2021-2022学年河南省开封市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年河南省开封市高一下学期期末数学试题

一、单选题

5

1.复数百的共枕复数是（）

A.-2—iB.—2+iC.2—iD.2+i

C

5

【分析】根据复数的除法求解二，再分析共筑复数即可

2=*）2+i

【详解】2-1（2T）（2+D,其共辅复数为2-i

故选：C

2.已知单位向量£,书的夹角为60。，若9十4）,“，则4=（）

2G2也

A.-2B.3C.3D.2

A

【分析】根据向量垂直数量积为0,结合数量积的公式求解即可

一.一,仿+"）_LaCa+^b\a=a+Aab=0l+—^=0,_

【详解】因为I）,故＜），故2,解得彳=-2

故选：A

3.平面a与平面夕平行的充分条件可以是（）

A.々内有无穷多条直线都与夕平行B.直线aua,直线bu0,且

a//b

C.直线a,a,且D.平面且月

C

【分析】对于A、B、D：均可以得到平面。与平/交或平行，即可判断：对于C：分

充分性和必要性分别讨论.

【详解】对于A：。内有无穷多条直线都与夕平行，则平面a与平〃交或平行.故A错

误；

对于B：直线aua,直线bu0,且a〃夕，则平面a与平夕交或平行,故B错误；

对于C：直线ala,且0上月,由垂直于同一直线的两平面平行，可得：平面a与平面

/平行，反之口〃?，未必能推出直线。且°'夕故平面a与平面尸平行的充分条

件可以是直线a,。，且a，夕故C正确;

对于D：平面/'a,且•6，则平面a与平〃交或平行.故D错误.

故选：C

4.已知U5C是钝角三角形，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若

a=3,6=4,则最大的边c的取值范围是（）

A.c>5B.5<c<7Q5<c<7p亚<cM不

B

【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可

…a2+b2-c2.

cosC=--------------<0,,,

【详解】由题意，2ab,故c->a-+/r=9+16=25,故c>5,又三

角形两边和大于第三边，故c<3+4,故5<c<7

故选：B

5.已知某射击运动员每次中靶的概率都是0.8,现采用随机模拟的方法估计其3次射

击至少2次中靶的概率.先由计算机产生。到9之间的整数随机数，指定

0,1,2,3,4,5,6,7表示中靶，8,9表示未中靶.因为射击3次，所以每3个随

机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：

169986151525271937592408569683

471257333027554488730863537039

据此估计所求概率的值为（）

A.0.8B.0.85C.0.9D.0.95

C

【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率

P的值.

【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：

1691515252719375924085696834712573330275547308635

37039一个有18组，

1O

P=—=0.90

所以其3次射击至少2次击中目标的概率20,

故选：C.

6.某小区从1000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都

在50〜350kW-h之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布

直方图如图所示.则下列论述正确的是（）

A.直方图中x的值为0.0020B.该小区用电量不小于250kWh的一

定有180户

C.估计该小区居民月用电量的众数为225D.估计该小区居民月用电量的85%分位

数为262.5

D

【分析】对A,根据频率分布直方图的面积为1计算即可；

对B,根据抽样与总体之间的关系判断即可；

对C,根据频率分布直方图估计众数判断即可；

对D,根据85%分位数左边的面积为0*5计算即可

【详解】对A,50X(X+°.0036+0.0060+0.0044+X+().0°12)=1,故2X+0.0152=0.02,

解得x=0.0024,故A错误;

对B,因为样本只能估计总体的情况，不能完全确定总体的情况，故B错误：

150+200…

------------=175

对C,估计该小区居民月用电量的众数为2,故C错误；

对D因为50X(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)=0.82<0.85

50x(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)=0.94>0.85

,故估计该小区居民月用电

量的85%分位数在磔°，3°°),设为x,则0・82+(x-250)x0.0024=0.85,解得

x=262.5,故D正确；

故选：D

7.在平面四边形N2CZ)中，E,尸分别为NO,8c的中点，则下列向量与存+反不

相等的是（）

A.2EFB,AC+DBC.EB+ECD.FA+FD

D

【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可

【详解】因为在平面四边形/8CO中，E,尸分别为力。，8c的中点，

AE=ED=-AD,BF=FC=-BC

所以22,

因为方=或+而+而，EF=ED+DC+CF

所以2而=历+况+前+方+而+旃=存+反

所以A正确，

因为DC=DA+AC,AB=AD+DB

^DC+AB^DA+AC+'Ab+DB=AC+DB,所以B正确，

因为DC=DE+EC,AB=AE+EB

所以比+方=瓦+沅+荏+丽=比+而，所以C正确，

因为短+丽=丽+前+斤+丽=瓦5+而=-（方+反），

所以D错误，

故选：D

A

8.抛掷一枚质地均匀的硬币4次，恰好两次正面朝上的概率是（）

A.8B.2C.8D.4

A

【分析】利用列举法求解，先列出抛掷一枚质地均匀的硬币4次的所有情况，然后找

出恰好两次正面朝上的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】若用A表示正面朝上，用B表示反面朝上，则抛掷一枚质地均匀的硬币4次

的所有情况有：(AAAA),(AAAB),(AABA),(AABB),(ABAA),(ABAB),(ABBA),(ABBB),

(BAAA),(BAAB),(BABA),(BABB}(BBAA),(BBAB),(BBBA),(BBBB),共16种情况，

其中恰好两次正面朝上的有6种，

_6=3

所以所求概率为正一区，

故选：A

9.高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、

女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.则下列论述错误的是()

A.若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用

4951

—x170.2+—xl60.8=165.4

100100(cm)来估计总体均值

B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,可以用

—xl70.2+—xl60.8«163.6

100100(cm)来估计总体均值

C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,则总样本的均值为

3070

——xl70.2+—x160.8=163.6

100100(cm)

D.如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差

C

【分析】利用统计的基本思想是由样本估计总体直接判断.

【详解】统计的基本思想是由样本估计总体.

4951

—x170.2+——X160.8=165.4

对于A：由分层抽样的概念可得，样本平均值为100100(cm),

由此可以估计总体平均值约为165.4cm.故A正确；

对于B：由平均数的计算公式可得，样本平均值为

3070

—x170.2+—X160.8«163.6

10。100(cm),由此可以估计总体平均值约为163.6cm.故B正

确；

对于C：与B对照，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而不是确

定的总体平均值.故C错误；

对于D：如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，可以估计出总体的均值和方差，

不能计算出总体的均值和方差.故D正确.

故选：C

10.已知△/8C中，48=30。，AB=4,"°=近，贝ij8C=()

A.6B.2百c.2后或36D.6或36

D

【分析】根据余弦定理求解即可

【详解】由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,所以8c2_468。+9=0,

故依一3Gxsc-石）=0,故8C=6或8c=3百

故选：D

11.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在Z8,CD,EF,GH'这

四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是（）

A.2B.3C.3D.6

A

【分析】画出正方体的直观图，再分析所有的异面直线对，根据古典概型的概率方法

求解即可

【详解】由题意得到如图正方体，在Z8,CD,EF,G”这四条线段中任意选择两条,

所有可能的情况有

（GH,EF）,（GH,CD）,（AB,CD）,（AB,EF）,（4B,EF）,（EF,CD）共$对，其中

异面直线有9"'®（G"W仇8）共3对，故在N8,8,EF,G”这四条线

3_j_

段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是忆一己

J1

E

故选：A

12.已知点P,A,B,C均在同一个球面上，且尸/I平面

ABC,ACLBC,AB=AP=2,则该球的表面积为（）

A.%B.6兀C.D.16万

C

【分析】将三棱锥P-Z8C补形成如图所示的长方体，再利用长方体外接球性质求

解.

【详解】解：在三棱锥尸一"BC中，平面力8C,ACLBC,故可将三棱锥

P-ABC补形成如图所示的长方体.

若P,A,B,C为球°的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球。的球面

上.

设球。的半径为R,则该长方体的体对角线长为2R,即2R=J&'+4炉=2五,

从而球的表面积$==双2而=8万，

故选：C.

