24x-24

-10.8—

【考点】一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】根据题意找出等量关系，列出方程即可求出答案.

X%—24

【解答】解：表格由左至右，由上至下分别为：—,10.8,——,x-24,由题意可知I：

1210.8

x-24X

----——=1,

10.812

解得：x=348,

•••今天需要买纸杯蛋糕的数量为348+12=29,

答：小明今天计划买29个纸杯蛋糕，

xx—24

故答案为：一，10.8）-----,x-24,

1210.8

【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基

础题型.

26.（2019秋•漂水区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的

数为-10.点B表示的数为6,点C为线段AB的中点.

（1）数轴上点C表示的数是-2；

（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q

从点5出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为：

秒.

①当t为何值时，点。恰好是尸。的中点；

②当，为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三

等分点（是把一条线段平均分成三等分的点）.（直接写出结果）

'COB—＞【考点】数轴；一元一次方程的应用.

【专题】分类讨论；一次方程（组）及应用.

【分析】（1）计算AB长度，再计算8c可确定C表示数字；

（2）用，表示OP,OQ,根据OP=OQ列方程求解；

（3）分别以尸、Q、C为三等分点，分类讨论.

【解答】解：(1)因为点A表示的数为-10.点8表示的数为6,

所以AB=6-(-10)=16.

因为点C是AB的中点，

所以4c=BC=%B=8

所以点C表示的数为-10+8=-2

故答案为：-2；(2)①设r秒后点O恰好是P0的中点.

由题意，得10-2/=6-t

解得,r=4；

即4秒时，点。恰好是PQ的中点.

②当点C为PQ的三等分点时PC=2QC或QC=2PC,

,:PC=8-2t,QC=8-t,

所以8-2f=2(8-r)或8-r=2(8-2力

解得t=f;

当点P为CQ的三等分点时C>4)PC=2QPQP=2PC

"：PC=2t-8,PQ=\6-3t

.\2r-8=2(16-3?)或16-3z=2⑵-8)

解得f=5或苧；

当点Q为CP的三等分点时PQ=2CQ或QC=2PQ

'：PQ=3t-16,gC=8-t

：.3t-16=2(8-/)或8-f=2(3r-16)

解得t=:或t=竽.

综上，七写5,y,票，T秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段

的三等分点.

Fc-oB―>【点评】本题考查一元一次方程应用，分类讨论

是解答的关键.考点卡片

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.有理数的减法

(1)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：«-b=a+(-h)

(2)方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号(减号变加号)；二是减数

的性质符号(减数变相反数)；

【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.

减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.

3.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

4.科学记数法一表示较大的数(1)科学记数法：把一个大于10的数记成。义10”的形式,

其中«是整数数位只有一位的数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法

形式：aXl(y!,其中lWa<10,〃为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关健，由于10的指数比原来的整数位

数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数〃.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此

法表示，只是前面多一个负号.

5.无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有n的数，如分数m2是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如近，V3,遮等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有7T的绝大部分数，如如.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如代是有理数，而不是

无理数.

6.代数式求值

（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.

（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要

先化简再求值.题型简单总结以下三种：

①已知条件不化简，所给代数式化简；

②已知条件化简，所给代数式不化简；

③己知条件和所给代数式都要化简.

7.去括号与添括号

（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号

相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

（2）去括号规律：①〃+M+c）=a+b+c,括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”

号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c,括号前是“-”号，去括号时

连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号.

说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改

变式子的值.

（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括

号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号.

添括号与去括号可互相检验.

8.整式的加减一化简求值

给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得

出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算.

9.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

10.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于''ox+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即Q+8）

x=c.使方程逐渐转化为奴=b的最简形式体现化归思想.将办=6系数化为1时，要准确

计算，一弄清求x时，方程两边除以的是。还是6,尤其。为分数时；二要准确判断符号,

〃、〃同号X为正，＜2、6异号X为负.

11.一元一次方程的应用

（-）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=§^xl00%）；（4）工程问题（①工作量=

进价

人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作

总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题;

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹！J、解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹IJ：根据等