2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第18讲 特殊三角形的存在性(含详解)

第18讲特殊三角形的存在性

本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题.要

用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利用等

腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解.

模块一：存在全等三角形

知识精讲

全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离

公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标.

例题解析

例1.如图，直线48与x轴、y轴分别交于点4点8,已知4(2,0),8(0,4),线段09

的两端点在坐标轴上滑动(点。在y轴上，点〃在x轴上)，且处AB.

(1)求直线^的解析式；

(2)当点C在y轴负半轴上，且△皈和历全等时，求点〃的坐标.

例2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点4点氏点

P〈x,力是直线力8上一动点(点/不与点1重合)，点C的坐标为(6,0),0是坐标原点，

设△ACO的面积为S.

(1)求S与x之间的函数关系式；

(2)当点/运动到什么位置时，的面积为15；

(3)过点乍16的垂线与x轴、y轴分别交于点£，点F,是否存在这样的点儿使△

戊修△故!?若存在，求出点夕的坐标；若不存在，请说明理由.

例3.(2018•上海八年级期末)如图，一次函数尸2x+4的图象与x,y轴分别相交于点

A,B,以四为边作正方形力及力(点，落在第四象限).

(1)求点4B,〃的坐标；

(2)联结施；设正方形的边切与x相交于点七点M在x轴上，如果与全

等，求点”的坐标.

模块二：存在等腰三角形

知识精讲

等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要

学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思

想，结合题目中的已知条件建立等量关系.

例题解析

例1.直线y=+b与x轴、y轴分别交于点4、氏点力坐标为(-3,0),NOA8=30将

x轴所在的直线沿直线AB翻折交y轴于点C,点厂是直线46上一动点.

/<4\Ox

(1)求直线45的解析式；

(2)若求O尸的长；

(3)若AA"是等腰三角形，直接写出点F的坐标.

例2.如图，平面直角坐标系中，函数y2x+12的图像分别交x轴、y轴于4、6两点，过点

A的直线交y轴的正半轴于点M,且点M为线段加的中点.

(1)求直线4"的解析式.

(2)P为直线⑷/上的一个动点，是否存在这样的点R使得以只从M为顶点的三角形为

等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

例3.如图，函数y=-与》+1的图像与x轴、y轴分别交于46两点，以线段四为边在

第一象限内作等边△4?，.

(1)求点C的坐标；

(2)将比1沿着直线45翻折，点C落在点〃处，求直线4〃的解析式；

(3)在x轴上是否存在£,使△/庞为等腰三角形?若存在，请直接写出点£的坐标；若不

存在，请说明理由.

例4.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线/：丫=-万工+"1与x轴、y轴的正

半轴分别相交于点从B,过点(7(—4,—4)作平行于y轴的直线交加于点〃，C决10.

(1)求直线/的解析式；

(2)求证：比'是等腰直角三角形；

(3)将直线/沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x,y轴分别相交于点4、

B',在直线切上存在点R使得B'户是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件

的点。的坐标.

例5.(2021・上海八年级期末)如图，在直角坐标平面内，点。是坐标原点，点A坐标为

（3,4）,将直线OA绕点0顺时针旋转45°后得到直线y="伙工0）.

（1）求直线OA的表达式;

（2）求左的值；

（3）在直线丁=履（攵20）上有一点8,其纵坐标为1.若x轴上存在点C,使AMC是

等腰三角形，请直接写出满足要求的点。的坐标.

例6.（2018•上海八年级期末）如图，在梯形被力中，AD//BC,AB=CD,BC=W,对角

线〃；物相交于点0,且月入物，设△/如的面积为y.

(1)求/胸的度数;

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)如图1,设点只0分别是边比、四的中点，分别联结砒OQ,PQ.如果△勿”是等

腰三角形，求49的长.

图：!

例7.(2017•上海八年级期末)已知:如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB_LBC,

AB=2&.E是边AB的中点，联结DE、CE,且DELCE.设AD=x,BC=y.