二、填空题

13.已知2i-3是关于X的方程/+px+q=°的一个根，其中p,qeR,则

p+q=-

19

【分析】由题意可得方程v+px+q=°的另一个根为2i+3,然后利用根与系数的关系

可求出的值，从而可求出P+4

【详解】因为2i-3是关于X的方程x2+px+q=°的一个根，

所以-2J3是方程/+px+q=O的另一个根，

]72i-3)+(-2i-3)=-pjp=6

所以i⑵-3)(-2i-3)=q,解得5=13,

所以P+g=i9,

故19

14.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为

百出w

--7T----

33

【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半

径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可

【详解】•••圆锥的底面半径为1,••・侧面展开图的弧长为2万，

又••・侧面展开图是半圆，.•・侧面展开图的半径为2,即圆锥的母线长为2,故圆锥的高为

㈢―7/rV=—^r-12-A/3

21=6故体积33

粗

——n

故3

15.如图，测量电视塔的高度时，考虑电视塔四周建筑物密集，测量人员选取与

电视塔底，在同一水平面内的两个测量基点8与C,使4，B,C三点在同一条直线

上.在8,C两点用测角仪测得/的仰角分别是45。，30°,8c=200m,测角仪的高是

1.5m,贝m.（精确到0.1m,G"L7321）

【分析】设“Q=x，利用正弦定理求出x即得解.

【详解】解：设=如图，//应＞=45，乙4尸£=30,£/=20°

所以4£4尸=15°,AE=42x,

叵x200.,./gic。、屈-五

-----=------,sin15=sin(45-30)=-------

由正弦定理得sm30sml54,

41x200200

«273.186

1-V6-V273-1

所以2一厂

所以AH»273.186+1.5®274.7

故274.7

三、双空题

16.如图，A,8是上两点，若弦48的长度为2,则”8/C=,若向量

—--AC—

Z8在向量4C上的投影向量为2,则与4C的夹角为.

【分析】（1）根据数量积的公式求解即可;

（2）根据投影向量的公式求解即可

［羊解］方•就=1在H就卜os/G48=|在卜J在卜万1=2

方.元AC_3-

"FT，故网cosNC”=|呵故

cos/OB.q又加就=2,故国碎。sNCB=2,即2.阿斗C卜2,

解得同空cos"葭巫=2

~r故432,所以/。8=30。

四、解答题

17.在复平面内，。是原点，复数2-i、3-4i对应的向量分别是近、丽.

⑴求向量方对应的复数：

⑵求向量方、丽夹角的余弦值.

⑴1-支

2石

⑵可

【分析】(1)利用复数的几何意义可得出向量力、砺的坐标，求出向量您的坐标,

即可得出向量而对应的复数；

(2)利用平面向量数量积的坐标运算可求得向量方、砺夹角的余弦值.

【详解】⑴解：由复数的几何意义可得。"=("),08=(3，-4),则

'AB=OB-OA=(\,-i)

f

所以，向量方对应的复数为1-3i.

万)》OAOB102后

cos<OA,OB>=|_口_|=-p-=-----

(2)解：由平面向量数量积的坐标运算可得回憎"x55.

18.如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效且甲、乙

能否正常工作互不影响.设事件N="甲元件正常"，8="乙元件正常”.

E}

(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;

(2)用集合的形式表示事件“U8,AnB,并说明它们的含义及关系;

P(A\JB)=-

⑶某同学求得4请判断该同学所得概率是否一定正确？并依据你的判断给

出理由.

⑴C={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

(2)答案见解析

(3)不一定正确，理由见解析；

【分析】(1)用1表示元件正常，°表示元件失效，即可列出样本空间；

(2)由(1)可得“U3,Ar>B,即可判断其一一，再根据对立事件的概念判断即可;

(3)举出合适的反例即可；

【详解】(1)解：用1表示元件正常，°表示元件失效，

则样本空间QMKO,OXO'I),。'。)'。」)}

⑵解：/U8={(O,I),(I,O),(I,I)},7r1孤{(0,0)},

ZU8表示电路正常工作，Nc豆表示电路工作不正常,

所以4U8和Nc万互为对立事件;

P(A}=P(B')=-

(3)解：不一定正确，当''4时,

7

产(/U3)=l—尸1--X1——

则16

19.已知ANBC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量加=@四),

〃=(cos4sin8),且£/不

(1)求角A；

(2)若。=2,A/8C的面积为g,求6、c.

