2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习03 轴对称应用-最短距离问题(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题03轴对称应用一最短距离问题

考试时间：120分钟试卷满分：100分

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2020八上•喀喇沁旗期末）如图,△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC

的中点，P是4）上的一个动点，当PC与PE的和最小时，NECP的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2分）（2020八上,霍林郭勒期末）如图,ZAOB=35°,C为。8上的定点，M,N分别为射线OA、

03上的动点.当CM+MN的值最小时,ZOCM的度数为（)

A.35°B.20°C.45°D.55°

3.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，在AABC中，AB=AC，AD是其角平分线，E是边AB的中

点，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于8P+EP的最小值是（

A.BCB.CEC.ADD.AC

4.（2分）（2021八上.抚顺期末）如图，点M,N在直线1的同侧，小东同学想通过作图在直线1上确定一

点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）

5.（2分）（2021八上•绵阳期末）如图，四边形ABCD中，NA=/B=9（）°,ZC=60°，CD=2AD,

A8=4，点P是AB上一动点，则PC+PD的最小值是（）

B.6C.8D.1()

6.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边AABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点,

BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

B.8C.10D.12

如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是18,腰AC的垂直平

分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长

的最小值为（）

B.8.5C.10.5D.13.5

8.（2分）（2021八上•崇川期末）如图，AABC中，ADLBC,垂足为D,AD=BC,P为直线

BC上方的一个动点，\PBC的面积等于AABC的面积的-，则当PB+PC最小时，ZPBC的

2

度数为（）

B.45°C.60°D.90°

9.（2分）（2020八上•三台期中）如图，正方形ABCD的面积为16,AABE是等边三角形，点

E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为

C.4D.底

10.（2分）（2020八上•宁晋期末）如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=3，BC=4，

AB=5,AD平分ZCAB交BC于点D,E,F分别是AD,AC边上的动点，则CE+EF

的最小值为（）

评卷人得分

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2021八上•龙沙期中）如图，点尸是N4OB内任意一点，OP=8cm,点M和点N分别是射线

OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm,则ZAOB的度数是

（2分）（2021八上•汕头期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC

长为2,面积是4,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点，若点D为BC边的中点，点M

为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为

13.（2分）（2021八上.温州期中）如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AB=7,点D是AB的中点,

点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是PG上的一个动点，则PQ+QD的最小值

为.

14.（2分）（2021八上•苏州期中）如图，AB±BC,AD1DC,ZBAD=116°,

在BC、CD上分别找一点M、N,当AAMN周长最小时，/AMN+NANM的度数是

（2分）（2020八上•镇海期中）如图，点P是NAOB内任意一点，NAOB=30。点M

和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，APMN周长的最小值是6cm,则OP的长是.

16.（2分）（2021八上•铁东期中）如图，在RiABC中,ZACB=90°,

AC^BC,以3c为边在8c的右侧作等边4BCD，点E为8。的中点，点尸为CE上一动点，连结

AP,BP.当AP+BP的值最小时，NCBP的度数

17.（2分）（2021八上•宁波期中）如图所示，ZAOB=50°,ZBOC=30°,OM=11,0N=6.点P、Q分别

是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.

18.（2分）（2021八上.青羊月考）如图，在矩形ABCD中，AB

=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2,四边形APQE的周长最小值

为.

（2分）（2020八上•温州月考）如图,在四边形ABCD中,NC=72。,

ZB=ZD=90°,E,F分别是DC,BC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为.

20.（2分）（2020八上•北京期中）如图，已知等边AABC中，AD±BC,AD=2若点

P在线段AD上运动，当-AP+BP的值最小时，AP的长为

2

评卷人得分

三.解答题（共7小题，满分60分）

21.（5分）（2018八上•北京月考）点P、Pi关于OA对称，P、P2关于OB对称，PR交OA、OB于M、N,

若PIP2=8,则AMPN的周长是多少？

（10分）（2021八上•义乌期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到

河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水,

铺设水管的费用为每千米3万元.

B

口（1）（5分）请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最少.（不写

作法，保留作图痕迹）

（2）（5分）最低费用为多少？

23.（10分）（2021八上•海珠期末）已知：如图，AABC中，AB=AC,/A=45。，E是AC上的一点，Z

1

ABE=—/ABC,过点C作CDJ_AB于D,交BE于点P.

