2018版数学总复习压轴小题突破练6与定义、推理证明有关的压轴小题理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中,只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1。在只持有一支股票的人中,有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是（）A。7B.6C。5D。4答案A解析设只持有A股票的人数为X（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分）,因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分）。假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28,即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5,4，3，2，1。与之对应的a值为：2,5，8,11,14，17,20，23,26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a），即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7,故只持有B股票的股民人数是7,故选A。2.已知集合A＝｛（x，y）|x2＋y2≤1，x,y∈Z｝，B＝｛(x，y)|x|≤2,｜y|≤2，x，y∈Z｝，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2）|(x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B｝,则A⊕B中元素的个数为（）A。77B。49C。45D.30答案C解析因为集合A＝｛(x，y)｜x2＋y2≤1,x,y∈Z｝所以集合A中有5个元素（即5个点）,集合B＝｛（x，y)||x｜≤2,｜y｜≤2,x,y∈Z}中有25个元素（即25个点），集合A⊕B＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜（x1，y1）∈A，（x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点（除去四个顶点)，即7×7－4＝45（个).3.某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝［x］(其中［x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(）A。y＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（x＋5,10）))B。y＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10）)）C.y＝eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（x＋3,10)))D。y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（x,10））)答案C解析根据题意，当x＝16时，y＝1，所以选项A，B不正确，当x＝17时，y＝2,所以D不正确，故选C。4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(）A.设数列{an}的前n项和为Sn，由an＝2n－1,求出S1＝12,S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B.由f（x)＝xcosx满足f（－x）＝－f（x）对∀x∈R都成立，推断:f(x)＝xcosx为奇函数C.由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的面积S＝πabD。由(1＋1)2＞21，（2＋1）2＞22,(3＋1)2＞23，…，推断:对一切n∈N＊,(n＋1)2＞2n答案A解析选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列｛an}是等差数列，其前n项和Sn＝eq\f（n1＋2n－1，2)＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确。5。给出以下数对序列:（1,1)(1，2)（2,1)(1,3）(2，2)(3，1)（1，4)(2，3）（3，2)（4，1)…若第i行的第j个数对为aij,如a43＝(3，2)，则anm等于(）A.(m,n－m＋1)B。(m－1,n－m）C.(m－1，n－m＋1）D.(m，n－m)答案A解析由前4行的特点,归纳可得：若anm＝（a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝（m，n－m＋1)。6。若函数f(x）,g(x)满足ʃeq\o\al（1，－1)f(x）g(x）dx＝0，则称f(x)，g（x)为区间[－1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2）x，g(x）＝coseq\f(1,2）x；②f(x）＝x＋1,g(x）＝x－1；③f（x）＝x，g(x）＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A。0B。1C.2D.3答案C解析对①，ʃeq\o\al（1,－1)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f(1,2）x·cos\f(1，2)x))dx＝ʃeq\o\al(1,－1）eq\f（1,2）sinxdx＝－eq\f(1,2)cosx｜eq\o\al(1,－1)＝0，则f（x),g(x)为区间［－1，1]上的正交函数;对②,ʃeq\o\al(1,－1)（x＋1）(x－1)dx＝ʃeq\o\al(1,－1）(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)x3－x）)｜eq\o\al(1，－1）≠0，则f（x)，g（x)不是区间［－1，1］上的正交函数；对③，ʃeq\o\al（1,－1)x3dx＝eq\a\vs4\al\co1（\f（1，4）x4）|eq\o\al（1，－1)＝0，则f（x）,g（x）为区间［－1，1］上的正交函数。7.已知点A(0，1),点B在曲线C1：y＝ex－1上，若线段AB与曲线C2：y＝eq\f(1,x)相交且交点恰为线段AB的中点,则称点B为曲线C1与曲线C2的一个“相关点”，记曲线C1与曲线C2的“相关点”的个数为n，则（）A.n＝0B.n＝1C。n＝2D。n＞2答案B解析设B（t，et－1），则AB的中点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（t，2),\f（et,2）)）,所以有eq\f(et,2)＝eq\f(2，t）,et＝eq\f(4,t),所以“相关点”的个数就是方程ex＝eq\f(4，x）解的个数，由于y＝ex的图象在x轴上方,且是R上的增函数，y＝eq\f（4,x）在（0,＋∞）上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n,则n等于（）A。7B。8C。11D。15答案C解析由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1）要多，比四个盘子不同时操作的次数（24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9。定义域为[a，b］的函数y＝f（x)图象的两个端点为A，B，M(x，y）是f（x)图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ）b,λ∈［0，1］。已知向量eq\o(ON,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→）)＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)），若不等式｜eq\o（MN，\s\up6（→））|≤k恒成立，则称函数f（x）在［a，b]上“k阶线性近似”.