(1)如果NBCD=60°,求CD的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)联结BD.如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值.

模块三：存在直角三角形

知识精讲

直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确

定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三

角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要

用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力.

例题解析

例1.如图，矩形加比'在直角坐标系中，已知点4的坐标为(0,3),点6的坐标为(6,0),

直线片』x与/C交于点D.有一动点尸从。出发，沿线段如以每秒2个单位长度的速度运

4

动，当点;^运动到点8时，点夕停止运动，设运动时间为r秒.

(1)当力为何值时，AOEP为直角三角形？

(2)当t为何值时，AOEP为等腰三角形？

例2.如图所示，直线£与工轴、y轴分别交于4(6,0)、B(0,3)两点，点C(4,0)

为x轴上一点，点P在线段46(包括端点4B)上运动.

(1)求直线L的解析式

(2)当点夕的纵坐标为1时、按角的大小进行分类，请你确定△身。是哪一类三角形，并

说明理由.

(3)是否存在这样的点只使得为直角三角形?若存在，求出点夕的坐标；若不存在，

请说明理由.

例3.如图，在平面直角坐标系中，直线/经过点1(2,-3),与x轴交于点6,且与直线

产34平行.

(1)求直线/的函数解析式及点5的坐标;

(2)如直线/上有一点材(a,-6),过点"作x轴的垂线，交直线于点儿在线段网,上求

一点只使是直角三角形，请求出点尸的坐标.

例4如图1,△/8C是边长为2省的等边三角形，已知G是边力6上的一个动点(G点

不与46点重合)，旦GE"AC,GF//BC,若4G=x,8g=y.

(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

(2)点G在运动过程中，能否使△斯成为直角三角形，若能，请求出4G长度；若不能,

请说明理由；

(3)点C在运动过程中，能否使四边形沏构成平行四边形，若能，直接写出区际的值;

若不能，请说明由.

备用图

例5.如图1,已知。为正方形4?切对角线的交点，点《在边G?的延长线上，联结EO,OF

，施1交为延长线于点尸，联结外

(1)求证：EO=FO；

(2)若正方形的边长为2,0E=20A,求应1的长；

(3)当您'=2%时，将△网应绕点。逆时针旋转到△£如，使得/以㈣=30°时，试猜想并

证明△/必是什么三角形.

备用图

随堂检测

a

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+l与y=-1》+3交于点分别交x轴于点

8和点C,点、〃是直线1。上的一个动点.

(1)求点4、B、C的坐标

(2)当必为等腰三角形时，求点〃的坐标

2.如图所示，一次函数丫=3*+2的图像与x轴、y轴分别交于尔B,以49为边在第二

象限内作等边△45C

(1)求点C的坐标；

(2)在第二象限内有一点"(卬，0),使=k移c，求点”的坐标；

(3)如图所示，点C(26，0),在直线18上是否存在一点只使尸为等腰三角

第18讲特殊三角形的存在性

本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题.要

用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利用等

腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解.

模块一：存在全等三角形

知识精讲

全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离

公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标.

例题解析

例1.如图，直线48与x轴、y轴分别交于点4点8,已知4(2,0),8(0,4),线段09

的两端点在坐标轴上滑动(点。在y轴上，点〃在x轴上)，且处AB.

(1)求直线^的解析式；

(2)当点C在y轴负半轴上，且△皈和历全等时，求点〃的坐标.

【难度】★★

【解析】(1)•.•直线4?与x轴、y轴分别交于点4点5,

且4(2,0),6(0,4),

...利用待定系数法，可得：

直线AB的解析式为y=-2x+4：

(2)..3(2,0),5(0,4),

.•.即04=2,03=4.

「△Q勿和△灰心全等，

/.0D=2或0D=4,

〃点的坐标为(2,0)或(4,0)或(一2,0)或(一4,0).

【总结】本题一方面考察一次函数解析式的求法，另一方面考察有关全等的运用，山于没有

对应关系，注意要分类讨论.

