第十三讲协方差相关系数和矩的概念演示文稿

第十三讲协方差相关系数和矩的概念演示文稿1第一页，共二十四页。2优选第十三讲协方差相关系数和矩的概念第二页，共二十四页。问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系第三页，共二十四页。协方差、相关系数和矩第十三讲第四页，共二十四页。一、协方差的定义与性质1、定义称为X,Y的协方差.记为1）若(X,Y)为离散型r.v.，则2）若(X,Y)为连续型r.v.，则第五页，共二十四页。2、协方差的简单性质1）2）3）第六页，共二十四页。

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特别地第七页，共二十四页。若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系第八页，共二十四页。协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.第九页，共二十四页。二、相关系数的定义与性质1、定义若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y的相关系数，记为第十页，共二十四页。2、相关系数的性质1）2）存在a（不为0）及b使P(Y=aX+b)=1注：1）的大小是X,Y之间线性关系的一种度量。2）称X,Y不相关，不相关表示X,Y之间不存在线性关系，但不排除有其他关系。3）称X,Y完全线性相关（详细证明自看,见教材.）第十一页，共二十四页。3）X,Y线性不相关X,Y相互独立X,Y线性不相关即由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.第十二页，共二十四页。例

设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,因而=0，即X和Y线性不相关.但X和Y不独立.不难求得，Cov(X,Y)=0，事实上，X的密度函数第十三页，共二十四页。但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.第十四页，共二十四页。三、有关例题求Cov(X,Y),XY10

pqXP10

pqYP例1已知

X,Y的联合分布律为0<p<1p+q=1解10

pqXYPXY1010

p0

0

q第十五页，共二十四页。第十六页，共二十四页。例2

设~U(0,2),X=cos

,Y=cos(+

),

是给定的常数，求XY解第十七页，共二十四页。第十八页，共二十四页。若若有线性关系若线性不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系第十九页，共二十四页。例3

设X,Y相互独立，且都服从

N(0,

2),

U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为常数，且都不为零，求UV解由第二十页，共二十四页。而故第二十一页，共二十四页。例4

设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,

求

XZ解第二十二页，共二十四页。例

随机向量(X,Y)~f(x,y)=求X,Y的相关系数ρXY.解=7/