第一轮电力生产问题

电力生产问题数学模型摘要本文解决的是电力生产问题，在解决发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低，我们建了一个最优化模型[1]。对于问题一，首先我们根据题意运用非线性规划方法[2]列出目标函数即四种型号的发电机的总的固定成本、总的边际成本、总的启动成本的和函数，其次根据表一和表二所给的数据要求，列出模型约束条件，然后根据lingo软件【3】，编出相应的程序，对建立的模型进行求解，最终得出每天最低总成本为146.3180万元。对于问题二，显然问题一建模的思想也适应于问题二，，问题一所列的目标函数也适用于问题二，与问题一不同的是，问题二多了一个约束条件，即在任何时间段工作的发电机组要保留20%的发电余量以防用电量增加，换言之即每个时间段发电机发电量总和的80%要满足该时间段用电需求，并据此又列出一个约束方程，最终也根据lingo【3】计算软件得出每天最低成本为188.5420万元。同时我们对模型进行了评价、改进和推广，便于我们所建立的模型更好的应用到生活实际中去。关键词：启动成本非线性规划电力生产问题1、问题重述1.1问题背景：由于各种不同型号的发电机的性能不同，各种型号的发电机数量不同，所需成本也一样，合理的选择发电机组既可以满足用电需求，又能够降低生产成本，提高经济效益。在本文中我们要解决的问题就是怎样合理选择发电机的组合，从而将电厂的生产成本降低至最小值以便提高电厂的经济效益。1.2每日用电需求与发电机具体情况：为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。表2：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。1.3本文所需解决的问题问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？模型假设及符号说明2.1模型假设假设1：在每个时段里，型号相同的发电机的功率相等并且在该时段维持不变假设2:发电机在每天的零点全部关闭，第二天根据需要选择性的开启假设3：发电机启动和关闭时间都忽略不计假设4：发电机在运行过程中不发生故障假设5：不计发电机的摩擦损耗功率假设6：不计调整发电机功率的成本2.2模型符号符号符号说明 ，取整数，取整数表示第个时段表示第个时段对应电力需求机型最小发电功率机型最大发电功率机型固定成本机型边际成本机型启动成本机型总数量表示第阶段机型数量表示第阶段机型发电机的功率最小成本总固定成本总边际成本总启动成本3.问题分析此题解决的是在不同时间段应如何选择不同发电机的型号使总成本最低的优化模型【1】问题。要使所选择的发电机的总成本最低应该需要建立合理的模型。总成本是由由各个时间段的总的固定成本、总的边际成本和总的启动成本构成，即。由于不同时间段中，上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，这样就会进接影响总成本，因此在考虑电机的运行费用时应该把下一阶段电机的运行状况和上一阶段的运行状况联系起来，这样的话我们将得到最优的总成本。对于问题一，建了一个模型要求在各个时间段应该选择哪种型号电机使每天的总成本最低。总成本可分为：固定成本、边际成本、启动成本。此问题除了考虑满足每天的用电需求外，还应该使每天电机的运行费用尽可能的小。启动的发电机数量越少功率越小总成本越低，数量越多输出功率越大就越能满足每个阶段用电需求。于是根据问题一，假设发电机在每天的24：00全部关闭，0：00开启。它的启动成本等于第一阶段开启的发电机数量、第二阶段开启的发电机数量在第一阶段开启的发电机数量……一直到第七阶段开启的数量在第六阶段新开启的数量的总和乘以每台发电机的启动成本。于是我们把七个时间段情况综合起来考虑，运用单目标非线性化方法建立了模型一，然后根据合理的分配、使用有效的资源来减少使用成本，来达到最佳效益。对于问题二，要在任何时候，使正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，我们只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率总和的80%作为各时段电机输出功率总和的最大值。模型一的思想也适用于模型二，通过非线性规划【2】，用lingo软件【3】计算，最终得到最优解。4.数据分析根据题目所给的两个数据表绘制出下面两个图图1:每日各时段需求量由图1我们可以看出:0-6小时的时段到6-9小时的时段用电需求明显增大,总体看来6-9时段和12-14时段为用电高峰期,在这两阶段的电力生产成本可能会明显增大。`由问题重述中的表二我们同样可以画出如下的图表，由图表可知型号二的固定成本最小，启动成本也相对较小，而型号一的启动成本和型号四的固定成本较大，我们也可以从原表二中观察出型号三的边际成本最小，型号四的边际成本最大。