例2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点4点8,点

P(x,y)是直线上一动点(点〃不与点/重合)，点C的坐标为(6,0),0是坐标原点，

设△△(力的面积为£

(1)求S与x之间的函数关系式；

(2)当点/运动到什么位置时，△R%的面积为15：

(3)过点尸作45的垂线与x轴、y轴分别交于点£，点F,是否存在这样的点P,使4

瓦!侬△加?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【解析】(1)；直线y=-x+8与x轴交于点4

A(8,0).

,:点、P(x,y)是直线y=-x+8tl一动点，

，y=-x+8.

当x<8时，S=—x6x(-x+8)=-3x+24,

当x>8时，S=-x6x(x-8)=3x-24；

(2)令S=15,

当x<8时，S=—3x+24=15,解得：x=3,此时，P(3,5),

当x>8时，S=3x—24=15,解得：尤=13,此时，P(13,一5)：

(5),:丛EO阳ABOA,：.EO=BO^8,AO=AO=8,

当£(8,0),尸(0,—8)时，则直线£户的解析式为y=x-8,

y=-X+8x=8/、

令尸x-8,解得:1，二「⑻。)；

当£(—8,0),MO,8)时,则直线正的解析式为y=%+8,

fy=—x+8[x=0/、

令Q，解得：Q，，尸°，8・

(y=x+8[y=8

综上，当△仇修△加时，点P的坐标为(0,8)或(8,0).

【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用，注意进行分类讨论.

例3.(2018•上海八年级期末)如图，一次函数产2点4的图象与x,y轴分别相交于点

A,B,以相为边作正方形(点〃落在第四象限).

(1)求点儿B,〃的坐标；

(2)联结OC,设正方形的边切与x相交于点七点"在x轴上，如果△/应与△。物全

等，求点M的坐标.

【答案】(1)[(-2,0),B(0,4),D(2,-2)；(2).1/(5,0).

【分析】(1)由于一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B,所以利用函数解析

式即可求出A、B两点的坐标，然后作DF^x轴于点F,由四边形ABCD是正方形可以得到

ZBAD=ZAOB=ZAFD=90°,AB=AD,接着证明aBAOgAADF,最后利用全等三角形的性质可

以得到DF=A0=2,AF=B0=4,从而求出点D的坐标;

(2)过点，作轴于G,连接比，作◎/!.况1交x轴于M,用求点D的方法求得点C的

坐标为(4,2),得出0C=2不，由A、B的坐标得到AB=26,从而OC=AB=AD,根据△

ADE与2COM全等,利用全等三角形的性质可知OM=AE,即0A=EM=2,利用C、D的坐标求出

直线CD的解析式，得出点E的坐标，根据EM=2,即可求出点M的坐标.

【详解】解：(1)•••一次函数片2广4的图象与x,y轴分别相交于点4B,

：.A(-2,0),B(0,4),

：.OA=2,0乐4,

如图1,过点，作"轴于F,

图1

:./DAF~NAg9Q°,

:四边形/腼是正方形，

：.AD=AB,NBA庐90°,

:.NDARNBA0=9Q°,

ZAD/^ZBAO,

ZAFD=NBOA

在△4必和△物。中，,ZADF=ZBAO,

AD=AB

.,.△4&△切。（A4S）,

:.DF=0A=2,/后勿=4,

OF^AF-0^2,

•••点〃落在第四象限，

图2

(2)如图2,过点。作3_Ly轴于G,连接0C,作。忆〃。交"轴于M,

同(1)求点〃的方法得，＜7(4,2),

：.00依—=2亚,

"：A(-2,0),B(0,4),

庐2G

•.•四边形1腼是正方形，

:"D=AB=2亚=0C,

•.•△4庞与△口加全等，且点必在x轴上，

.，.△和匡△用/,

OM=AE,

,：0后OE+EM,AE=OE+OA,

；.£人勿=2,

；C(4,2),D(2,-2),

直线⑶的解析式为尸2尸6,

令片0,

，2『6二0,

・,•43,

：.E(3,0),

・•・〃伊5,

.,.；!/(5,0).

