江西省宜春市武林中学高三数学文期末试卷含解析

江西省宜春市武林中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）下列命题正确的个数有（）（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；（2）命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1＞0”；（3）经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）来表示；（4）在数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=+2，则{an}是等比数列；（5）若函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a=4，b=11．A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：对于（1），由复合命题的真值表加以判断；对于（2），直接写出特称命题的否定加以判断；对于（3），化直线方程的两点式为整式方程，说明命题正确；对于（4），由数列递推式得到2an+1=an（n≥2），求出a2后说明，命题错误；对于（5），求导数，利用函数在x=1处有极值10，得到两个条件f（1）=10和f'（1）=0，然后利用方程组求解a，b．解：（1），“p∧q为真命题”是p和q均为真命题．而“p∨q为真命题”只要p和q中至少有一个真命题即可，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，命题（1）错误；（2）命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题（2）错误；（3）经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）来表示，命题（3）正确；（4）在数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=+2，即2Sn+1=Sn+4，取n=n﹣1，得2Sn=Sn﹣1+4（n≥2），两式作差得：2an+1=an（n≥2），由Sn+1=+2，且a1=1求得，则{an}不是等比数列，命题（3）错误；（5）若函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a=4，b=11，正确．由函数的导数为f'（x）=3x2+2ax﹣b，∵函数f（x）=x3+ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，∴f（1）=10且f'（1）=0．即，解得或．当a=﹣3，b=﹣3时，f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2≥0，此时函数单调递增，此时函数没有极值，不满足条件．经检验值当a=4，b=11时，满足条件，命题（5）正确．∴正确的命题是2个．故选：B．【点评】：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了等比关系的确定，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．2.已知函数上的奇函数，当x>0时，的大致图象为

参考答案：B3.设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（

）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，显然不成立。由得，即，所以。若，则，满足。当时，满足，但，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A.4.已知是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，且射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点的最大值为

A．

B．

C．1

D．

参考答案：5.设公比的等比数列的前项和为，则（

）A． B． C．

D．参考答案：A6.若函数=，则(+2)()等于（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：C7.下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是(

)A．

B．

C．

（D）参考答案：C8.已知函数，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设函数，且其图象关于直线对称，则（

） A．的最小正周期为，且在上为增函数 B．的最小正周期为，且在上为减函数 C．的最小正周期为，且在上为增函数 D．的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：B10.已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称参考答案：A【考点】正弦函数的对称性．【分析】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：依题意得，故，所以，==≠0，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若偶函数()满足条件：，则函数的一个周期为

.参考答案：1等12.观察下列的数表：24

68

10

12

1416

18

20

22

24

26

28

30……

……设2018是该数表第m行第n列的数，则m·n=__________．参考答案：4980【分析】表中第行共有个数字，此行数字构成以为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第行共有个数字，此行数字构成以为首项，以2为公差的等差数列．排完第k行，共用去个数字，2018是该表的第1009个数字，由，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了个数字，由可知排在第10行的第498个位置，即，故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．13.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

参考答案：14.若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值

.参考答案：18略15.在直角三角形ABC中，=

。参考答案：2略16.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是___________。参考答案：

T，i关系如下图：T1i23456

17.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，．

（1）证明：；（2）求二面角A1-BD-C1的大小．参考答案：解:（1）在中，得：，同理：，得：面.（2）面取的中点，过点作于点，连接，，面面面，得：点与点重合且是二面角的平面角.

设，则，，所以二面角的大小为.

（另解：利用空间向量求二面角）.19.已知函数f（x）=m（x－1）2－2x+3+lnx（m≥1）．

（Ⅰ）当时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；

（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；

（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）（x>0）．当时，，令，得x1=2，x2=．f（x），的变化情况如下表：x（0，）（，2）2（2，+∞）+0－0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，当x＝2时，函数f（x）取到极小值，且极小值为f（2）=ln2－．…………4分（Ⅲ）因为，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=－x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x－1）2－2x+3+lnx=－x+2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g（x）=m（x－1）2－x+1+lnx，则．当m=1时，有≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合题意．。。。。。。。。。。。。。。11分当m>1时，令＝0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）>g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→－∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m>1时，不合题意．综上，存在实数m，当m＝1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．………14分20.已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（1）∵且是的一个极值点∴，-------2分∴------4分由得或，∴函数的单调增区间为，；--6分由得，∴函数的单调减区间为，----8分（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增∴当时，函数取得最小值，=，----10分时，恒成立等价于-----12分即。-------14分21..已如直线C的参数方程为（（为参数）.以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程：（2）若直线（，）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）利用求极坐标方程即可；（2）设、，则，联立和即可.试题解析：（1）曲线C的普通方程为，由，得；（2）解法1：联立和，得，设、，则，由，得，当时，|OM|取最大值．解法2：由（1）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，∵，当时，，，，当且仅当，即时取等号，∴,即的最大值为．22.（14分）（2010?安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B﹣DE﹣C的大小．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题： 综合题．分析： （1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；（2）因为四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，从而求解．（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．解答： 证明：（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，∴GH∥AB且GH=AB，又EF∥AB且EF=AB，∴EF∥GH且EF=GH，∴四边形EFHG为平行四边形∴EG∥FH，而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB．（2）由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB，（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CD