图2边际成本，固定成本与启动成本由图2我们可以看出:型号1的发电机的启动成本明显高于其他型号的发电机,且其总共台数最多;型号2的发电机的综合成本(固定成本、边际成本、启动成本)相对其他型号的发电机要低,且其固定成本最小,故增加其台数可能使总生产成本减小;型号3的发电机的边际成本最小,故可以使其实际输出功率尽可能大,这样可能降低总生产成本;型号4的发电机的启动成本最小。5.问题一的解答5.1模型一的建立5.1.1确定出目标函数由题目给的条件及模型假设知目标函数由发电厂每天的总固定成本，总边际成本，总启动成本组成，下面来一一进行求解1.总固定成本：即四种型号发电机在七个时间段类的固定成本乘以启动台数乘以工作时间数值的叠加和，其数值表达式如下： 2.总边际成本：即四种型号的发电机在七个时间段内的输出功率与最小输出功率的差值乘以相对应的边际成本乘以启动台数乘以工作时间数值的叠加和，其数学表达式为：3.总启动成本：即四种型号的发电机在关闭状态下重新启动的台数乘以相应的启动成本数值的叠加和，其数学表达式为目标函数：总成本＝总固定成本+总边际成本+总启动成本,即5.1.2根据题目要求确定其约束条件若型号发电机在时段使用，则功率需在最小功率和最大功率之间，即：若型号发电机在时段不使用，则功率为零，即:各个型号的发电机在一个时间段发电量的总和应等于各个时间段的用电需求，它的的数学表达式为：即：（3）第个时间段的型发电机的台数应满足题目告诉的条件，其表达为：即:5.1.2求出问题一的多变量最优化模型综上所述：其中5.2模型一的求解我们用lingo软件【3】求解这个模型，首先把各个变量，常量写入到集合中；然后根据我们所建模型，分别将目标函数，约束条件，所需数据写入程序中。在处理发电机是否启动这个问题上，我们引入了一个变量,根据发电机的启动台数来确定发电机的功率是否为0，若发电机的台数不为零，则为，我们把的范围设在最小功率和最大功率之间。这样我们就解决了发电机的功率约束问题。在lingo【3】环境下运行结果如下：表3:各型号发电机数量及功率问题类型型号时段型号1型号2型号3型号4台数输出功率台数输出功率台数输出功率台数平均输出功率一般运行情况0-60041500.00032000.000006-921750.00041500.00082000.00032166.6679-122750.000041425.00082000.00011800.00012-1421750.00041500.00082000.00033500.00014-182750.000041425.00082000.00011800.00018-2221300.00041500.00082000.00031800.00022-24004751.259361500.00002000.000总成本1463180元根据此表我们可以画出关于每一时段每种型号发电机台数的柱状图，如下所示：图3:各阶段发电机数量由图可知，型号二发电机从第一时段到第七时段一直处于运行状态，我们也可以从原始数据中找出原因，因为型号2发电机的固定成本最低，启动成本和边际成本也相对较低。从图中我们也可以得知2，4，6时段发电机所需台数相对较多，即为用电高峰期，与原始数据正好对应。5.3结果分析:将上述求解结果与表一、二对照,发现各型号的发电机台数和功率均满足题目要求,每个时段的发电机按上述分别进行组合后的实际供电量均恰好等于每时段的供电需求.从结果的对比中我们还可以得出以下结论:结论一:当某型号的边际成本相对较小时,其实际输出功率尽量达到最大时可减少总成本,例如型号3的边际成本最小,解出的结果中其实际输出功率达到其最大输出功率2000MW;结论二:在不同时段的用电需求越大,所需要的大功率型号的发电机的数量就越多,这样可降低总成本;结论三:尽量少开启动成本大的发电机可以减少总成本问题二的解答针对问题二我们建立了模型二.6.1模型二的建立6.1.1确定目标函数在问题分析中已经知道模型二的目标函数与模型一相同,即：6.1.2确定约束条件因为问题二是在问题一的基础上新增了一个约束条件,以防用电量突然上升.我们只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率总和的80%作为各时段电机输出功率总和的最大值，将问题一中的第二个约束条件稍加修改可得到新的约束条件，即：其它约束条件均不变6.1.3模型二的求解根据建立的模型用Lingo软件【3】代入数据求解后将所得结果制成下表表4：各型号发电机数量及功率问题类型型号时段型号1型号2型号3型号42000台数输出功率台数输出功率台数输出功率台数输出功率保留20%的发电能力0-611000.00041500.00042000.000006-971750.00041500.00082000.00031916.6679-124807.142981500.00022000.00081800.00012-1441750.00081500.00032000.00063000.00014-186750.000041337.50082000.00031800.000018-2261683.33341500.00082000.00031800.00022-241750.000041437.50082000.00000总成本1885420元将上述求解结果与表1和表2对照,发现各型号的发电机台数和功率均满足题目要求.