3

（1）（3分）直接写出图中除AABC外的所有等腰三角形;

2

（3）（4分）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当ADHG周长取取小值时，求NHDG的度数.

24.（11分）（2020八上•襄汾期末）如图1和图2,P是直线m上一动点，A、B两点在直线m的

同侧，且点A、B所在直线与m不平行.

%

A•

⑴（3分）

-------m-------◎-m

PP

图1图2图3

当P点运动到R位置时，距离A点最近，在图1中的直线m上画出点4的位置;

（2）（4分）当P点运动到巴位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位

置;

（）（分）在直线m上是否存在这样一点?

34,使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？

若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由.（要求：不写作法，请保留作图痕迹）

25.（7分）（2021八上•五常期末）

（1）（3分）画图探究：如图①，若点A,5在直线m的同侧，在直线m上求作一点p,使

AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法;

.B

（2）（4分）实践运用:

m

图①图②

如图②，等边AABC的边BC上的高为6,AD是边BC上的中线，M是AO上的动点，E

是AC的中点，求EM+CM的最小值.

26.（7分）（2020八上.乌鲁木齐期末）（问题）

在AABC中，AC=BC,ZACB=90°，点E在直线BC上（B,C除外），分别经过点

E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点尸，研究AE和EF的数量关系.

某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用”从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是

BC中点时，只需要取AC边的中点G（如图1）,通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关

系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

（2）（4分）（数学思考）

那么点E在直线BC上（B,C除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从

“点E在线段BC上'"'点E在线段BC的延长线上”“点E在线段BC的反向延长线上”三种情

况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.

27.（10分）（2021八上•江阴期中）如图1,已知长方形ABCD,AB=CD=2,BC=AD=3,NA=NB=

ZC=ZD=90°,E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A—B—C—E

运动到E点停止，设点P经过的路程为x,AAPE的面积为y.

(1)(1分)当x=l时，y=

备用图

（2）（4分）如图2,求出当点P边BC时，用x的代数式表示y；

（3）（4分）如备用图，当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得4APE的周长最小？若存在，求出此

时NPAD的度数；若不存在，请说明理由.

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题03轴对称应用一最短距离问题

考试时间：120分钟试卷满分：100分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2020八上•喀喇沁旗期末）如图，AABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC

的中点，尸是4）上的一个动点，当PC与PE的和最小时，ZECP的度数是（）

A

30°B.45°C.60°D.90°

BDC

【答案】A

【完整解答】解：如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，

,△ABC是等边三角形，AD1BC,

・・・PC=PB,

.\PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值,

:△ABC是等边三角形，

:.ZBCE=60°,

VBA=BC,AE=EC,

・・・BE_LAC,

・・・ZBEC=90°,

AZEBC=30°,VPB=PC,

ZPCB=ZPBC=30°,

二ZECP=ZACB-ZPCB=30°,

故答案为：A.

【思路引导】连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，再利用等边三角形的性质得出NPCB=/PBC=30。,

即可解决问题。

2.（2分）（2020八上,霍林郭勒期末）如图,ZAOB=35°,C为。8上的定点，M,N分别为射线OA、

。8上的动点.当CM+MN的值最小时,ZOCM的度数为（)

A.35°B.20°C.45°D.55°

【答案】B

作点C关于OA的对称点E,过点E作EN1OC于点N,交OA于点M,

.\ME=MC,

；.CM+MN=EM+MN=EN,

根据垂线段最短，

EN最短，

ZAOB=35°,

ZENO=CFM=90°,

/.ZOMN=55°,NOCF=55°,

ZEMF=ZOMN=55°,ZE=ZMCE=35°,

二ZOCM=ZOCF-ZMCE=20°.

故答案为：B.

【思路引导】作点C关于OA的对称点E,过点E作ENLOC于点N,交OA于点M,此时

CM+MN=EM+MN=EN,最短，进而根据NAOB=35。，和直角三角形两个锐角互余即可求解。

3.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，在AABC中，AB=AC,AD是其角平分线，E是边AB的中点,

P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于3P+EP的最小值是（

A.BCB.CEC.ADD.AC

BD

【答案】B

【完整解答】解：如图，连接PC,

：AB=AC，AD是其角平分线,

BD

AADIBC,BD=CD,

:.PB+PE=PC+PE,

PC+PE>CE,

.♦.P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.

故答案为：B.