故答案为⑴A(-2,0),B(0,4),1)(2,-2)；(2)M(5,0).

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与

性质.

模块二：存在等腰三角形

知识精讲

等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要

学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思

想，结合题目中的已知条件建立等量关系.

例题解析

例1.直线y=+b与x轴、y轴分别交于点/、B,点4坐标为(-3,0),NOA8=30将

x轴所在的直线沿直线AB翻折交y轴于点C,点厂是直线4?上一动点.

(1)求直线他的解析式；

(2)若CFJ_AB,求OF的长；

(3)若AA。尸是等腰三角形，直接写出点尸的坐标.

【难度】★★

【解析】(1):点/坐标为(-3,0),ZOAB=30,

：.B(0,V3)，

直线AS的解析式为：y=^x+6

3

(2)延长"交x轴与点〃

轴所在的直线沿直线4?翻折交y轴于点C,

Z.CAO=2ZBAO=60°.；.ZACO=30°.

,：A(-3,0),AC(0,35/3),AC=6.

VZCAF^^DAF,AF^AF,ZAFC=ZAFD=90,

△CAP^△DAF,：.CD=AC=&.

,：NC4O=60°,

...△C仞为等边三角形，CF=DF.

:ZCOD=90°,

OF=—CD=1x6=3；

22

(3):点尸是直线AB上一动点,

I.设厂+.

I3J

当力。=8时，3=卜+百］，解得：相=,或%=—3,

此时空）或仆-3,0）（舍去）；

当40/尸时，3=卜+3丫+13+可，解得：^=|^3-3m/«=-|73-3,

此时百-3，））或尸（_）有_3，-2）；

当7<19="'时，^m2+4•优+6）=J（nt+3）2+（4^/«+百~,解得：m=-^,

此时尸卜（，年.

或（卡-3目或（一京-3,-|）或卜|，4

综上所述：点尸的坐标为:

【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等

腰三角形的问题转化为解方程进行求解.

例2.如图，平面直角坐标系中，函数片2户12的图像分别交x轴、y轴于48两点，过点

A的直线交y轴的正半轴于点M,且点M为线段加的中点.

（1）求直线4"的解析式.

（2）P为直线4材上的一个动点，是否存在这样的点尸，使得以只从材为顶点的三角形为

等腰三角形，若存在，求出点夕的坐标；若不存在，请说明理由.

【难度】★★

【解析】（1）•••函数/之"12的图像分别交x轴、y轴于48两点,

：.B（0,12）,A（-6,0）,

丁点财为线段班的中点，

AJ/（0,6）,

・♦・直线4犷的解析式为y=%+6；

（2）,・•尸为直线如/上的一个动点，

:・Pkm,m+6），

当时，6=ylm2+m2,解得：优=±3五，

此时〃（3人，3五+6）,或P（-3底，-372+6）；

当=8尸时，6=，加2+标-6）2,解得：加=0或相=6,

此时尸（0,6）（舍去）或一（6,12）；

当MP=BP时,小川+/=荷+佃-6）2,解得：m=3,

此时此（3,9）；

综上所述：。（3后，372+6）或。（-3及，-372+6）或。（6,12）或。（3,9）.

【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等

腰三角形的问题转化为解方程进行求解.

例3.如图，函数y=-与x+1的图像与x轴、y轴分别交于4、8两点，以线段48为边在

第一象限内作等边△/8C

（1）求点。的坐标；

（2）将沿着直线4?翻折，点。落在点〃处，求直线49的解析式；

（3）在x轴上是否存在其使△力朦为等腰三角形?若存在，请直接写出点£的坐标；若不

存在，请说明理由.

【难度】★★★

【解析】（1）♦.♦函数y=-曰x+1的图像与x轴、y轴分别

交于/、8两点，,A（K，O），8（0,1），

：.0A=£,OB=1,BA=2,ZBAO=30°.