兀

A=

(1)

(2)6=c=2

【分析】(1)利用平面向量共线的坐标表示以及正弦定理化筒可得tan”的值，结合角

A的取值范围可求得角A的值;

(2)利用余弦定理结合三角形的面积公式可得出关于.、。的方程组，即可解得以

。的值.

【详解】⑴解：因为靛不，则asin8=®c°sN,由正弦定理可得

sin4sin8=V5sinBcosA,

A=Z

•・•4、B£电冗),sin5>0,Geos4=sin4>0,「.tan4=G,故3

(2)解：由余弦定理可得2bccosZ,即一儿=4,①

SERC=—pcsinA=—be=v3

由三角形的面积公式可得24,可得加=4,@

联立①②可得6=c=2.

20.如图，在正三棱柱/8C-4及G中，P为48的中点，。为棱CG的中点.

⑴求证：平面N8C；

Q）若AA=6AB=6,求三棱锥2-/网的体积.

（1）证明见解析；

]_

⑵4

【分析】（1）设M是的中点，连接PM、CM,先证明出P0IICM,利用线面平行的

判定定理可以证明尸0||平面N8C

V

（2）利用等体积转化法，=C-ABAt=%*BC即可求解.

【详解】（1）设/是N2的中点，连接PM、CM.

PM=-AAt

在△4中，尸、M是小8、ZB的中点，「2.

QC=-AA,

又。。|/小，2,所以尸M|℃,PM=0C,所以四边形尸QCW是平行四边形，

所以PQICM,平面/8C,C/0u平面月8C,

所以P0I平面ABC.

⑵在正三棱柱"BC-44G中，c°||平面"84.

所以%-AB&=^C-ABA,=

一正

厂厂CM=JCB'-BM2=

因为,所以“5=1,所以一2

s3八或立

所以224

V=-xS

AABCABCX.AA1^-X—XS/3=-

所以4加3皿344

1_

即三棱锥°一,84的体积为W.

21.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臊.如图，已知刃_1_平

面"C,平面尸N8JL平面尸8c.

(1)判断四面体P-/18C是否为鳖席，并给出证明;

71

(2)若二面角B-AP-C与二面角A-BC-P的大小都是了，求/C与平面BCP所成角

的大小.

(1)四面体尸一48。为鳖腌，证明见解析

71

【分析】（1）作/。，尸3交P5于。，根据面面垂直的性质可得力。，平面P3C,再

根据线面垂直的性质与判定证明2cL平面P48,从而证明四面体P-/8C四个面都

为直角三角形即可；

（2）由（1）连接CD,根据线面垂直的性质可得/C与平面8cp所成角为48,

再求解sinNZCD,从而得到2CD即可

【详解】（1）作交PB于。，因为P/1平面48C,8Cu平面1go,故

P/'BC.又平面481平面尸8C,且平面总8八平面尸8c=尸8,故40,平面P8C,

又8Cu平面P8C,故4DJ.5C,又ADcPA=A,ZRP/u平面尸月5,故8cd.平面

P4B,故8C，8P,8C_L8Z又平面.Be,故尸/，/反尸4，/C,故四面体

P—N8C所有面都为直角三角形，故四面体P-/8C为鳖席

（2）由（1）,连接8,二面角8一/P-C的平面角为N8NC,二面角/一8。一2的平面

冗

NBAC=N4BP=—℃…八

角为N48P,故4,故△历ICCNBP均为等腰直角三角形设

AB=BC=4P=1,则ZC=8P=&,CP=6.又4）_L平面P8C,故/C与平面BC尸

立

sinZACD===Z.ACD=—

所成角为NZCO,又