空间观念学习材料与教学

空间观念学习材料与教学第一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

10大核心素养数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力应用意识创新意识模型思想第二页，共一百三十一页，2022年，8月28日第三页，共一百三十一页，2022年，8月28日空间观念根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。第四页，共一百三十一页，2022年，8月28日空间观念部分综述传统三大能力之一：空间想象能力；空间观念与空间想象力的关系？空间想象能力是对几何表象加工改造，创造新的形象。对学生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。（曹才翰）第五页，共一百三十一页，2022年，8月28日空间观念能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。备注：“义务教育数学课程标准”（实验稿），北京师范大学出版社。第六页，共一百三十一页，2022年，8月28日形成空间观念需要基本内容与专项材料（1）图形的认识；（2）图形的测量：（3）图形的运动变换；（4）图形的方位：（1）图形的转换；（2）图形的分解；（3）图形的组合；（4）图形的辨认；（5）图形的概括；（6）图形的推理；（7）图形计数；（8）多连块拼图；（9）找隐蔽图形；(10)图形的展开和折叠；（张天孝，2012）原来8项，单列2项第七页，共一百三十一页，2022年，8月28日教学的过程，就像是带着孩子爬楼梯的过程，只要有合适的阶梯，学生终究是会到达终点的。观念的形成需要合适的序列第八页，共一百三十一页，2022年，8月28日知识的序列编排就像人体基因排序一样具有攻坚意义。我们坚信每一个孩子都会进步，只是需要寻找适合他的学习材料。不是零散的“拼盘”，是整体的“金字塔”。

课程不是拼盘，是金字塔第九页，共一百三十一页，2022年，8月28日重视不同的转换：不同图形之间的转换不同维度之间的转换1第十页，共一百三十一页，2022年，8月28日生活的经验第十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日用长方形折出正方形，用正方形剪出一样大的三角形等。图形之间的转换第十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形之间的转换平面图形之间的转换。转换：图形特征的再巩固。第十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日来源：人教版配套五年级暑假作业思考题：一个梯形，如果上底增加4cm，就变成一个平行四边形；如果上底减少3cm，就成了一个三角形，这时面积比原来减少了7.5平方厘米。原来这个梯形的面积是多少平方厘米？能力培养：不为考试，赢在考试。第十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的分解：添上一条线，变成了什么图形？第十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形面积的推导。第十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日S＝c×r÷2S＝（a＋b）h÷2S＝ah÷2S＝ahS＝ab圆形梯形三角形平行四边形长方形图形的概括：面积公式的概括第十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的组合：第十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的组合：第十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日英国：数学大师俱乐部第二十页，共一百三十一页，2022年，8月28日数图形下面图形中有多少个三角形？下面图形中有多少个平行四边形？下面图形中有多少个梯形？下面图形中有多少种图形，每种图形各有多少个？（1982年，张德琇）第二十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日补充与分享

BUCHONGYUFENXIANG关于图形之间的转换，您是否想起了相关的案例？第二十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日从实物到图形是抽象从图形到实物要想象不同维度之间的转换第二十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日生活的经验拍照：从三维到二维，从立体到平面。第二十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形之间的转换一维、二维和三维之间的转换。第二十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日先在方格纸上画上一条线段AB。准备画出到直线AB的距离等于2厘米的点。时间只有30秒，先想好，再一起开始。准备好了吗？挑战题。动手画一画，看谁画的点子多。如果到一个点距离等于2厘米的点呢？第二十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日

一条线段长5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒钟后，线段扫过的部分的面积是多少？一维和二维之间的转换第二十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日在下列图形中，哪两条线段是相互平行的？哪两条线段是相互垂直的？七巧板长方体二维和三维之间的转换梯形第二十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日观察小棒猜三角形161210根据插在长方形袋子里的三根小棒，猜围成的三角形。能围成几个不同的三角形？8第二十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日观察小棒猜三角形1616？根据插在长方形袋子里的三根小棒，猜围成的三角形。68第三十页，共一百三十一页，2022年，8月28日观察小棒猜三角形168？根据插在长方形袋子里的三根小棒，猜围成的三角形。6？怎样能围成三角形呢？8第三十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日你想到了怎样的长方形168第三十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日你想到了怎样的长方形168第三十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日你想到了怎样的长方形168第三十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日你想到了怎样的长方形16第三十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个长方体礼盒装得多？1单位：cm1088610610810686序号1长宽高体积1086480第三十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个长方体礼盒装得多？2单位：cm序号2长

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20105100020101052010105第三十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日158哪个长方体礼盒装得多？3单位：cm155序号3长

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1585600第三十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个长方体礼盒装得多？4单位：cm815815序号4长

