立足数学课堂实施有效教学

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总结得出两个计数原理，能初步领会应用原理解决计数问题的要领，在探究过程中感悟原理所蕴含的思想方法和探究问题的一般策略.

（二）学生学情分析

对计数问题，学生在不同的学段都有相应的接触，在必修2中学习“古典概型”时，突出了枚举法或树形图在计数中的作用;在生活中，学生也不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来斟酌和解决问题，具备了确定的归纳、类比才能，这些都是学生学习两个计数原理的认知根基.

原理虽然简朴简朴，但如何让学生借助已有的数学活动阅历，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，那么是本节课须突破的难点.

二、教学目标设置

（1）切实理解分类计数原理和分步计数原理，并能说出它们的联系与识别;

（2）能切实地选择两个原理解决一些简朴的实际问题;

（3）通过历经两个计数原理的察觉和探索过程，让学生领悟运用两个原理所包含的划归与转化、分类与整合、特殊到一般的思想方法以及以退为进的思维策略.

三、教学策略分析

本节课是概念原理课教学的典范，拟定采取以退为进的教学策略，采用“创设情境→问题导引→实例探究→抽象概括→辨析提升→原理应用→反思升华”的探究式教学法，紧紧围绕如何抽象、如何概括、归纳和怎样应用等问题开展.

四、教学设计与简录

（一）创设情境透露主题

播放儿歌《数鸭子》片段，门前大桥下，游过一群鸭，快来快来数一数，二四六七八，哎呀哎呀真呀真多呀，数不清毕竟多少鸭，数不清毕竟多少鸭！

教师：同学们，方才我们听的这首儿歌名叫《数鸭子》，你能说出歌词向我们呈现了怎样的

数学问题？

众生：数数问题.

教师：对，计数问题.对数多少只鸭子，我们可以采用枚举法予以计数.原始人就会利用结绳来计数，我国早在宋代就展现了用算盘计数，计数问题在我们学习生活中随处可见，它也是我们学习排列、组合、概率、统计的根基.下面让我们来看这样的一个计数问题.

以一首熟谙的儿歌开头，轻松活泼引入话题.同时也说明总数不大时，我们可以采用枚举法计数.简短的几句话，把学生带进一个崭新的数学世界，激发学生的求知欲望—毕竟如何计数？概率、统计毕竟学什么？

（二）问题导引设置悬念

引例2022年宿迁地区私家车的保有量为33.62万辆，随着经济的进展，到2022年，私家车的保有量将达成60万辆，交管部门现推出新的天性化牌号的规矩：

（1）①号位务必选择英文字母，③号位为文字母或阿拉伯数字，其余三位均为阿拉伯数字;

（2）英文字母不得选用I、O、Q.

试问，到2022年这样的天性化牌号的容量能否得志要求？

教师：这个问题你还能一一列举吗？

众生：不能.

教师：为什么？

生1：数目太大.

教师：对，对大数的计数问题，枚举法就显得力不从心，此时就迫切需要我们探索一种新的

计数方法——这就是我們今天所要研究的内容——两个计数原理.

通过生活中的学生熟谙实际问题切入，将学生的思维带入悱愤状态，提高了学生参与学习的积极性，同时也突出了学习本节课的必要性.

（三）实例探究提炼本质

实例探究1

师：下面我们先来从两个简朴的问题着手探究.

问题1（1）（我的老家在安庆，国庆节期间，我回家探亲）已知从镇江到安庆直达火车每天有4列，直达汽车每天有3班，试问我要从镇江到安庆，有多少种不同的直达方法？

（2）节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，若从中选一人主持节目，共有多少种不同的选法？师：（让学生斟酌片刻）你的答案是多少？又是怎么想的？

生2：有7种直达方法，由于火车和汽车班次之和为7，从中任选一个车次即可.

教师：还有其他解释吗？

生3：乘车方式有两种方案，若选火车，那么有4种，若选汽车，那么有3种，所以总的乘车方法数共有4+3=7种.

教师：说得分外好，我乘车回家有两类手段，第1类手段，乘火车有4种方法;第2类手段，乘汽车有3种方法，所以总的方法数为这两类手段数之和.（追问）我若选乘了火车，还可以选乘汽车吗？为什么？

生3：不能，由于你任选一种方法都可以回家.

