离散数学代数

离散数学代数第一页，共九十九页，2022年，8月28日二元运算及其性质定义(P222定义15.1)设A为集合，函数f：A×A→A

称为A上的二元运算。例

f:N×N→N，f(<x,y>)＝x+y

f:N×N→N，f(<x,y>)＝x–y定义(定义15.2)设A为集合，函数f：An→A

称为A上的n元运算。

第二页，共九十九页，2022年，8月28日

二元运算的运算表anan

…

ana2

ana1

an……………a2an

…

a2a2

a2a1

a2a1an

…

a1a2

a1a1

a1an…

a2a1

二元运算的表示第三页，共九十九页，2022年，8月28日例

设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表，其中全集为S。

的运算表{1}{2}{1,2}{1,2}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{1}

{1,2}{2}{1}~的运算表{1,2}{1}{2}{2}{1}{1,2}~

ai

ai例第四页，共九十九页，2022年，8月28日例

设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下：

x

y＝(xy)mod5，x,y∈S 求运算的运算表。例123411234224133314244321第五页，共九十九页，2022年，8月28日定义

设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。定义

设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有(xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。(P223定义15.3)二元运算的性质第六页，共九十九页，2022年，8月28日定义

设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算的幂等元。(P223定义15.3)二元运算的性质第七页，共九十九页，2022年，8月28日例题集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法P(B)并∪交∩相对补对称差AA函数复合第八页，共九十九页，2022年，8月28日例题集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并∪交∩对称差有有有有有有有有无AA函数复合无有无第九页，共九十九页，2022年，8月28日定义

设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有

x(yz)＝(xy)(xz) （左分配律）

(yz)x＝(yx)(zx) （右分配律）则称运算对运算满足分配律。 P224 定义15.5定义

设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y∈S，都有

x(xy)＝x

x(xy)＝x则称运算和满足吸收律。二元运算的性质第十页，共九十九页，2022年，8月28日

集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并∪与交∩

∪对∩可分配∩对∪可分配有交∩与对称差

∩对可分配无例题第十一页，共九十九页，2022年，8月28日定义

设为S上的二元运算，如果存在元素el（或er）S，使得对任意x∈S都有 elx=x(或xer=x) 则称el(或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 (P224-225定义15.6)若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。二元运算中的特异元素—单位元第十二页，共九十九页，2022年，8月28日二元运算中的特异元素—零元定义

设为S上的二元运算，如果存在元素θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有 θlx=θl(或xθr=θr)，则称θl(或θr)是S上关于运算的左零元(或右零元)。若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算的零元。

P225定义15.6第十三页，共九十九页，2022年，8月28日二元运算中的特异元素—逆元定义

设为S上的二元运算，eS为运算的单位元，对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

ylx＝e（或xyr＝e）则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。

P225定义15.7第十四页，共九十九页，2022年，8月28日特异元素的实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法普通乘法Mn(R)矩阵加法矩阵乘法P(B)并∪交∩第十五页，共九十九页，2022年，8月28日特异元素的实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法普通乘法01无0x的逆元xx的逆元x1Mn(R)矩阵加法矩阵乘法n阶全0矩阵n阶单位矩阵无n阶全0矩阵x逆元xx的逆元x1（x可逆）P(B)并∪交∩BB的逆元为B的逆元为B第十六页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理设为S上的二元运算，el、er分别为运算的左单位元和右单位元，则有 el=er=e

且e为S上关于运算的唯一的单位元。P225定理15.2第十七页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理

设为S上的二元运算，l和r分别为运算的左零元和右零元，则有

l=r=

且为S上关于运算的唯一的零元。P225定理15.3第十八页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理

设为S上的二元运算，e和分别为运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e。P225定理15.4第十九页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理

设为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有 yl

=yr=y且y是x的唯一的逆元。 P226定理15.5第二十页，共九十九页，2022年，8月28日消去律定义

设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，满足以下条件：（1）若xy＝xz且x，则y

＝z（左消去律）（2）若yx

＝

zx且x，则y＝z（右消去律）则称运算满足消去律。(P226定义15.8)例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。第二十一页，共九十九页，2022年，8月28日例例