【思路引导】连接PC,根据等腰三角形三线合一的性质可得ADLBC,BD=CD,利用线段垂直平分线的性

质可得PB=PC,从而得出PB+PE=PC+PE,当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.

4.（2分）（2021八上•抚顺期末）如图，点M,N在直线1的同侧，小东同学想通过作图在直线1上确定

一点Q,使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（

0\

N

c.D.

0

【答案】c

【完整解答】作点M关于直线1的对称点M\再连接MN交1于点Q,则MQ+NQ=M，Q+NQ=M"N,由"两

点之间，线段最短“，可知点Q即为所求.

故答案为：C

【思路引导】先作点M关于1的对称点M，，连接MN交1于点Q,即可.

5.（2分）（2021八上•绵阳期末）如图，四边形ABCD中，NA=ZB=90°,ZC=60°,CD^2AD,

A3=4，点P是AB上一动点，则PC+PD的最小值是（）

B.6C.8D.10

【答案】a完整解答】作D点关TAB的对称点D,连接CD咬AB于P,P即为所求，此时PC+PD=PC+PD=CD1

根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小.

作D'E_LBC于E,则EB=D'A=AD.

VCD=2AD,

EBC

・・・DD‘二CD,

・・・NDCD'=NDDC

VZDAB=ZABC=90°,

・•・四边形ABED是矩形，

・・・DD，〃EC,D'E=AB=4,

・・・NDCE=NDDC,

JZD,CE=ZDCD,.

■:ZDCB=60°,

:.ZD'CE=30°,

，在RtAD'CE中,D'C=2D'E=2x4=8,

.・・PC+PD的最小值为8.

故答案为：C.

【思路引导】由轴对称的性质并结合题意作D点关于AB的对称点连接CD，交AB于P,P即为所求,

此时PC+PD=PC+PD三CD,根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小，所以在RMDCE中，只需求出

DC的值即可求解.

6.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边A/WC中,D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD±

的点，BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

A

B匕-----------------

A.7B.8C.10D.12

【答案】c

【完整解答】解：如图，

A

//>DvMBC是等边三角形，

/.BA=BC，

YD为AC中点,

ABD1AC，

-：AQ=4,QD=3,

AD=DC=AQ+QD=J,

作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小值

PE+QE=PE+EQ'=PQ',

•.AQ=4,AD=DC=1,

..QD^DQ'=3,

.-.CQ'=BP=4,

：.AP=AQ=IO,

vZA=60°,

：.^APQ是等边三角形，

.•.PQ，=E4=10,

APE+QE的最小值为10.

故答案为：C.

【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q：连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小

值PE+QE=PE+EQ，=PQ，,进而判断AADQ，是等边三角形，即可解决问题.

7.（2分）（2021八上•江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是18,腰AC的垂直平

分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则4CDM周长

的最小值为（）

A.7.5C.10.5D.13.5

【答案】D

【完整解答】解：如图，连接AM、AD

c

，CM=AM

CM+MD=AM+MD>AD

即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长

VACMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD

.•.△CMD的周长的最小值为AD+CD

：D为BC的中点，AB=AC

CD——BC=1.5,AD_LBC

2

S=—x3xAD=18

A/AIDRCr2

；.AD=12

/.AD+CD=12+1.5=13.5

即ACDM周长的最小值为13.5

故答案为：D.【思路引导】连接AM、AD,由线段垂直平分线的性质可得CM=AM,当A、M、D三点在

一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性

质可得。£>=48。=1.5,AD1BC,利用AABC的面积可求出AD的长，从而求出此时^CDM的周长

2

即可.

8.（2分）（2021八上.崇川期末）如图，AABC中，ADVBC，垂足为D,AD=BC,P为直线

BC上方的一个动点，APBC的面积等于MBC的面积的-，则当PB+PC最小时，ZPBC的

2

度数为（）

A

/次、A.30°B.45°

C.60°D.90°

D

【答案】B

【完整解答】解：•「SAPBCU—SAABC，AD_LBC，

2

二P在与BC平行，且到BC的距离为-AD的直线1上，如图,

2

・・・1〃BC,

作点B关于直线1的对称点B;连接BC交1于P,

贝IJBB,JJ,PB=PB;此时点;P至l」B、C两点距离之和最小,

作PM_LBC于M,则BB，=2PM=AD,

VAD±BC,AD=BC,

ABB'=BC,BB'IBC,•・.△BBC是等腰直角三角形，

/.ZBr=45°,

・.・PB=PB',

・・・NPBB'=NB'=45。，

.\ZPBC=90o-45°=45°；

故答案为：B.