；等边△皿C,AZC45=60°.CA=2.

"：ZBAO=30°,，ZCAO=90。，,C(G,2)；

(2),：ZCBA=ZOBA,ABA.CD,.,"在y轴上,

,：BC=BD，二£>(0,-1),

.•.直线/〃的解析式为：^=—X-1：

3

(3)设/(机，0),则也=2,AE=’(，"—6],DE7m2+1.

当=时，2=J(/n-6],解得：〃?=有±2,

此时£（再+2,0）,或少（百一2,0）；

当45=£历时，2=加+1,解得：m=上B,

此时6（-6，0）,或£（6，0）（舍去）;

当AE=OE时，⑸7m2+i,解得：根=2^,此时£（日，。），

综上所述，满足条件的E点坐标为：

（V3+2,0）或（-73-2,0）或（-60）或（―,0）.

3

【总结】本题主要考察一次函数解析式的求法和等腰三角形分类讨论，注意对直角三角形性

质的运用.

例4.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线/：y=-；x+机与x轴、y轴的正

半轴分别相交于点4B,过点。（一4,一4）作平行于y轴的直线交加于点〃上10.

（1）求直线/的解析式；

（2）求证：是等腰直角三角形；

（3）将直线/沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x,y轴分别相交于点/'、

B',在直线切上存在点只使得△©B,尸是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件

的点〃的坐标.

【难度】★★★

【解析】(1)•・•过点。(-4,—4)作平行于y轴的直线

交力占于点〃・・・。(-4,2+加).

VG9=10,・・・2+m+4=10,解得：6=4,

二・直线/的解析式为：y=―-^+4；

2

(2)1•直线/：y=-；x+4与x轴、y轴的正半轴分别相交于点4、B,

/.J(8,0),6(0,4),

:・BC=4亚,BA=4后,AC=4^/1()-

BC2+AB2=AC2,AB=BC,

是等腰直角三角形；

(3)鸟(-4,8),4(T,72),吕(-4,4).

(通过S'。是等腰直角三角形构造全等三角形.)

【总结】考察等腰三角形的证明及一次函数解析式的确定.

例5.(2021・上海八年级期末)如图，在直角坐标平面内，点。是坐标原点，点A坐标为

(3,4),将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y=履(左。0).

(1)求直线OA的表达式；

(2)求女的值;

(3)在直线丁=丘(左。0)上有一点8,其纵坐标为1.若“轴上存在点C,使AAbC是

等腰三角形，请直接写出满足要求的点。的坐标.

4175

【答案】(1)y=；x：(2)k=-；(3)当AABC是等腰三角形时，点C的坐标为(?，

37o

0）或（6,0）或（7+26，0）

【分析】(1)利用待定系数法求解；

(2)如图，作AE_LOA交直线y=kx于E,AD_Lx轴于D,EH_LAD于H,证明△0AD24

AEH,得到AH=0D=3,EH=AD=4,即可求出点E的坐标求解;

(3)先确定点B与点E重合，即B(7,1),由勾股定理求出AB=J(7—3)?+(4—I)?=5,

分三种情况：①当AC=BC时，②当AB=AC=5时，③当AB=BC=5时，根据等腰三角形的性质

求解.

【详解】(1)设直线0A的解析式为y=mx,将点A坐标代入，得

3m=4,

,4

解得IIF—，

3

4

・•・直线0A的解析式为y=-x；

3

(2)如图，作AELOA交直线y=kx于E,ADJ_x轴于D,EHLAD于H,

VZA0E=450,NOAE=90。，

・・・NAE0=NA0E二45。，

AOA=AE,

VADlx,,EH±AD,

・・・ZAD0=ZAHE=Z0AE=9()°,

・・・ZOAD+ZHAE=ZHAE+ZAEII=90°,

ZOAD=ZAE1I,

.,.△OAD^AAEH,

.\AH=0D=3,EH=AD=4,

・・・HD=L

・••点E的坐标为(7,1),

将点E的坐标代入y二kx中，得7k=1,

解得k=—；

7

(3)•••点B在直线y=1x上，纵坐标为1,

7

.•.点B与点E重合，即B(7,1),

VA(3,4),B(7,1))