设A={a,b,c}，A上的二元运算、、如表所示。(1)说明、、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于、、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。abcaabcbbcaccababcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc第二十二页，共九十九页，2022年，8月28日代数系统

定义

非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做<S,f1,f2,…,fk>。(P227定义15.9上一行)例：<N,＋>、<Z,＋,>、<R,＋,>都是代数系统，其中+和分别表示普通加法和乘法。

Zn＝{0,1,2,…,n-1}<Zn,,>是代数系统，其中

和分别表示模n的加法和乘法。

第二十三页，共九十九页，2022年，8月28日定义设V＝<S,f1,f2,…,fk>是代数系统，BS，如果B对f1,f2,…,fk

都是封闭的，则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统，简称子代数。(P228定义15.11)例如：N是<Z,＋>的子代数。子代数

第二十四页，共九十九页，2022年，8月28日第十六章半群第二十五页，共九十九页，2022年，8月28日半群与独异点定义

(1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。(2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点（monoid）。(P240定义16.1)第二十六页，共九十九页，2022年，8月28日半群与独异点的实例<Z+,+>，<N,+>，<Z,+>，<Q,+>，<R,+>都是半群,+是普通加法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。<Zn,>为半群,也是独异点,其中

Zn＝{0,1,…,n-1},为模n加法。<AA,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算。第二十七页，共九十九页，2022年，8月28日第十七章群第二十八页，共九十九页，2022年，8月28日群的定义定义设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。(P249定义17.1)例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？<Zn,>是群?第二十九页，共九十九页，2022年，8月28日Klein四元群设G＝{a,b,c,e}，为G上的二元运算，见下表。eabceeabcaaecbbbceaccbaeG是一个群： (P249)e为G中的单位元；运算是可结合的；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元群。第三十页，共九十九页，2022年，8月28日群的定义例

某二进制码的码字x=x1x2...x7，其中前4位为数据位，后3位是校验位，满足：

x5=x1x2x3,x6=x1x2x4,x7=x1x3x4G是所有码字的集合，定义G上的运算*：

x*y=z1z2...z7，zi=xiyi则<G,*>是群。

另外，所有长度为7位的二进制数全体关于构成群，也称为{0,1}上的n维线性空间。第三十一页，共九十九页，2022年，8月28日群论中常用的概念或术语定义(P250定义17.217.3)(1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。(2)只含单位元的群称为平凡群。(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群。第三十二页，共九十九页，2022年，8月28日群中元素的n次幂定义

设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂P250定义17.4第三十三页，共九十九页，2022年，8月28日群中元素的阶定义

设G是群，a∈G，使得等式ak＝e成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称a为k阶元。

若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。例在<Z6,>中在<Z,+>中 (P250定义17.5)第三十四页，共九十九页，2022年，8月28日群的性质—群的幂运算规则

定理(P250定理17.2)

设G为群,则G中的幂运算满足：(1)a∈G,(a-1)-1＝a。(2)a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。(3)a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。(4)a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。(5)若G为交换群，则(ab)n＝anbn。第三十五页，共九十九页，2022年，8月28日消去律

定理(P251定理17.5)G为群,则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)若ab＝ac，则b＝c。(2)若ba＝ca，则b＝c。第三十六页，共九十九页，2022年，8月28日群中元素的阶的性质定理G为群，a∈G且|a|＝r。设k是整数,则

(1)ak＝e当且仅当r|k (2)|a|＝|a-1| (P251定理17.8)例

设G是群，若x∈G(x2=e),则G是交换群。第三十七页，共九十九页，2022年，8月28日子群的定义定义(P253定义17.6)

设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记作H≤G。 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H＜G。G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群

。例：

nZ（n是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群。当n≠1时,nZ是Z的真子群。第三十八页，共九十九页，2022年，8月28日子群的判定定理一定理（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当下面的条件成立：

(1)a,b∈H，有ab∈H。

(2)a∈H，有a-1∈H。

P253定理17.9定理（判定定理二）设G为群，H是G的非空子集。

H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab-1∈H。 定理17.10第三十九页，共九十九页，2022年，8月28日子群的判定定理三定理(判定定理三)