【思路引导】P在与BC平行，且到BC的距离为LAD的直线1上，如图，作点B关于直线1的对称点B，，

2

连接BC交1于P,此时P到B、C两点距离之和最小，作PM1BC于M,则BB，=2PM=AD,进而得到ABBC

是等腰直角三角形，据此解答即可.

9.（2分）（2020八上•三台期中）如图，正方形ABCD的面积为16,AABE是等边三角形，点E在

正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）.

A.瓜B.3C.4D.V32

\C

【答案】C

【完整解答】连接BD、PB、BD关于AC对称.

:.PB=PD.

X

---------------^C

APD+PE=PB+PE，当B、P、E三点共线得PD+PE最小.

：.（PD+PE）^n=BE=AB=4,选C.

【思路引导】连接BD、PB，由于BD关于AC对称，可得PB=PD,由于PD+PE=PB+PE,

可得当B、P、E三点共线得PD+PE最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.

10.（2分）（2020八上.宁晋期末）如图，在Rt^ABC中，NAC8=90°,AC=3,BC=4,

AB=5,AD平分ZCAB交BC于点D,E,F分别是AD，AC边上的动点，贝UCE+EF

的最小值为（）

【答案】B

【完整解答】解：如图，在AB上取点尸'，使A尸，连接EF'.过点C作CHLAB,

垂足为H.

AD平分ZCAB,

.••根据对称可知EF=EF'

'：S^c=^AB-CH^ACBC,

ACBC

..Cn=-----=—12.

AB5

•：EF+CE^EF'+EC,

12

...当点C、E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为y.

故答案为：B.

【思路引导】在AB上取点产，使瓶'=瓶，连接EF'.过点C作CHA.AB,垂足为H.

由AO平分NC4B及对称性，可得EP=EF'，由5MBe=gAC-BC求出CH,当点C、E、

F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为CH的长.

填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2021八上•龙沙期中）如图，点尸是NAOB内任意一点，。尸=8cm,点M和点N分别是射线

OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm,则/AO2的度数是.

A【答案】30°

【完整解答】解：分别作点。关于08、04的对称点C、D,连接CD,

分别交04、08于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:

点P关于OA的对称点为D,

:.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

•••点P关于OB的对称点为C,

：.PN=CN,OP=OC,NCOB=NPOB,

：.OC=OP=OD,ZAOB=-ACOD,

2

△PMN周长的最小值是8c%,

：.PM+PN+MN=S,

,DM+CN+MN=8,即CD=8=0P,

：.OC=OIACD,即△0C£＞是等边三角形，

,NCW=60。，

二ZAOB=30°,

故答案为：30°.

【思路引导】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D,连接CD,分别交04、OB于点M、N,连接0C.

0D、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,0P=0D,ZDOA=^POA；PN=CN,OP=OC,NC0B=

NPOB,得出OC=OP=。。，ZAOB=-ACOD,证出△OCD是等边三角形，得出/COZ）=60。，即可得出

2

结论。

12.（2分）（2021八上.汕头期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2,面积是4,腰AC的垂直平

分线EF分别交AC,AB边于E,F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周

长的最小值为_________.

【答案】5

【完整解答】VEF是AC的垂直平分线

:.A、C关于EF对称

连接AD交EF于M点

&则CM+MD最小值为AD

二•等腰三角形ABC中，D是BC中点

AAD1BC

•.•等腰三角形ABC面积为4

：.-BCAD=4

2

AAD=4

/.△CDM周长的最小值=4+1=5

所以答案为5

【思路引导】连接AD交EF于M点，则CM+MD最小值为AD,因为等腰三角形ABC中，D是BC中点，

得出ADLBC,由等腰三角形ABC面积为4,得出AD的值，由此得出答案。

13.（2分）（2021八上•温州期中）如图,在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AB=7,点D是AB的中点，

点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是PG上的一个动点，则PQ+QD的最小值

为_________

【答案】3.5

【完整解答】解：如图，连接CQ,连接CD交FG于Q，,

VFG是线段CP的垂直平分线,

/.PQ=CQ,

.♦.PQ+QD=CQ+DQ,

...当C、Q、D在同一条直线时，PQ+QD最短,

；D为AB的中点，ZACB=90°,

ACD=-AB=3.5.

