2023年高中数学黄金100题系列第23题函数中存在性与恒成立问题理

第23题函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②别离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．假设函数在区间上存在最小值和最大值，那么:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；假设函数在区间上不存在最大〔小〕值，且值域为，那么：①不等式〔或〕在区间上恒成立；②不等式〔或〕在区间上恒成立．一、函数性质法【例1】1〕函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2〕两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【分析】1〕根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数恒成立，在通过别离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2〕根据题意在此题所给条件中不等式的两边它们的自变量x不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数和分别求出它们的最值，再根据只需满足即可求解2〕、对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，即，所以【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定适宜的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即表达数形结合思想．【例2】假设不等式对满足的所有都成立，求的范围．【分析】我们可以用改变主元的方法，将视为主变元，即将元不等式化为：来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主〔即改变主元〕的策略，可产生意想不到的效果．【例3】对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．【答案】或．二、别离参数法假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用别离参数法来确定不等式〔，为实参数〕恒成立中参数的取值范围的根本步骤：〔1〕将参数与变量别离，即化为〔或〕恒成立的形式；〔2〕求在上的最大〔或最小〕值；〔3〕解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：〔1〕参数与变量能别离；〔2〕函数的最值易求出．【例4】函数的图象在点〔为自然对数的底数〕处的切线的斜率为．〔1〕求实数的值；〔2〕假设对任意成立，求实数的取值范围．【分析】〔1〕由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可知，可建立关于的方程：，从而解得；〔2〕要使对任意恒成立，只需即可，而由〔1〕可知，∴问题即等价于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调性，从而求得其最值：，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数，因此在处取得最大值，∴即为所求．〔2〕由〔1〕知，，∴对任意成立对任意成立，令，那么问题转化为求的最大值，，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数．故在处取得最大值，∴即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数〔或关于参数的代数式〕能够与其它变量完全别离出来并，且别离后不等式其中一边的函数〔或代数式〕的最值或范围可求时，常用别离参数法．此类问题可把要求的参变量别离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：假设对于取值范围内的任一个数都有恒成立，那么；假设对于取值范围内的任一个数都有恒成立，那么．常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值．利用别离参数法来确定不等式，〔，为实参数〕恒成立中参数的取值范围的根本步骤:〔1〕将参数与变量别离，即化为〔或〕恒成立的形式；〔2〕求在上的最大〔或最小〕值；〔3〕解不等式(或)，得的取值范围．【例5】【2023浙江绍兴教学质量调测】对任意不等式恒成立，那么实数的取值范围是．【答案】【例6】函数f(x)＝mx2－mx－1．(1)假设对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)假设对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(－4，0]．(2)．三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在别离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易别离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主〞，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位〞交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可防止不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村〞的出奇制胜的效果．【例7】函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)假设上恒成立，求的取值范围．〔节选〕【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数．而根据此题中的条件特征显然可将视作自变量，那么上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解．【解析】由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当别离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易别离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；假设转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．【例8】假设不等式的所有都成立，那么的取值范围__________．【答案】四、数形结合法假设所给不等式进行合理的变形化为〔或〕后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，那么可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例9】求证：，对于恒有成立．【答案】证明见解析．【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证．【例10】函数，在恒有，求实数的取值范围．【分析】为了使题中的条件在恒成立，应能想到构造出一个新的函数，那么可把原题转化成所构造新的函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决．，解得，故由①②知．【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象．常见的有两类函数：假设二次函数大于0恒成立，那么有，同理，假设二次函数小于0恒成立，那么有．假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解．其它函数：恒成立〔注：假设的最小值不存在，那么恒成立的下界大于0〕；恒成立〔注：假设的最大值不存在，那么恒成立的上界小于0〕．〔对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理〕，这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．五、存在性之常用模型及方法假设在区间上存在实数使不等式成立，那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成立，那么等价于在区间上的．注意不等式能成立问题〔即不等式有解问题〕与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式在区间上恒成立，而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立．【例11】，，⑴假设存在，使得，求实数的取值范围；⑵假设存在，使得，求实数的取值范围；⑶假设对任意，恒有，求实数的取值范围；⑷假设对任意，恒有，求实数的取值范围；⑸假设对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑹假设对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑺假设存在，使得，求实数的取值范围；⑻假设存在，使得，求实数的取值范围．