•••AB=7(7-3)2+(4-1)2=5，

分三种情况：

①当AC=BC时，作CMJ_AB,则AM=BM,

AM(5,2.5),

VCM/70A,

4

•••设直线CM的解析式为y=—x+n,

3

.205

••---F〃=一,

42525

当y=0时，-x----=0,解得x二—,

368

25

，点C的坐标为(一,0)；

8

VOA=AB,

AC=OA,

/.0C=6,

・•・点C的坐标为(6,0)；

③当AB=BC=5时，作BN_Lx轴于N,

VON=7,BN=1,BC=5,

•*-CN=>]BC2-BN2=,52=276，

••.0C=0N+CN=7+2V6.

二点C的坐标为(7+276.0),

综上，当AABC是等腰三角形时，点c的坐标为(竺，0)

或(6,0)或(7+2指，0).

A

NCx

【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾

股定理，等腰三角形的性质，这是一道一次函数的综合题，解题中注意运用分类思想解决

问题.

例6.（2018•上海八年级期末）如图，在梯形18⑦中，AD//BC,AB=CD,对角

线芯、劭相交于点0,且他1微设A4/的面积为y.

（1）求/胸的度数；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图1,设点只0分别是边6C、48的中点，分别联结例OQ,PQ.如果△勿>0是等

腰三角形，求力〃的长.

【答案】（1）乙眦三45；（2）尸gx（x>0）；（3）满足条件的4。的值为10&-10.

【分析】（1）过点D作AC的平行线DE,与BC的延长线交于E点，只要证明ABDE是等腰

直角三角形即可解决问题；

（2）由（1）可知：/XBOC,aAOD都是等腰直角三角形，由题意0A=*x,0B=5&,根

据y=L（）A・0B计算即可；

2

（3）分三种情形讨论即可解决问题；

【详解】

（1）过点〃作/C的平行线DE,与6c的延长线交了E点.

D

a

图i

•.•梯形/6G9中，AD//BC,AC//DE,

...四边形/陶为平行四边形，AC=DE,AD=CE,

'：AB^CD,

梯形/以力为等腰梯形，

：.AC=BD,

：.BD=DE,

又ACLBD,

NBOC=90°

'：AC//DE

，NE厉=90°,

△HE是等腰直角三角形，

:.NDBC=45°.

(2)由(1)可知：XBOC,△/勿都是等腰直角三角形,

"：AD=x,芯=10,

如=5夜,

..y=-OXOB=—XX5V2=-X(X>0).

2222

①当PQ=PO=』BC=5时,

2

VAQ=QB,BP=PC=5,

1

APQ//AC,PQ=-AC,

2

/.AC=10,：0C=5夜，

；.0A=10-55/2,

.*.AD=0OA=1O及-10.

②当0Q=0P=5时，AB=20Q=10,此时AB=BC,ZBAC=ZBCA=45",

AZABC=90°,同理可证：NDCB=90°,

...四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在.

③当0Q=PQ时，AB=20Q,AC=2PQ,

.*.AB=AC,

.•,ZABC=ZACB=45°,

.,.ZBAC=90°=ZB0C,显然不可能,

综上所述，满足条件的AD的值为1072-10.

【点睛】本题考查四边形综合题、梯形、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会用

分类讨论的思想思考问题.

例7.(2017•上海八年级期末)已知：如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB±BC,

AB=2&.E是边AB的中点，联结DE、CE,且DE_LCE.设AD=x,BC=y.

(1)如果NBCD=60°,求CD的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)联结BD.如果4BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值.