2

故答案为：3.5.

【思路引导】连接CQ,连接CD交FG于Q，，根据垂直平分线的性质可知PQ=CQ,则当C、Q、D在同一

条直线时，PQ+QD最短，然后根据直角三角形斜边中线的性质，即可解答.

14.（2分）（2021八上•苏州期中）如图，AB±BC,AD_LDC,ZBAD=116°,在BC、CD上分别找一点

M、N,当AAMN周长最小时，NAMN+/ANM的度数是

【答案】128°

【完整解答】解：作A关于BC和CD的对称点A：A",连接A'A",交BC于M,交CD于N,

...AA”即为&AMN的周长最小值.

vZZMB=U6°,

ZAr+ZAr,=180°-ABAD=64°,

A!M=AM，A'N=AN,

AZMA!A=ZMAA，ZNAD=ZA",

又+=,ZNAD+ZA'=ZANM,

ZAMN+ZANM=ZA'+ZMAA1+ZNAD+ZA'^2(ZA'+ZA")=2x64°=128°,

故答案为：128。.

【思路引导】作A关于BC和CD的对称点A1,A",连接A'A",交BC于M,交CD于N,根据轴

对称的性质，使三角形的三边转化到在同一直线上，使AAMN的周长最小，然后利用三角形内角和定理求

H1ZA'+ZA"=64°,再推出NAMN+/ANM=2(NA4/A"),即可解答.

15.（2分）（2020八上•镇海期中）如图，点P是NAOB内任意一点，NAOB=30。点M和点N分别是射线

OA和射线OB上的动点，APMN周长的最小值是6cm,则OP的长是

【答案】6cm

【完整解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接

OP、OC、OD、PM、PN.

♦.•点p关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,

Oc

，PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；

♦.•点P关于OB的对称点为D,

，PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

/.OC=OD=OP,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

.♦.△COD是等边三角形，

.,.CD=OC=OD.

.".△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNNCD=6cm.

故OP=CD=6cm

故答案为：6cm.

【思路引导】设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M、N在CD上时，4PMN的

周长最小，故可求解.

16.（2分）（2021八上.铁东期中）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=BC,以BC为边

在3c的右侧作等边&BCD，点E为8。的中点，点P为CE上一动点，连结AP,BP.当AP+BP的

值最小时，/CBP的度数为.

B

【答案】15。

【完整解答】解：连接尸。、AD,设4。与CE交于点外,

•••△38是等边三角形，点E为6C的中点,

:.NCBD=NBCD=NBDC=60°,BC=CD,CELBD,BE=DE,

：.CE为线段BD的垂直平分线，

：.PD=BP,

,当点P运动时，AP+BP^AP+PD,|f[]AP+PD>AD,

二当点A、P、。共线时即点尸运动到Pi时，AP+8P有最小值，

连接88，则8外=。8,

NPiBD=ZP\DB,又/CBD=ZBDC,

:.NCBP尸NCDPi,

:AC=BC=CD,

：.NCDPkNCAD,即

延长AC至Q,

VZACB=90°,ZBCD=60°,

NDCQ=90°-60°=30°,又NDCQ=NCDPi+/CAD=2/CDP\,

：.ZCDPi=]5°,即/C3Pi=15°,

；•当AP+BP的值最小时，ZCBP=15°,

故答案为：15。.

【思路引导】连接尸。、AD,设A。与CE交于点丹，因为ABCD是等边三角形，点E为8c的中点，得出

CE为线段8。的垂直平分线，PD=BP,当点尸运动时•，AP+BP=AP+PD,TfiJAP+PD>AD,当点A、P、D

共线时即点P运动到P时，4P+8P有最小值，连接BP”则8P=DPi,得出NCOP产NCAO,延长AC至

。，得出/CBQ=15。，推出当AP+BP的值最小时，Z.CBP=15。。

17.（2分）（2021八上•宁波期中）如图所示，ZAOB-500,ZBOC=30°,OM=11,ON=6.点P、Q分别

是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.