设G为群，H是G的非空子集。如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab∈H。

P254定理17.11例

设G为群，a∈G，令H＝{ak|k∈Z}，即a的所有的幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作<a>。第四十页，共九十九页，2022年，8月28日子群实例—中心例

设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即

C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)}

则C是G的子群，称为G的中心。对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心…但是对某些非交换群G，它的中心是{e}。第四十一页，共九十九页，2022年，8月28日例例(作业)

设H是群G的子群,x∈G,证明：

xHx-1={xhx-1|h∈H}是G的子群,称为H的共轭子群。例(作业)

设G是群，H,K是G的子群。证明(1)H∩K也是G的子群。(2)H∪K是G的子群当且仅当HK或KH。第四十二页，共九十九页，2022年，8月28日循环群的定义定义

设G是群，若存在a∈G使得

G＝{ak|k∈Z}

则称G是循环群，记作G＝<a>，称a为G的生成元。(P255定义17.8)例：对于任何群G，由G中元素a生成的子群<a>是循环群。例： 任何素数阶的群都是循环群。第四十三页，共九十九页，2022年，8月28日循环群的分类循环群G＝<a>，根据生成元a的阶分成两类：（1） 若a是n阶元，则

G＝{a0＝e,a1,a2,…,an-1}

那么|G|＝n，称G为n阶(有限)循环群。（2） 若a是无限阶元,则

G＝{a0＝e,a±1,a±2,…}

这时称G为无限循环群。 (P255)第四十四页，共九十九页，2022年，8月28日循环群的生成元求法定理(P255定理17.12)设G＝<a>是循环群。(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1。(2)若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元。 对于任何小于等于n且与n互质的正整数r，ar是G的生成元。(n)：欧拉函数。对于任何正整数n，(n)是小于等于n且与n互质的正整数个数。例如：n＝12，小于或等于12且与12互质的数有4个：1,5,7,11，所以(12)＝4。第四十五页，共九十九页，2022年，8月28日循环群的子群求法定理(P256定理17.13)(1)设G＝<a>是循环群，则G的子群仍是循环群。(2)若G＝<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群。(3)若G＝<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群。第四十六页，共九十九页，2022年，8月28日定理说明求循环群的所有子群的方法:如果G＝<a>是无限循环群，那么<am>是G的子群，其中m是自然数，并且容易证明对于不同的自然数m和t，<am>和<at>是不同的子群。如果G＝<a>是n阶循环群，先求出n的所有的正因子。对于每个正因子d，H＝<an\d>是G的唯一的d阶子群。G＝<Z,+>是无限循环群，其生成元为1和-1。G＝Z12是12阶循环群。第四十七页，共九十九页，2022年，8月28日例例

设G1是整数加群，G1是模12加群，分别求出所有子群。第四十八页，共九十九页，2022年，8月28日n元置换及其表示定义(P258)设S＝{1,2,…,n}，S上的任何双射函数σ：S→S称为S上的n元置换。定义(257定义17.10)设σ,τ是n元置换，则σ和τ的(右)复合στ也是n元置换，称为σ与τ的乘积，记作στ。第四十九页，共九十九页，2022年，8月28日n元置换的分解式k阶轮换与轮换分解方法

定义

设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换。

若σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1

且保持S中的其他元素不变,则称σ为S上的k阶轮换,记作(i1i2…ik).

若k=2,这是也称σ为S上的对换。

P258定义11.11第五十页，共九十九页，2022年，8月28日n元置换的分解式两个轮换作用于不同的元素上，称他们是不相交的。(定义17.12)定理：设σ和τ是不交的n元置换，则στ=τσ(P259定理17.15)定理：任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。 (P259定理17.16)第五十一页，共九十九页，2022年，8月28日n元置换的分解式例：将它们表示成不交的轮换之积第五十二页，共九十九页，2022年，8月28日对换与对换分解方法设S={1,2,…,n},σ=(i1i2…ik)是S上的k阶轮换,那么σ可以进一步表成对换之积,即(i1i2…ik)=(i1ik)…(i1i3)