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158？第三十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日二维和三维之间的转换有一个三条边分别为6cm、8cm、10cm的直角三角形，沿着其中一条边所在直线旋转，形成的立体图形的体积是多少？第四十页，共一百三十一页，2022年，8月28日二维和三维之间的转换有一个长为6cm、宽为4cm的长方形，沿对角线分成了图形A、图形B，哪个大？如果整个图形沿着宽边所在直线旋转，图形A、图形B旋转而成的立体图形体积哪个大？AB第四十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

碾路机；

二维和三维之间的转换游泳池；第四十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日

有一个长方体木块，长10cm宽8cm高6cm，随意的丢在地上，朝上的那个面的面积是多少？如果是一个棱长6厘米的正方体呢？

二维和三维之间的转换第四十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距离相等?二维和三维之间的转换第四十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI学习开始的地方不一定在课堂？重视日常生活中图形与图形之间的转换，这些基本的活动经验积累为学校课堂数学学习是奠定基础。转换并不一定是在一个维度上？一维、二维和三维之间的相互转换，恰是发展学生空间观念的有益举措。第四十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日补充与分享

BUCHONGYUFENXIANG关于不同维度之间的转换，您是否想起了相关的案例？第四十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日倡导不同的操作：除了动脑想，还要动手做，动口说，动笔写2第四十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日陶行知教学做合一解放儿童的头脑，使他们能想。解放儿童的双手，使他们能干。解放儿童的眼睛，使他们能看。解放儿童的嘴，使他们能谈。第四十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日教学论应该考虑三个方面：人的天性、知识的本质和获得知识的过程的性质。杰罗姆·布鲁纳认知心理理论玩是孩子的天性。第四十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日为学生创造动手做的机会第五十页，共一百三十一页，2022年，8月28日动手做数学第五十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日动手做数学第五十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日动手做数学第五十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的组合：

七巧板拼平行四边形第五十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的组合：七巧板拼正方形第五十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日生活中的七巧板数学老师家摆上一个，是否更能体现自己的学科气质？第五十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日用七巧板拼寓言《自相矛盾》第五十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日数学E活动信息技术活动：四三第五十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日这些图形是怎样形成的？图形的辨认：第五十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日画苹果：学生实践活动第六十页，共一百三十一页，2022年，8月28日画莲花：学生实践活动第六十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日补充与分享

BUCHONGYUFENXIANG关于“动手做”，您是否想起了相关的案例？第六十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日为学生提出动口说的要求第六十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日在你的课堂上，是否也常有学生离开位置，用手指着说“这里……那里……这样……那样……第六十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的面积推理：

