百例高考数学压轴题

高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答｛完整版｝

zx1,1<X<2riy，

1.设函数/(x)=｛,g(x)=/(x)-or,xe[l,3],3..

X1,Z<XJ

2-

其中aeA,记函数g(x)的最大值与最小值的差为〃(。)。1.

(D求函数〃(。)的解析式；(II)画出函数y="(x)的图象并一'―234

指出。(x)的最小值。

2.已知函数/(x)=x-ln(l+x),数列｛%｝满足0<q<1,

=/(%)；数列也｝满足4=g，4+i2；(”+1)〃,〃wN*.求证：

2/y

(I)0<an+x<an<1;(II)。用<^-；(III)若卬=3，则当n22时，“>/•〃！.

3.已知定义在R上的函数F(x)同时满足：

2

(1)/(Xj+x2)+/(X)-x2)=2/(Xj)COS2X24-4^7sinx2(x19x2GR,a为常数)；

(2)/(0)=/(^)=l；(3)当xe[0,(]时，|/(x)|W2

求：(I)函数f(x)的解析式；(II)常数a的取值范围.

22

4.设4a，必),B(X2,%)是椭圆4+三=1(。〉6>0)上的两点,

xb

满足(?,8)•(字,22)=0,椭圆的离心率e=y±，短轴长为2,0为坐标原点.

baba2

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(3)试向：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5.已知数列｛。“｝中各项为：12、1122、111222、……、II……122……2……

个个nn

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.(2)求这个数列前n项之和S”.

22

6、设大、入分别是椭圆与+?=1的左、右焦点.

(I)若p是该椭圆上的一个动点，求尸片・尸尼的最大值和最小值；

(H)是否存在过点A(5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2cHFzDI?若存在,

求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=-1相切，点C在/上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P,且斜率为-V3的直线与曲线M相交于A,B两点.

(i)问：^ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

(ii)当aABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f(x),f(0)N0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a、bGR,有戈a+b尸f(a)f(b),

(1)求证：f(0)=l：(2)求证：对任意的xGR,恒有f(x)>0；

(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)・f(2x-x2)>l,求x的取值范围。

9、已知二次函数/(x)=/+26X+C(6,C€R)满足/⑴=0,且关于x的方程/(x)+x+6=0的

两实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内。(1)求实数6的取值范围；

(2)若函数/(x)=log/,/(x)在区间(-1-C,1-C)上具有单调性，求实数C的取值范围

10、已知函数/(x)在(-1,1)上有意义,/(3=—1,且任意的x、ye(—1,1)都有

/(x)+〃y)=，(潟)•⑴若数列区｝满足西号』=急踊M),野《).

⑵求】+於+帚•••+勺$)+/(焉)的值・

11.在直角坐标平面中，AABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①

GA+GB+GC=0,②|砺|=|砺|=|研③两〃万

(1)求顶点C的轨迹E的方程

(2)设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为(JI,0),已知而〃而，RF//

丽且丽•而=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

12.已知a为锐角，且tana=J^-l,函数/(x)=x?tan2a+x-sin(2a+X),数列EJ的首项

4

⑴求函数的表达式；⑵求证：；

%=；,a“+i=/(%)./(x)<7„+1>an

⑶求证：~+7T-+*'*+7T-<2("22，〃eN*)

l+t?11+a,1+an

13.(本小题满分14分)已知数列｛凡｝满足q=1,q+|=2a“+l(〃€N*)

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

(II)若数列也,｝满足44T434犷…心T=((+1产，证明：｛4｝是等差数列；

1।12

(HI)证明：—+—+••-+—<-(/?eN*)

a2。3%3

14.已知函数g(x)=-胃-/+cx(aH0),

(D当。=1时，若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数，求实数c的取值范围；

(II)当a2/EI寸，(1)求证：对任意的xe[0,l],g'(X)<1的充要条件是。；

⑵若关于尤的实系数方程g'(x)=0有两个实根。,夕，求证：向<1,且也工1的充要条件是

12

——<c<a—a.