因为问题二要使任何时刻发电机组都有20%的发电能力余量,以防用电量突然上升,所以每个时段的发电机按上述分别进行组合后的实际供电量总和的80%满足用电需求。将模型二的不同类型发电机的使用数量与模型一对比，可绘制如下变化图。图4：模型一与模型二发电机使用数量对比图图5：模型一与模型二发电机发电功率对比图由上图我们可以得出如下结论:结论一:相对模型一的结果,模型二的每个时段中启动成本较小的型号的发电机的实际功率都有明显下降但台数却有一定的上升,这是为了保留一定的发电能力,同时又使电机的启动成本减小,如模型二中启动成本最小的型号4发电机实际功率都降至最小功率,其相应台数却较模型一大;结论二:在不同时段的用电需求越大,所需要的大功率型号的发电机的输出功率越大，这样可以节约成本。结论三:启动成本大而边际成本小的发电机如型号3开启后其实际功率基本达到其最大输出功率,且极少重复开启,这样既减少边际成本又减少固定成本的同时还最大限度的利用了其发电资源6模型的评价、改进、以及推广6.1模型的评价优点一:根据题目的要求我们确立了三个指标，即固定总成本、边际总成本、启用总成本，以上三项总成本之和即为总成本，通过对三项总成本的逐项分析，建立了最优的目标函数。优点二：将一天作为一个整体进行求解，考虑到了各个时段间的关联，得出的解为全局最优解。优点三：解决该题的方法方便、直观，运用的数学原理、概念简单明了，易于在计算机上实现此模型的通用性较好，可以广泛推广到其他非线性规划模型中去，忽略次要因素，抓住关键因素，既符合实际生活中取材的主要衡量标准，又使问题简单化，便于求解。缺点一：假定了同时段同型号的发电机的输出功率相同且维持不变，与实际情况有些不符，从而使得出的最优解与实际最优解有一定误差。缺点二:对数据的分析可能不够仔细,应该能得到更多有用的分析结果.6.2模型的改进因假定了同时段同型号发电机的输出功率相等且维持不变，使得得出的结果不是十分准确，我们可在得出结果的基础上用计算机在每两个时段之间对功率进行一些调整，即：在保证满足供电需求的情况下，调整同型号发电机的输出功率(不要求相同)，使得出的结果进一步优化。6.3模型的推广我们的模型经过一定的改进可在电力网的一些有功功率、无功功率的补偿和分配问题上具有一定的指导作用，还可用于一些运输领域的优化问题参考文献[1]宋来忠,王志明,数学建模与实验,北京:科学出版社,2005[2]《运筹学》教材编写组编,运筹学（3版）,北京:清华大学出版社,2005.6[3]张宏伟，牛广志，LINGO8.0及其在环境系统优化中的应用，天津大学出版社附录附录一:模型一求解的Lingo源程序sets:!t为时段，x为需求;shiduan/1..7/:t,x;xinghao/1..4/:qmin,qmax,g,b,d,m;link(shiduan,xinghao):n,q,p;endsetsdata:t=6332442;x=12000320002500036000250003000018000;qmin=750100012001800;qmax=1750150020003500;g=2250180037504800;b=2.72.21.83.8;d=5000160024001200;m=10483;enddatamin=s1+s2+s3;!s1为固定成本，s2为边际成本，s3为启动成本;s1=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):g(j)*t(i)*n(i,j)));s2=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):n(i,j)*t(i)*b(j)*(q(i,j)-qmin(j))));s3=@sum(xinghao(j):d(j)*n(1,j))+@sum(xinghao(j):@sum(shiduan(i)|i#ge#2:@if(n(i,j)#gt#n(i-1,j),(n(i,j)-n(i-1,j))*d(j),0)));@for(link(i,j):n(i,j)<=m(j));@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):q(i,j)*n(i,j))=x(i));@for(link:@gin(n));@for(link(i,j):q(i,j)=@if(n(i,j)#eq#0,0,p));@for(link(i,j):@bnd(qmin(j),p,qmax(j)));End运行结果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1463180.Objectivebound:1463180.Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:1Totalsolveriterations:184090VariableValueS11000500.S2418680.0S344000.00T(1)6.000000T(2)3.000000T(3)3.000000T(4)2.000000T(5)4.000000T(6)4.000000T(7)2.000000X(1)12000.00X(2)32000.00X(3)25000.00X(4)36000.00X(5)25000.00X(6)30000.00X(7)18000.00QMIN(1)750.0000QMIN(2)1000.000QMIN(3)1200.000QMIN(4)1800.000QMAX(1)1750.000QMAX(2)1500.000QMAX(3)2000.000QMAX(4)3500.000G(1)2250.000G(2)1800.000G(3)3750.000G(4)4800.000B(1)2.700000B(2)2.200000B(3)1.800000B(4)3.800000D(1)5000.000D(2)1600.000D(3)2400.000D(4)1200.000M(1)10.00000M(2)4.000000M(3)8.000000M(4)3.000000N(1,1)0.000000N(1,2)4.000000N(1,3)3.000000N(1,4)0.000000N(2,1)2.000000N(2,2)4.000000N(2,3)8.000000N(2,4)3.000000N(3,1)2.000000N(3,2)4.000000N(3,3)8.000000N(3,4)1.000000N(4,1)2.000000N(4,2)4.000000N(4,3)8.000000N(4,4)3.000000N(5,1)2.000000N(5,2)4.000000N(5,3)8.000000N(5,4)1.000000N(6,1)2.000000N(6,2)4.000000N(6,3)8.000000N(6,4)3.000000N(7,1)0.000000N(7,2)4.000000N(7,3)6.000000N(7,4)0.000000Q(1,1)0.000000Q(1,2)1500.000Q(1,3)2000.000Q(1,4)0.000000Q(2,1)1750.000Q(2,2)1500.000Q(2,3)2000.000Q(2,4)2166.667Q(3,1)750.0000Q(3,2)1425.000Q(3,3)2000.000Q(3,4)1800.000Q(4,1)1750.000Q(4,2)1500.000Q(4,3)2000.000Q(4,4)3500.000Q(5,1)750.0000Q(5,2)1425.000Q(5,3)2000.000Q(5,4)1800.000Q(6,1)1300.000Q(6,2)1500.000Q(6,3)2000.000Q(6,4)1800.000Q(7,1)0.000000Q(7,2)1500.000Q(7,3)2000.000Q(7,4)0.000000P(1,1)751.2593P(1,2)1500.000P(1,3)2000.000P(1,4)1801.333P(2,1)1750.000P(2,2)1500.000P(2,3)2000.000P(2,4)2166.667P(3,1)750.0000P(3,2)1425.000P(3,3)2000.000P(3,4)1800.000P(4,1)1750.000P(4,2)1500.000P(4,3)2000.000P(4,4)3500.000P(5,1)750.0000P(5,2)1425.000P(5,3)2000.000P(5,4)1800.000P(6,1)1300.000P(6,2)1500.000P(6,3)2000.000P(6,4)1800.000P(7,1)751.8518P(7,2)1500.000P(7,3)2000.000P(7,4)1801.926RowSlackorSurplus11463180.20.00000030.00000040.000000510.0000060.00000075.00000083.00000098.000000100.000000110.000000120.000000138.000000140.000000150.000000162.000000178.000000180.000000190.000000200.000000218.000000220.000000230.000000242.000000258.000000260.000000270.000000280.0000002910.00000300.000000312.000000323.000000330.000000340.000000350.000000360.000000370.000000380.000000390.000000400.000000410.000000420.000000430.000000440.000000450.000000460.000000470.000000480.000000490.000000500.000000510.000000520.000000530.000000540.000000550.000000560.000000570.000000580.000000590.000000600.000000