(i1i2)

回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置换都可以表成对换之积。第五十三页，共九十九页，2022年，8月28日对换分解式的特征尽管n元置换的对换表示式是不唯一的,但可以证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的。例如上面的4元置换σ只能表示成偶数个对换之积,而4元置换τ=（1234）只能表示成奇数个对换之积。如果n元置换σ可以表示成奇数个对换之积,则称σ为奇置换,否则称为偶置换,不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个。 P262定义17.15

第五十四页，共九十九页，2022年，8月28日置换群定理：设1,2…r是互不相交的轮换，长度分别为L1,L2…Lr，如果=12…r且L1,L2…Lr的最小公倍数为k,则的阶为k。定理：任何轮换可以表示为对换的乘积,且对换个数的奇偶性不变。偶置换：如果置换f可以表示为偶数个对换的乘积，则称f是偶置换，否则称f是奇置换。第五十五页，共九十九页，2022年，8月28日n元置换群及其实例考虑所有的n元置换构成的集合Sn.任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,Sn关于置换的乘法是封闭的。置换的乘法满足结合律。恒等置换(1)是Sn中的单位元。对于任何n元置换σ∈Sn,逆置换σ-1是σ

的逆元。这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群,称为n元对称群。P258例17.18第五十六页，共九十九页，2022年，8月28日例设S={1,2,3},则3元对称群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

运算表如表10.5所示。(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)第五十七页，共九十九页，2022年，8月28日着色问题（Polya定理）例：使用黑白两色对2×2的4个方格进行着色，问有多少种不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）1243第五十八页，共九十九页，2022年，8月28日着色问题（Polya定理）定理（Polya）设N={1,2,...n}是被着色物体的集合，G={1,2...g}是N上的置换群。用m种颜色对N中的元素进行着色，则在G的作用下不同的着色方案数为（其中c(k)是置换k的轮换表达式中包含1-轮换在内的轮换个数）第五十九页，共九十九页，2022年，8月28日着色问题（Polya定理）例：使用黑白两色对2×2的4个方格进行着色，问有多少种不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）2×2的4个方格所有（旋转）置换有4种：

(1)(2)(3)(4)、（1234）、（13)(24)、（1432）

M=（24+21+22+21）/41243第六十页，共九十九页，2022年，8月28日陪集定义(P263定义17.16)

设H是G的子群，a∈G。令

Ha＝{ha|h∈H}

称Ha是子群H在G中的右陪集(rightcoset)。称a为Ha的代表元素。第六十一页，共九十九页，2022年，8月28日陪集的基本性质定理

设H是群G的子群，则

(1)He＝H。

(2)a∈G有a∈Ha。P263定理17.20定理

设H是群G的子群，则

a∈G，Ha≈HP263定理17.21第六十二页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理

设H是群G的子群，则a,b∈G有

a∈HbHa＝Hbab-1∈H(P263定理17.22)第六十三页，共九十九页，2022年，8月28日定理定理

设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G，

<a,b>∈Rab-1∈H

则R是G上的等价关系，且[a]R＝Ha。(P264定理17.23)第六十四页，共九十九页，2022年，8月28日推论推论设H是群G的子群，则

(1)任取a,b∈G，Ha＝Hb或Ha∩Hb＝

(2)∪{Ha|a∈G}＝G(P264定理17.24)重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的集合{Ha|a∈G}恰好构成G的一个划分。第六十五页，共九十九页，2022年，8月28日左陪集P264例17.26H的右陪集定义，即Ha＝{ha|h∈H}，a∈G右陪集的性质：1.He＝H2.a∈G，a∈Ha3.a,b∈G，a∈Hb

ab-1∈HHa＝Hb4.若在G上定义二元关系R，

a,b∈G,<a,b>∈Rab-1∈H

则R是G上的等价关系， 且[a]R＝Ha。5.a∈G，H≈Ha。H的左陪集定义，即

aH＝{ah|h∈H}，a∈G左陪集的性质：1.eH＝H2.a∈G，a∈aH3.a,b∈G，a∈bHb-1a∈H aH＝bH4.若在G上定义二元关系R，

a,b∈G,<a,b>∈Rb-1a∈H

则R是G上的等价关系， 且[a]R＝aH。5.a∈G，H≈aH。第六十六页，共九十九页，2022年，8月28日关于陪集的进一步说明右陪集和左陪集之间一一对应。不区分H的右陪集数和左陪集数，统称为H在G中的陪集数，也叫做H在G中的指数，记作[G:H]。(P265定义17.17)拉格朗日定理:定理