红色与绿色的面积哪个大？第六十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日数立方体的个数

第六十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日PISA样题苏森要搭建左图所示的几何体，需要多少个立方块？那么搭建右图所示的几何体呢？利用小立方块搭建右图所示的几何体，如果允许内部有空洞，而外表上看起来还是这样的大立方体，至少需要多少个小立方体？.第六十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日将边长为3和4的两个正方体的表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体。探求满足下面条件的小正方体的数量规律。（1）边长为3的正方体，三面、两面、一面有红颜色的小正方体各有多少个？（2）边长为4的正方体呢？边长分别改为5和6，结果如何？你能发现什么规律？案例：分类计数第六十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日推理的严谨：车轮为什么是圆的？第六十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日两个同样的1元硬币，一个硬币A绕着另一个硬币B旋转1圈，硬币A转了几圈？好玩的圆周长第七十页，共一百三十一页，2022年，8月28日比较面积和距离：第七十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI操作不一定用手？在数的过程中，除了实际的数，更有头脑中的表象地数，切勿一味实物操作；有时远距离的操作比近距离操作更有挑战，因为需要学生更为精准地数学表达，这也是一种能力。第七十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI结论不一定完全正确，但可能蕴含价值，教学需要多遵循儿童的“话语体系”；语言是思维的外衣，鼓励学生表达，就是鼓励学生缜密的思考。不只是停留在交流“结果是什么”，还要交流“为什么是这个结果”“得出结果的过程是什么”。第七十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日动口说与动手做比默契。一个人先画，再把画的是什么告诉背靠背的同桌，同桌根据听到的画下来。比一比，两幅画的相似度。第七十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI“蹲”下来倾听孩子，不只是姿势，更是儿童的逻辑；“孩子你多大”“题目可以女一点吗”“请小心我的画”“地球仪上为什么有灰？”第七十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日偶尔请学生写下思考的过程第七十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日小学生解决数学问题的思维过程分析以及启示；案例1：第七十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日展示学生不同的解决问题的过程，教学组织时请学生写下“想”的过程；案例：小学生解决数学问题的思维过程分析以及启示（翁秀萍）；第七十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个图形周长比较长？r=5dmd=5dm34第七十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个图形周长比较长？r=5dm3第八十页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个图形周长比较长？r=5dm3第八十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个图形周长比较长？d=5dm4第八十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日哪个图形周长比较长？34第八十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI有时我们过于期待结果，而忽视过程的丰富了；学生有很多精彩观念的诞生就在思维的过程中；有时我们在低水平技能上投入多了，能否匀一点时间和空间到发展学生的高水平技能上来？好的口头禅“请把你的想法写下来”。第八十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日强调不同的思考：让学生从头想，整体想，自然想。3第八十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日从点到线、两条线到三条线、四条线到四边形？第八十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日分类是不是没有重复，也没有遗漏了？第八十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日四边形的对边关系ABCD第八十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日四边形家族四边形梯形平行四边形长方形正方形第八十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日四边形家族四边形梯形平行四边形长方形正方形菱形第九十页，共一百三十一页，2022年，8月28日从一个正方形到二连方、三连方、四连方……？第九十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日二连方三连方图形的组合源自50年代美国多连块第九十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日图形的组合从三连方到四连方是怎么构造成的？五连方；六连方。分别有几个呢？第九十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日五连方12种，大都能用字母表述形状。第九十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日六连方35个不同的六连方，能拼成正方体的有11种。第九十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日从面积单位到长方形面积，再到平行四边形、三角形、梯形、圆……面积与什么有关？什么关系？第九十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日推理的严谨：平行四边形的面积推导第九十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日平行四边形的面积推导一般的特殊的第九十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日为了转化成长方形，所以要沿着高剪。是不是不同形状的平行四边形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情况。为什么要介绍平移这种方法呢？（参见傅种孙数学教育文选，人民教育出版社）平行四边形的面积第九十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日看到屏幕上的语言，您想到了什么图？现场体验一个角；一个三角形。第一百页，共一百三十一页，2022年，8月28日三角形中的直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，哪一个最特殊？是不是所有三角形都能作高？锐角三角形一作高，是不是分成了两个直角三角形？钝角三角形呢？任何一个三角形一作高，就能把它转化成2个直角三角形；如果知道直角三角形面积计算方法，是否可以说任何三角形的面积都会了？三角形中的直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，哪一个最一般？《三角形的面积》推理思路第一百零一页，共一百三十一页，2022年，8月28日S＝（1/2h）aS＝（1/2a）hS＝1/2（ah）三角形面积公式第一百零二页，共一百三十一页，2022年，8月28日三角形的面积与什么有关？三角形的三条边确定了，三角形的大小就确定了。知道3条边，就能求面积吗？《三角形的面积》推理思路海伦－秦九韶公式数学家秦九韶：三斜求积术（宋）三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第一百零三页，共一百三十一页，2022年，8月28日从三角形到多边形，从内角和到外角和……？第一百零四页，共一百三十一页，2022年，8月28日三角形的内角和是180度？三角形的内角和是180，四边形呢？为什么只学内角不学外角？三角形的外角和是360，四边形呢？一般的多边形呢？第一百零五页，共一百三十一页，2022年，8月28日

三角形的外角和第一百零六页，共一百三十一页，2022年，8月28日

六边形的外角和第一百零七页，共一百三十一页，2022年，8月28日正方形的面积是5平方厘米，两个圆的面积是多少？第一百零八页，共一百三十一页，2022年，8月28日△+△+△=5

△+△+△+△+△+△=？生：5除以3除不尽……花絮：整体想第一百零九页，共一百三十一页，2022年，8月28日平移、旋转和对称第一百一十页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点与启示

GUANDIANYUQISHI顺着学生的思路来想，自然地想，从头想。妥善处理特殊的情况，如果连特殊的情况也满足一般的规律，学生对发现的规律会更坚定。第一百一十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日补充与分享

BUCHONGYUFENXIANG关于“从头想、整体想、自然想”，您是否想起了相关的案例？第一百一十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日尝试不同的形态让静态图形发生动态变化4第一百一十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日每个小方格的边长是1厘米。①小甲虫C爬到什么位置时，成了AD的中点?②小甲虫C在哪一段上爬行时，始终有AC＞CB?③如果线段AB上有两只小甲虫，它们分别爬到哪里时，与D点的距离相等。④根据小甲虫C的运动情况，请你提出一个数学问题。

比较距离：第一百一十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日先在方格纸上画上一条线段AB。准备画出到直线AB的距离等于2厘米的点。时间只有30秒，先想好，再一起开始。准备好了吗？挑战题。动手画一画，看谁画的点子多。如果到一个点距离等于2厘米的点呢？第一百一十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日三角形之间的关系第一百一十六页，共一百三十一页，2022年，8月