610.000000620.000000630.000000640.000000650.000000660.000000670.000000附录二:模型二求解的Lingo源程序sets:!t为时段，x为需求;shiduan/1..7/:t,x;xinghao/1..4/:qmin,qmax,g,b,d,m;link(shiduan,xinghao):n,q,p;endsetsdata:t=6332442;x=12000320002500036000250003000018000;qmin=750100012001800;qmax=1750150020003500;g=2250180037504800;b=2.72.21.83.8;d=5000160024001200;m=10483;enddatamin=s1+s2+s3;!s1为固定成本，s2为边际成本，s3为启动成本;s1=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):g(j)*t(i)*n(i,j)));s2=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):n(i,j)*t(i)*b(j)*(q(i,j)-qmin(j))));s3=@sum(xinghao(j):d(j)*n(1,j))+@sum(xinghao(j):@sum(shiduan(i)|i#ge#2:@if(n(i,j)#gt#n(i-1,j),(n(i,j)-n(i-1,j))*d(j),0)));@for(link(i,j):n(i,j)<=m(j));@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):q(i,j)*n(i,j))*0.8>=x(i));@for(link:@gin(n));@for(link(i,j):q(i,j)=@if(n(i,j)#eq#0,0,p));@for(link(i,j):@bnd(qmin(j),p,qmax(j)));end运行结果:Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1885420.Objectivebound:1885420.Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:1Totalsolveriterations:197281VariableValueS11275300.S2539720.0S370400.00T(1)6.000000T(2)3.000000T(3)3.000000T(4)2.000000T(5)4.000000T(6)4.000000T(7)2.000000X(1)12000.00X(2)32000.00X(3)25000.00X(4)36000.00X(5)25000.00X(6)30000.00X(7)18000.00QMIN(1)750.0000QMIN(2)1000.000QMIN(3)1200.000QMIN(4)1800.000QMAX(1)1750.000QMAX(2)1500.000QMAX(3)2000.000QMAX(4)3500.000G(1)2250.000G(2)1800.000G(3)3750.000G(4)4800.000B(1)2.700000B(2)2.200000B(3)1.800000B(4)3.800000D(1)5000.000D(2)1600.000D(3)2400.000D(4)1200.000M(1)10.00000M(2)4.000000M(3)8.000000M(4)3.000000N(1,1)1.000000N(1,2)4.000000N(1,3)4.000000N(1,4)0.000000N(2,1)7.000000N(2,2)4.000000N(2,3)8.000000N(2,4)3.000000N(3,1)7.000000N(3,2)4.000000N(3,3)8.000000N(3,4)2.000000N(4,1)8.000000N(4,2)4.000000N(4,3)8.000000N(4,4)3.000000N(5,1)6.000000N(5,2)4.000000N(5,3)8.000000N(5,4)3.000000N(6,1)6.000000N(6,2)4.000000N(6,3)8.000000N(6,4)3.000000N(7,1)1.000000N(7,2)4.000000N(7,3)8.000000N(7,4)0.000000Q(1,1)1000.000Q(1,2)1500.000Q(1,3)2000.000Q(1,4)0.000000Q(2,1)1750.000Q(2,2)1500.000Q(2,3)2000.000Q(2,4)1916.667Q(3,1)807.1429Q(3,2)1500.000Q(3,3)2000.000Q(3,4)1800.000Q(4,1)1750.000Q(4,2)1500.000Q(4,3)2000.000