设G是有限群，H是G的子群，则|G|＝[G:H]·|H|(定理17.26)推论

设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an＝e。第六十七页，共九十九页，2022年，8月28日拉格朗日定理的推论2推论

素数阶群都是循环群。(P265推论2)命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群。例

证明6阶群中必含有3阶元。例

证明阶小于6的群都是阿贝尔群。例6阶群在同构意义下只有2个。第六十八页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群的定义及实例定义

设H是群G的子群。如果a∈G都有Ha＝aH,则称H是G的正规子群或不变子群。记H≤G。(P269定义17.21)注意由aH＝Ha可否推出h∈H(ah＝ha)？对h∈H，存在h’∈H，使ah＝h’a。第六十九页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群的判定定理定理

设N≤G,以下条件等价(P269定理17.32)N≤G。对任意gG,gNg-1=N。对任意gG,gNg-1N。对任意gG,nN,gng-1N。第七十页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群的判定定理例

设H是群G的子群，|H|=n，若H是G的唯一的n阶子群，则H是G的正规子群。(P270)例

设H是群G的子群，若[G:H]＝2，则H是G的正规子群。第七十一页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群和商群定义：G是群，AG，BG，称

AB＝{ab|a∈A,b∈B}为A与B的乘积。

并将A{b}简记为Ab。 (P270)定理：上述乘积运算满足结合律。定理（17.46部分）：G是群，若N≤G且K≤G，则N∩K≤K，NK≤G,N≤NK若N≤G且K≤G，则NK≤G。第七十二页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群和商群定理：H≤G,令G/H={Ha|a∈G},则G/H关于陪集的乘法构成群，称之为G关于H的商群。(P270定义17.22)封闭性：HaHb=HHab=Hab结合律：(HaHb)Hc=HHabHc=HHaHbc=HHHabc

Ha(HbHc)=HaHHbc=HHHabc单位元：HeHa=HHea=Ha

HaHe=HHae=Ha逆元：Ha(Ha-1)=HHaa-1=He

(Ha-1)Ha=HHa-1a=He第七十三页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群和商群

第七十四页，共九十九页，2022年，8月28日群的同态映射定义

设G1,G2是群，f：G1→G2，若任意x,y∈G1都有 f(xy)＝f(x)f(y)

则称f是群G1到G2的同态映射，简称同态。(P272定义17.23)第七十五页，共九十九页，2022年，8月28日同态映射的实例（续）例V1=<Z,+>，V2=<Zn,>,

Zn={0,1,…,n-1},是模n加.则V1与V2同态。令f：Z→Zn，f(x)=(x)modn

则x,y∈Z有

f(x+y)=(x+y)modn

=(x)modn(y)modn

=f(x)f(y)

第七十六页，共九十九页，2022年，8月28日例设V1=<R,+>,V2=<R*,>，其中

R*=R{0}，则V1与V2同态。同态映射的实例（续）令

f

：RR*,f(x)=ex

则x,yR有

f(x+y)=ex+y

=exey

=f(x)f(y).

f是同态.第七十七页，共九十九页，2022年，8月28日同态的分类定义

设：G1→G2是群G1到G2的同态。(1)若：G1→G2是满射的，则称为满同态，这时也称G2是G1的同态像，记作。(2)若：G1→G2是单射的，则称为单同态。(3)若：G1→G2是双射的，则称为同构，记作G1≌G2。(P272例17.39上三行)(4)若G1＝G2，则称是群G的自同态。(P276定义17.25)第七十八页，共九十九页，2022年，8月28日同态的分类定理