若函数y＝x－eq\f(1，x）在[1，2］上“k阶线性近似"，则实数k的取值范围为()A。［0,＋∞）B。eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，12）,＋∞))C。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3,2）＋\r(2),＋∞)）D.eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,2）－\r(2)，＋∞)）答案D解析由题意可知，A（1,0），Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(3,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2－λ，2－λ－\f(1,2－λ））)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2－λ，\f（3,2）1－λ））,∴|eq\o(MN,\s\up6（→）)|＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)－\f（3，2）λ－2－λ＋\f(1，2－λ)）)＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（2－λ,2）＋\f(1，2－λ)－\f（3,2)）)，∵eq\f（2－λ,2）＋eq\f（1，2－λ)≥2eq\r(\f(2－λ,2)·\f(1，2－λ))＝eq\r（2），当且仅当eq\f(2－λ,2）＝eq\f(1,2－λ），λ＝2－eq\r（2）时，等号成立，又∵λ∈［0，1]，∴2－λ∈［1，2],∴eq\f（2－λ,2）＋eq\f（1,2－λ)≤eq\f(3,2)，∴eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ，2)＋\f(1，2－λ）－\f(3,2)）)max＝eq\f（3，2）－eq\r(2),即实数k的取值范围是eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)－\r(2），＋∞））。10.（2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y＝f（x）与y＝F（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x）和y＝F（x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间［a,b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(2x－t）)的“不动区间”，则实数t的取值范围是()A。(0，2]B.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)）C。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2），2））D。eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1,2），2）)∪［4,＋∞）答案C解析易知y＝|2x－t｜与y＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))x－t））在［1,2］上单调性相同，当两个函数递增时，y＝|2x－t|与y＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))x－t))的图象如图1所示，易知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(log2t≤1，,－log2t≤1，））解得eq\f(1，2）≤t≤2;当两个函数递减时，y＝|2x－t｜的图象如图2所示，此时y＝|2x－t｜关于y轴对称的函数y＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））x－t））不可能在[1，2]上为减函数。综上所述，eq\f（1，2）≤t≤2,故选C。11.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910…根据以上排列规律，数阵中第n(n＞3)行从左至右的第3个数是________。答案eq\f（n2－n＋6,2）解析前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1）＝eq\f(nn－1,2）个，即eq\f(n2－n，2）个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n，2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6，2).12。设数列｛an｝的前n项和为Sn，若eq\f(Sn,S2n)为常数，则称数列{an｝为“精致数列”。已知等差数列｛bn}的首项为1，公差不为0,若数列{bn}为“精致数列"，则数列{bn}的通项公式为__________.答案bn＝2n－1(n∈N＊)解析设等差数列｛bn}的公差为d,由eq\f(Sn，S2n)为常数，设eq\f（Sn，S2n)＝k且b1＝1，得n＋eq\f(1，2)n(n－1)d＝keq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（2n＋\f(1,2）×2n2n－1d）），即2＋（n－1）d＝4k＋2k（2n－1）d,整理得(4k－1)dn＋（2k－1)(2－d）＝0，因为对任意正整数n上式恒成立，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(d4k－1＝0，,2k－12－d＝0，））解得d＝2，k＝eq\f(1,4），所以数列｛bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)。13.已知coseq\f(π，3）＝eq\f（1,2)，coseq\f(π,5）coseq\f（2π,5）＝eq\f（1，4），coseq\f（π，7)coseq\f(2π，7)coseq\f(3π,7）＝eq\f（1,8),…,(1）根据以上等式，可猜想出的一般结论是________;（2）若数列｛an｝中,a1＝coseq\f(π，3），a2＝coseq\f(π,5)coseq\f(2π，5)，a3＝coseq\f（π,7）coseq\f（2π,7）coseq\f(3π,7），…，前n项和Sn＝eq\f(1023，1024），则n＝________。答案（1)coseq\f(π，2n＋1）·coseq\f（2π，2n＋1)·…·coseq\f(nπ，2n＋1）＝eq\f(1，2n)(n∈N＊)(2)10解析（1）从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＝eq\f(1,2n）(n∈N＊）.（2)由(1)可知an＝eq\f（1,2n)，故Sn＝eq\f(\f（1，2）\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））n）),1－\f(1，2）)＝1－eq\f(1，2n）＝eq\f(2n－1,2n）＝eq\f(1023,1024），解得n＝10.14。(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P(x，y）不是原点时，定义P的“伴随点"为P′eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(y,x2＋y2)，\f（－x,x2＋y2）））；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点"所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”。现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点"是点A；②单位圆的“伴随曲线"是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线"是一条直线。其中的