F\

BC

【答案】(1)4；(2)x>0,且(3)

【解析】(1)首先过点D作DHLBC,垂足为点H,由AD〃BC,AB±BC,DH±BC,可求得DH

的长，然后设CH=x，则CD=2x,利用勾股定理即可求得方程:x2+(273)2=4一,解此

方程即可求得答案；

(2)首先取CD的中点F,连接EF,由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形

ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可得：(y-x)2+12=(x+y)2,继而求得答案；

(3)分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案.

解：(1)过点D作DHJ_BC,垂足为点H.

VAD//BC,ABXBC,DH1BC,

.*.DH=AB=2«,

在Rt/XDHC中,

VZBCD=60",

.,.ZCDH=30o.

；.CD=2CH,

设CH=x,则CD=2x.

利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2.

即得：x2+(25/3)Mx2.

解得x=2(负值舍去).

，CD=4；

(2)取CD的中点F,连接EF,

YE为边AB的中点，

.".EF=4-(AD+BC)=—(x+y).

22

VDE±CE,

.,.ZDEC=90°.

又；DF=CF,

:.CD=2EF=x+y.

由AB_LBC,DH1BC,得NB=NDHC=90°.

AAB/7DH.

又TAB二DH,

，四边形ABHD是平行四边形.

.•.BH=AD=x.

即得CH=|y-x|,

在Rt^DHC中,利用勾股定理，得CffWXD，

即得(y-x)2+12=(x+y)2.

解得尸2

X

...所求函数解析式为尸a.

X

自变量X的取值范围是x>0,且x?^y；

(3)当△BCD是以边CD为腰的等腰三角形时，有两种可能情况:CD=BD或CD=BC.

(i)如果CD=BD,由DHLBC,得BH=CH.即得y=2x.

利用y=—,得2x-^•

xx

解得玉=4，X2=-冷.

超=_半，且々=—乎不合题意，舍去.

经检验：x.->

2

.V6

••yr----；

2

(ii)如果CD=BC,则x+y=y.

即得x=0(不合题意，舍去),

“点睛”此题属于四边形的综合题.考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰

三角形的性质以及勾股定理等知识.注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思

想的

应用是解此题的关键.

模块三：存在直角三角形

知识精讲

直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确

定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三

角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要

用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力.

例题解析

例1.如图，矩形力加在直角坐标系中，已知点4的坐标为(0,3),点6的坐标为(6,0),

直线y=-x与AC交于一点、0.有一动点尸从。出发，沿线段加以每秒2个单位长度的速度运

4

动，当点夕运动到点8时，点尸停止运动，设运动时间为t秒.

(1)当力为何值时，AQEP为直角三角形?

【解析】(1)；点力的坐标为(0,3),点8的坐标为(6,0),

直线AB的解析式为),=wx+3

1c

y=——x+3

2x=2.4/、

令，3,则—8，••^（2.4,1.8）

当NOP£=90°时，OP=2t,P（2r,0）,

OE2+PE2=PO-,：.2.42+1.82+（2r-2.4）2+1,82=（2/）2,解得：r=1.875；

当NOPE=90。时，OP=2A,：.2t=2A,解得：r=1.2；

（2）当OE=PE时.，有三线合一可得：OP=2f=4.8,解得：f=2.4；

当OE=OP时，OP=OE=3,二f=L5：

当OP=PE时，Z=J（2.4-2Z）2+1.82,解得：r=0.9375.

【总结】考察等腰三角形和直角三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结.

例2.如图所示，直线A与x轴、y轴分别交于4(6,0)、B(0,3)两点，点C(4,0)

为x轴上一点，点。在线段46(包括端点4B)上运动.

(1)求直线L的解析式

(2)当点。的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△处。是哪一类三角形，并

说明理由.

(3)是否存在这样的点只使得为直角三角形?若存在，求出点一的坐标；若不存在，

请说明理由.