设是群G1到G2的同态映射，e1和e2分别为G1和G2的单位元，则

(1)(e1)＝e2 (2)(a-1)＝(a)-1，a∈G1说明：同态映射保持元素的对应性。(P272定义17.23下方)第七十九页，共九十九页，2022年，8月28日例设V=<Z,+>，aZ，令

fa：ZZ，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.同态映射的实例因为x,yZ，有

fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当a=0时称f0为零同态；当a=1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.第八十页，共九十九页，2022年，8月28日例

设G1=<Q*,>,G2=<Q,+>，其中

Q*=Q{0}，则不存在G1到G2的同构。同态映射的实例（续）证明假设是G1到G2的同构，那么有

：G1→G2,(1)＝0于是有 (-1)＋(-1)

＝((-1)(-1))

＝(1)

＝0

从而得(-1)＝0，这与的单射性矛盾。

第八十一页，共九十九页，2022年，8月28日同态映射的性质定理(Cayley)G是群，a∈G,定义fa:GG,

对x∈G,fa(x)=ax。令H={fa|a∈G}，则H关于映射的复合运算构成群。G≌H。 (P272底)例Z3中，f0=(0)(1)(2),f1=(012),f2=(021),则

<{f0,f1,f2},o>≌<Z3,+3>第八十二页，共九十九页，2022年，8月28日同态的核定义17.41

设是群G1到G2的同态，令

ker＝{x|x∈G1∧(x)＝e2}

其中e2为G2的单位元。称ker为同态的核。P(273定理17.24)例：

：Z→Zn,(x)＝xmodn，

ker＝？

：<R,+>→<R*,>,(x)＝ex，ker＝?

：G1→G2，(a)＝e2，a∈G1，是零同态，ker＝?第八十三页，共九十九页，2022年，8月28日有关同态核的性质例

设G是群，H是G的正规子群。令

g：G→G/H,

g(a)＝Ha，a∈G

则g是G到G/H的同态。称g为自然同态。Kerg=?(P273例17.41(2))定理17.33

设是群G1到G2的同态，则是单同态

当且仅当ker＝{e1}，其中e1为G1的单位元。(P273定理17.33)第八十四页，共九十九页，2022年，8月28日同态映射的性质定理17.34

设是群G1到G2的满同态，若G1是循环群，则G2也是循环群。(P273定理17.34)定理17.35

设是群G1到G2的同态，H是G1的子群，则 (P273定理17.35)(1)(H)是G2的子群。(2)若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群。第八十五页，共九十九页，2022年，8月28日有关同态核的性质定理17.36(P274)设是群G1到G2的同态，则(1)ker是G1的正规子群。(2)a,b∈G1,(a)=(b)当且仅当

a和b关于ker的右陪集相等。第八十六页，共九十九页，2022年，8月28日同态基本定理定理17.37(P274)设G是群，H是G的正规子群，则G/H是G的同态像。反之，若G′是G在下的同态像，则G/ker

≌G′。定理17.43(P275)设是群G1到G2的同态，若G1的正规子群只有{e}和G1本身（称为单群），则为单同态或零同态。定理17.44(P275)设G1和G2分别是p,n阶循环群，则G2是G1的同态像当且仅当n|p。第八十七页，共九十九页，2022年，8月28日正规子群和商群定理17.46：G是群，若NG且K≤G，则N∩KK,N∩KG,NK≤G,NNK若NG且KG，则NKG。(前面已证）若NG且K≤G，则NK/N≌K/(N∩K) (P275例17.46)定理17.47：G是群，HG,KG,HK,则G/K≌(G/H)/(K/H) (P276例17.47)第八十八页，共九十九页，2022年，8月28日第十八章环与域第八十九页，共九十九页，2022年，8月28日环的定义定义

设<R,+,·>是代数系统,+和·是二元运算。 如果满足以下条件：

(1)<R,+>构成交换群。

(2)<R,·>构成半群。

(3)·运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,·>是一个环(ring)。 通常称+运算为环中的加法，·

运算为环中的乘法。(P285例18.1)第九十页，共九十九页，2022年