【答案]V223

【完整解答】解：如图，作点N关于OA的对称点N',则NP=N'P，作点M关于OB的对称点

M'.贝iJMQ=M'Q,

A

:.MQ+PQ+NP-M'Q+PQ+N'P>M'N',

当N',P,Q,M'在同一条直线上时取最小值，连接ON',OM',过点N'作N'EIOM'交

0M'的反向延长线于点E,

-.■ZAOB=50°,ZOC=30°,

则ZN'OA=ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,NBOM'=NBOA=50。

ZN'OM'=IZN'OA+NCOB+ABOM'^4Q°+30°+50°=120°,

/EON'=60°•/N'E±OM'：.ZEN'O=30°•/ON'=ON=6,OM=OM'=11

.•.EO=gN'O=3在Rt^EON'中，EN=JoW-OE?=后4=3百

在Rt^EM'N'中，EM'=EO+OM'=3+n=\4,

MN=y]EN'2+EM'2=J（3g『+142=A/223故答案为：7223.

【思路引导】作点N关于OA的对称点N，，作点M关于OB的对称点M，，由两点之间，线段最短的性质

得：当N，、P、Q、M在同一条直线上时取最小值，连接ON,OM\过点N作N'ELOM，交OM，的反向延

长线于点E,得/NQA=20。，ZBOM,=ZBOA=50°,/NOM，=120。，NEON，=60。，ZENrO=30°,然后求

出EO的值，山勾股定理可得EN，，然后求出EM，，最后在RgEMN中，运用勾股定理求解即可.

18.（2分）（2021八上.青羊月考）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q

为BC边上的两个动点，且PQ=2,四边形APQE的周长最小值为.

【完整解答】解：在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于•点即为

Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.则

二DE=EC=2

•*-AE=yjAD2+DE2=2V17

：GH=DF=6,EH=EC+CH=2+4=6,NH=90。,

/GEH=45°,

EG=672，

：.四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP

=2V17+EQ+2+AP

=2A/T7+EQ+2+QG

=2V17+EG+2

=2VF7+2+6V2

故答案为：2j万+2+6正

【思路引导】在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q

点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，则

四边形APQF是平行四边形，得至I1PA=FQ=GQ,由中点的概念可得DE=EC=2,山勾股定理求出AE,进而

得到EG,据此求解.

19.（2分）（2020八上•温州月考）如图，在四边形ABCD中，NC=72°,NB=ND=90°,E,F分别

是DC,BC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为.

【答案】36°

【完整解答】解：如图，作A关于BC和CD的对称点A，和A"，连接AA”,交BC于点E,交CD于F,则

AA”即为AAEF周长的最小值,

VZC=72%

...NDAB=108。，

/AA，F+NA”=72。，

VZFA'A=ZFAB,ZA"=ZEAD,

，ZFAB+ZEAD=ZFA'A+ZA,,=72°,

ZEAF=ZBAD-（ZFAB+ZEAD）=108°-72°=36°.

故答案为：36°.

【思路引导】要使AAEF的周长最小，即利用对称的性质，使三角形的三边转化到一条直线上，为此，作

A关于BC和CD的对称点A，和A”，结合对称的性质和三角形内角和定理求出NEAF即可.

20.（2分）（2020八上•北京期中）如图，已知等边^ABC中，AD±BC,AD=2若点P在线段AD上运动,

当［AP+BP的值最小时，AP的长为；

2

B£I-------、c

D作BE_LAC于点E,交AD于点P,

:△ABC是等边三角形，

AD1BC,

・・・ZDAC=30°

1

・・・PE=-AP

2

当BP_LAC时，-AP+BP=PE+BP的值最小，

2

此时，EP=PD

而PE=—AP

2

224

・・・AP二-AD=-x2=-.

333

4

故答案为：一.

3

【思路引导】可以作BELAC于点E,交AD于点P,根据4ABC是等边三角形，AD±BC,得NDAC=30。，

所以PE=-AP,当BPJ_AC时，-AP+BP=PE+BP的值最小，根据等边三角形的性质即可求得AP的

22

长.

三.解答题（共7小题，满分60分）

21.（5分）（2018八上•北京月考）点P、Pi关于OA对称，P、P2关于OB对称，PR交OA、OB于•M、N,

若PIP2=8,则AMPN的周长是多少？

【答案】解:•••点P、Pi关于0A对称，P、P2关于OB对称,

p,

，PM=MPi,PN=NP?；

；.PIM+MN+NP2=PM+MN+PN=P|P2=8,

.•.△PMN的周长为8.

【思路引导】利用轴对称解决最短路径问题。

22.（10分）（2021八上•义乌期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧,它们到河流的距离AC=10千米，

BD=30千米