【难度】★★

【解析】(1)；直线£与》轴、y轴分别交于

A(6,0)、B(0,3)两点，

二直线L的解析式为y=—gx+3；

(2)当点尸的纵坐标为1时，P(4,l)

PC_Lx轴，

...△必，是直角三角形；

(3)当/OCP=90。时，尸(4,1)；

当/POC=90°时，，P(0,3)；

当NOPC=90°时，设彳机,-g机+3

,/OP2+PC2=OC2,

nr+3j+(/«-4)2+f/w+3j=42,

18

解得：m=2或m=一，

5

二P(2,2)或尸得外

综上所述，满足条件的点P的坐标为：尸(4,1)或尸(0,3)或P(2,2)或P慢切.

【总结】本题主要考察一次函数解析式的确定及直角三角形的分类讨论，注意对方法的归纳

总结.

例3.如图，在平面直角坐标系中，直线/经过点1(2,-3),与x轴交于点8,且与直线

尸3x-»平行.

3

(1)求直线/的函数解析式及点6的坐标；

(2)如直线/上有一点"(a,-6),过点M作x轴的垂线，交直线于点儿在线段上求

一点只使是直角三角形，请求出点一的坐标.

【难度】★★★

【解析】(1)•••直线/经过点/(2,-3),

且与直线片3x-§平行，

3

.•.直线/的函数解析式为y=3x-9,B(3,0)；

(2)•.,直线/上有一点.”(a,-6),.,.«=1

可设尸(1,y)

A-6<y<|

当期2+PB?=/V?2时，即i+(y+3F+4+y2=io,

解得：y=-l或y=—2,或尸(1,一2)：

^iPA2+Al32=PB2^,即l+(y+3)2+10=4+/,

解得：y=-[，；,-gj；

当尸32+钻2二92时，即4+y2+10=1+0+3)2,

解得：y=g,'P(I，g](舍去)

综上所述，P(1,-1)或「(1,一2)或《1,-1).

【总结】本题一方面考查两直线平行时，解析式满足的关系，另一方面考查直角三角形的分

类讨论，注意勾股定理的综合运用.

例4如图1,△45C是边长为26的等边三角形，已知G是边丝上的一个动点(G点

不与1、8点重合),且函y/GGF//BC,若S^=y.

(1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

(2)点。在运动过程中，能否使461跖成为直角三角形，若能，请求出长度；若不能,

请说明理由；

(3)点G在运动过程中，能否使四边形67诩构成平行四边形，若能，直接写出必沏的值；

若不能，请说明由.

【难度】★★★

【解析】(1)•••△胸是边长为2代的

等边三角形，且面GF//BC,

.•.△4环是等边三角形，△颇是等边三角形，

/.FG=AG=x,EG=BG=2y/3-x,ZEG尸=60°

Ay=-EG--FG=-(2y[3-A—x=--x2+-x(0<x<2百)；

222V7242

(2)当NER；=90°时，

VZEGF=60°,；.x=，(2百一x),解得：x=->/3；

2''3

当NfEG=900时，

VZEGF=60°,；.L=2当-x,解得：%=-73；

23

综上所述：AG=—V3AG=—>/3；

33

(3)若四边形两构成平行四边形，

则△矽'是等边三角形，△月力是等边三角形，

:.EF=FG=AG=GB=-AB=43，

2

•FGEF=NX百(=沙.

【总结】本题主要考察等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想

的运用.

例5.如图1,已知。为正方形加切对角线的交点，点£在边切的延长线上，联结EO,OF

，施'交加延长线于点汽联结跖.

(1)求证：EO=F@

(2)若正方形的边长为2,0E=20A,求应'的长；

(3)当您1=2刃时，将1绕点0逆时针旋转到凿，使得N6*=30°时，试猜想并

证明△/!态是什么三角形.

图1备用图

【难度】★★★

【解析】（1）•.•四边形/筋是正方形，

.,.403=90。，AO=BO,

ZOAF=ZOBE,

VZAW=90°,AZBOE=ZAOF,

'：ZBOE=ZAOF,AO=BO,

NOAE=NOBE,

：.AOBE经△OAF,二0E=OR

（2）•..正方形的边长为2,0E=20A,

：.OE=2-j2,：.OF=242,