因为时=>0，所以在上是增函数，由此可求得的值域是[0，]，所以实数的取值范围是[0，]．⑵解析：据题意：假设存在，使得，即有解，故h(x)>，由⑴知h〔x〕=，于是得<．点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数〔或关于参数的式子〕能够与其它变量完全别离出来并且别离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用别离参数法．另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过别离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过别离参数法转化为求函数最值问题．⑶解析：对任意，恒有，即时恒成立，即，由⑵可知0．点评：比拟⑵、⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团．另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值．以下充要条件应细心思考，甄别差异：①假设值域为，那么不等式恒成立；不等式有解；②假设值域为，那么不等式恒成立；假设值域为那么不等式恒成立．⑷解析：由题中条件可得的值域的值域，假设对任意，恒有，即，即，所以．点评：⑶与⑷虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同，而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在[0，2]上具有任意性．⑸解析：对任意，假设存在，使得，即，由⑷可知即，所以．点评：设的最大值为，对任意，的条件，于是问题转化为存在，使得，因此只需的最小值大于即．⑹解析：对任意，假设存在，使得，那么，所以即点评：因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应，所以对任意，假设存在，使得的充要条件是在的值域内，因此，的值域是的值域的子集．⑻解析：假设存在使得，那么，∴，∴实数的取值围是【例12】设函数，且．曲线在点处的切线的斜率为．〔1〕求的值；〔2〕假设存在，使得，求的取值范围．【分析】〔1〕根据条件曲线在点处的切线的斜率为，可以将其转化为关于，的方程，进而求得的值：，；〔2〕根据题意分析可得假设存在，使得不等式成立，只需即可，因此可通过探求的单调性进而求得的最小值，进而得到关于的不等式即可，而由〔1〕可知，那么，因此需对的取值范围进行分类讨论并判断的单调性，从而可以解得的取值范围是．②当时，，极小值，不合题意，无解，10分③当时，显然有，，∴不等式恒成立，符合题意，综上，的取值范围是．【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否认〔恒成立〕，再求其否认补集即可解决．它的逻辑背景：原命题为的否认为；原命题为的否认为“．处理的原那么就是：不熟系问题转化为熟悉问题．【跟踪练习】1．【2023届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式在R上恒成立〞的一个必要不充分条件是()A．m>B．0<m<1C．m>0D．m>1【答案】CD．∵m>1⇒m>，所以m>1是“不等式在R上恒成立〞的充分不必要条件，故D错误；应选C．2．【2023届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】函数，假设对，均有，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】A3．【2023届“超级全能生〞浙江省高三3月联考】在上递减的函数，且对任意的，总有，那么实数的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】B4．【2023届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数定义运算“〞：，设，假设函数恰有三个零点，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，画图f(0)=-1，f(-2)=2，由图可知，，选D．5．【2023届浙江省台州市高三4月调研】，假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A6．【2023届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，假设对任意的实数，都有恒成立，那么使成立的实数的取值范围为〔〕A．B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕C．〔﹣1，1〕D．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕【答案】B由x2f〔x〕﹣f〔1〕＜x2﹣1∴x2f〔x〕﹣x2＜f〔1〕即g〔x〕＜g〔1〕即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕，应选：B．7．【2023届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】，不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由不等式对于一切实数恒成立，得，由存在，使成立，得，所以，且，=，令，，当，解得，代入，选B．8．【2023届江西省高三4月联考】函数，假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】B9．【2023江西师大附属中学十月模拟】函数，假设对于任意的，不等式恒成立，，那么实数的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】要使对于任意的，不等式恒成立，只需当时，有由g=知，当<0时，g；当>0时，g，所以(1)当时，易知当，不满足时，有，故不成立；(2)当时，，此时，此时，当时，，当时，，所以，成立；【名师点睛】把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决此题的关键，同时需注意对进行分类讨论．10．【2023山西第一次五校联考】，假设对任意的，不等式恒成立，那么的最大值为()A．B．3C．D．【答案】A【点睛】此题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；11．【2023河北石家庄二中八月高三模拟】对，不等式恒成立，那么的最大值是()A．1B．C．D．【答案】C【解析】不等式可化为，那么，所以当时，，即，所以，令，那么令可得，故，即，应选答案C．【名师点睛】解答此题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是．12．【2023河南南阳一中高三上学期第二次考试】函数，假设在定义域内恒成立，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】C【方法点晴】此题主要考查“别离常数〞在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比拟求参数需注意假设函数在区间上是单调的，那么该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，此题是利用方法①求解的．13．【2023上海普陀区高三二模】设，假设不等式对于任意的恒成立，那么的取值范围是．【答案】【方法点晴】此题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①别离参数恒成立(可)或恒成立〔即可〕；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数．此题是利用方法③求得的最大值．14．【2023届河南南阳一中高三8月测试】假设正实数满足，且不等式恒成立，那么实数的取值范围是．【答案】15．【2023河南洛阳高三期中考试】函数．〔1〕假设函数在和处取得极值，求的值；〔2〕在〔1〕的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．试题解析：〔1〕由题可得，，∵函数在和处取得极值，∴是方程的两根，∴，∴；〔2〕由〔1〕知，，当变化时，随的变化如下表：-2-123+0-0+增减增∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，∴，∴的取值范围为．16．【2023河北衡水中学高三上学期二调考试】函数，．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】〔1〕见解析〔2〕2〔2〕由，得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．令，那么，令，那么在区间内单调递增，又，所以存在唯一的，使得，且