教师：对，我没有分身之术，任何一种方法都可以一次性完成这件事，并且两类手段不成同时选择，它们之间是相互排斥的，那么请你类比方才的分析，说说你对问题（2）的理解.

生4：选一名主持人，有两种方案，若选男生那么有4种，若选女生有8种选法，所以总的方法数为这两类的方法数之和4+8=12种.

教师：很好，掌声！

问题背景贴近生活，其重要性不在于问题本身，而在于问题蕴含的“分类，加法”的一般性道理.所以，教学中教师的问法要有导向性，在师生对话中，要让学生感受到这个问题的共性及所蕴含的“分类，加法”的本质.

问题2：议论问题1的（1）与（2）有何共性？

（小组议论2分钟，代表交流，组员补充，教师总结，留神：要扣住“两类，一步到位，类类互斥和加法”来分析.教师提示：这两个问题的概括情境虽然不同，但都是在完成一件事.）

共性：（1）都是计算完成一件事情方法种数;

（2）完成这件事情都有两类手段，每类手段都可一次完成（一步到位）且类类互斥;

（3）总的方法种数为各类手段数之和.

通过自主斟酌、小组议论和相互交流和补充，在教师的引导下，总结出问题的共性本质，为理解和归纳原理做铺垫.

问题3：从镇江到安庆，若未来每天还增开2个班次的直飞航班，我若回家又有多少种不同的直达方式？

生5：有三类回家方式，第1类，乘火车有4种;第2类，乘汽车有3种;第3类，乘飞机有2种，所以直达方式共有9种.

教师：也就是总的方法数为三类手段数之和.

实例探究2

问题4：（1）从镇江到安庆，我若先从镇江乘火车到合肥，再于次日从合肥坐汽车到安庆.

一天中，火车有4班，汽车有3班，那么两天中，从镇江到安庆共有多少种不同的乘车方式？

（2）节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，现从男女同学中各选一名来共同主持节目，共有多少种不同的选法？

教师：说说你对问题（1）的看法.

生6：4×3=12种.

教师：你又是怎么想的？

生6：假设乘火车1，那么汽车就有3种乘法，同样乘火车2、3、4，汽车都有3种乘法，所以就是3+3+3+3=4×3=12种.

教师：他是将火车分为四类，每一类都有3种乘汽车方法，由分类计数原理知共有3+3+3+3，再将加法优化运算后写为4×3=12种，说得分外好.（追问）这件事可以一次性完成吗？

生7：不成以，需要分两步完成，第1步先从镇江到合肥，第2步再从合肥到安庆.

教师：那写成4×3后，4和3分别表示什么？

生7：4和3分别表示完成第1步和第2步的方法数.

教师：也就是说，完成这件事情的方法总数为完成这两步的方法数之积，哪一种写法更简便呢？

生7：后一种，乘法.

教师：问题5的问（1）与問题1的问（1）在完成这件事情的方式上有何不同？

生7：问题1只需要一步就可以完成，而问题5需要分两步才能完成，少一步都不行.

教师：对，缺一不成，还有不同吗？

生8：问题1是两类手段数之和，而问题5是完成两步的手段数之积，而且完成第1步的方法和第2步的方法之间是不相互排斥的.

教师：说得太好了（掌声）！我们把步与步之间不相互排斥称之为“步步独立”，请类比问题5的（1），说说你对（2）的理解.

生8：要完成选主持人，要分两步完成，第1步选男生，有4种选法;第2步选女生，有8种选法，那么总的选法数为两步方法数之积4×8=32种.

一方面，通过类比分类计数原理，让学生归纳出分步计数原理，既起到温故知新的作用，又达成提高学生的类比转化才能;另一方面，从加法原理过渡到乘法原理，表达了两个原理间的内在联系，结果落脚点在“分步，乘法”这两个特征上，有利于新原理的主动建构.

五、反思

有效教学，是指在师生双方的教学活动中，通过运用适当的教学策略，使学生的根基性学力、进展性学力和创造性学力得到很好的进展.学生的进步和进展是衡量课堂教学有效性的唯一尺度.

（一）“熟谙学情”是数学课堂有效教学的前提

奥苏贝尔的经典名言：“将全部教导心理学一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素：学习者已经知道了什么.”教学内容务必紧扣教学目标、适合学生的认知水平，靠近他们的最近进展区，教学才能引起学生广泛的联想和认知冲突，在获取数学学识的同时，体验数学学识形成与进展.

（二）“以生为本”是数学课堂有