学高中数学数列1等差数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5010313158

06/707/7/等差数列的性质(20分钟35分)1.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40等于 ()A.40 B.70 C.80 【解析】选D.方法一:设公差为d.因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+20×2=90.方法二:因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以2×70=50+a40,所以a40=90.2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于 ()A.40 B.42 C.43 【解析】选B.因为a2+a3=13,所以2a1+3d=13.因为a1=2,所以d=3.所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.3.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0.若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k= ()A.22 B.23 C.24 【解题指南】利用等差数列的性质得:a1+a2+a3+…+a7=7a4.【解析】选A.因为数列{an}为等差数列,首项a1=0,公差d≠0,所以ak=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d.解得k=22.4.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+aA.120 B.105 C.90 【解析】选B.设公差为d.因为a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a即(a2-d)(a2+d)=16,因为d>0,所以d=3.则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.5.(2020·重庆高一检测)等差数列QUOTE中a2+a4+a6+a8=20,则a3+a7=.?【解析】a2+a4+a6+a8=2QUOTE=20,所以a3+a7=10.答案:106.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】(1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,所以这三个数为-2,2,6或6,2,-2.方法二:设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),由已知,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,所以所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),由已知,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-QUOTEd代入a(a+3d)=-8,得QUOTE=-8,即1-QUOTEd2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,所以所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】设数列{an}是等差数列,bn=QUOTE,又因为b1+b2+b3=QUOTE,b1b2b3=QUOTE,求通项an.【解析】因为b1b2b3=QUOTE,又因为bn=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE,所以a1+a2+a3=3,又因为{an}成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2,所以b1b3=QUOTE,b1+b3=QUOTE,所以QUOTE或QUOTE即QUOTE或QUOTE所以an=2n-3或an=-2n+5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·石嘴山高一检测)在等差数列QUOTE中,若a1+a2=4,a3+a4=12,则a5+a6= ()A.8 B.16 C.20 D.28【解析】选C.因为QUOTE为等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等差数列,公差为12-4=8.所以a5+a6=a3+a4+8=12+8=20.2.在数列QUOTE中,已知an+1-an=an+2-an+1,a1011=1,则该数列中a1+a2021= ()A.1 B.2 C.3 【解题指南】根据条件判断出QUOTE为等差数列,利用等差数列的等差中项得到答案.【解析】选B.因为an+1-an=an+2-an+1,所以2an+1=an+an+2,所以QUOTE为等差数列,因为a1011=1,所以a1+a2021=2a1011=2.【光速解题】选B.根据题意,可以让a1=a2=…=a2021=1求解.3.(2020·邢台高一检测)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为 ()A.30 B.27 C.24 【解题指南】首先由等差中项的性质知:a4=13,a5=11,由d=a5-a4,a3+a6+a9=3a6,计算a6代入即可.【解析】选B.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9,所以a3+a6+a9=3a6=27.4.(2020·福州高三检测)在等差数列QUOTE中,已知a1=3,公差d=2,若am=a1+a2+a3+a4+a5(m∈N*),则m= ()A.19 B.18 C.17 【解题指南】依题意an=2n+1,且a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35,令am=35解方程即可.【解析】选C.根据题意,数列{an}是等差数列,且a1=3,公差d=2,所以an=a1+(n-1)d=3+2n-2=2n+1,又因为am=2m+1=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35(m∈N*),所以m=17.5.设等差数列QUOTE满足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值,则这个最小值为 ()A.-10 B.-12 C.-14 【解题指南】设该等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,分析可得(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解可得a1与d的值,即可得数列QUOTE的通项,将其代入anan+1中,结合二次函数的性质分析可得答案.【解析】选B.根据题意,设该等差数列的首项为a1,公差为d,若a3+a7=36,a4a6=275,则有(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1解得QUOTE或QUOTE,则数列QUOTE的通项为an=7n-17或an=-7n+53,当an=7n-17时,anan+1=(7n-17)(7n-10)=49QUOTE=49QUOTE-QUOTE,分析可得当n=2时,anan+1有最小值,且其最小值为-12;当an=-7n+53时,anan+1=(-7n+53)(-7n+46)=(7n-53)(7n-46)=49QUOTE,因为QUOTE=QUOTE≈7.07,分析可得当n=7时,anan+1有最小值,且其最小值为-12;即anan+1有最小值-12.【误区警示】本题因为d有两个解,所以求解an易错,最后在计算anan+1的最值时由于计算量较大,也容易出错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(5分)已知{an}为等差数列,且a6=4,则a4a7的最大值为【解析】设等差数列的公差为d,则a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+18,即a4a答案:187.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为.?【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=QUOTE.所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tanQUOTE=tanQUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,则△ABC的形状为.?【解析】因为lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,得lgsinA+lgsinC=2lgsinB,即sin2B=sinAsinC①,又三内角A,B,C也成等差数列,所以B=60°,代入①得sinAsinC=QUOTE②,设A=60°-α,C=60°+α,代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=QUOTE,?QUOTEcos2α-QUOTEsin2α=QUOTE,即cos2α=1,所以α=0°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求数列{bn}的通项公式;(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)(-5)=8-5n,设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+,所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列{bn}也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d′=-20,所以bn=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=QUOTEn(n+1)(2n-1)吨,但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害.(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a万元环保税,已知每吨售价0.6万元,第n个月的工人工资为g(n)=QUOTEn2-QUOTEn-1万元,若每月都赢利,求出a的范围?【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列{an},则an=f(n)-f(n-1)=QUOTEn(n+1)(2n-1)-QUOTE(n-1)n(2n-3)=3n2-2n,所以产量逐月递增.当3n2-2n≤96时,解得n≤6,所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月.(2)若每月都赢利,则QUOTE(3n2-2n)-QUOTE-a>0恒成立,所以a<QUOTE,当n=2时,QUOTE=QUOTE,所以a<QUOTE.又因为a>0,所以0<a<QUOTE.1.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.?【解析】观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)