4

15.已知数列｛a„｝前n项的和为S”，前n项的积为T“,且满足Tn=2"(~)。

①求4；②求证：数列｛aJ是等比数列；③是否存在常数a,使得(S“+「a)2=(S“+2-a)(S,-a)

对〃€N+都成立？若存在，求出a,若不存在，说明理由。

16、已知函数丁=/(x)是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的加、He[0,+oo),

都有/(加〃)="(〃?)「，且/(2)=4,又当xNO时，其导函数/'(x)>0恒成立。

「-12

h+2

(I)求/(0)、/(一1)的值；(II)解关于X的不等式：/(,)>2,其中Ae(—1,1).

_2&+4_

17、一个函数/(x),如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,6,c都在/(x)的定义域内，就有

/⑷,/(»,/©也是某个三角形的三边长，则称〃x)为“保三角形函数”.

(I)判断工(x)=J7,左(x)=x,U(x)='中,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理

由;

（II）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0,+8）,证明g（x）不是“保三角形函数”;

（III）若函数/（x）=sinx,xe（0,Z）是“保三角形函数”，求4的最大值.

（可以利用公式sinx+siny=2sinX+^cosX）

18、已知数列｛4｝的前n项和S.满足：S„=-^-（«„-l）（a为常数，且aw0,a*l）.

（7-1

（I）求S“｝的通项公式；（n）设a=y+1,若数列｛4｝为等比数列，求a的值;

（in）在满足条件（n）的情形下，设%=—,数列｛g｝的前n项和为.

1+。“1一凡+i

求证：T„＞2n--.

19＞数列｛4｝中，q=2,anJrX=an+cn（。是常数，"=1,2,3,・・・），且q,a2,%成公比不为1

的等比数列。（I）求c的值；（II）求｛可｝的通项公式。

（III）由数列｛4｝中的第I、3、9、27.....项构成一个新的数列｛b,｝,求lim却的值。

〃一＞8力

20、已知圆M:（x+J^）2+y2=36,定点N（右,0）,点尸为圆/上的动点，点Q在NP上，点G

在MP上，且满足瓶=2而,诙•标=0.（I）求点G的轨迹C的方程；

（II）过点（2,0）作直线/,与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设丞=a+无，是

否存在这样的直线/，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）?若存在，求出直线/

的方程；若不存在，试说明理由.

21.飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安

排三个救援中心（记为A,B,C）,B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30°,相距4km,P

为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两

个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为Ikm/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的

结论./C

AB

I-----------11—/

22.已知函数y=|x|+l,y=ylx2-2x+2+t,y=-(x+—-)(x>0)的最小值恰好是方程

2x

/+亦之+瓜+0二。的三个根，其中0<，<I.([)求证：/=2b+3；

(II)设a，M),(±,N)是函数/(刈=/+办2+/+。的两个极值点.

2

①若|须-％1=§，求函数/(x)的解析式；②求I"-N|的取值范围.

23.如图，已知直线/与抛物线炉=4夕相切于点?(2,1),且与x轴交于点4。为坐标原点，定

点5的坐标为(2,0).(I)若动点M满足方•前+俞|=0,求点M的轨迹C；

(II)若过点B的直线/'(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、

F之间)，试求△0BE与aOBF面积之比的取值范围.

24.设g(x)=px-g-2/(x),其中/(x)=Inx,且g(e)=qe-"-2.(e为自然对数的底数)

xe

(I)求P与q的关系；(ID若g(X)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围;

(IH)证明:®/(l+x)<x(x>-1)；

In2In3In〃2n2-77-1

②----------1------------1-,••H---------<(/?eN,〃22).

2232n24(〃+1)

25.已知数列｛4｝的前〃项和S“满足：S„=—(«„-1)(a为常数，且).

a-\

(I)求｛凡｝的通项公式；(H)设d=当+1,若数列也J为等比数列，求a的值;

(III)在满足条件(11)的情形下，设的=—!—+—^,数列｛%｝的前〃项和为T,„求证:

l+a“1-%

T>2n--.

n"3

26、对于函数/(x),若存在/eR,使/(Xo)=x°成立，则称/为/*)的不动点.如果函数

/(幻=立上3,。6"*)有且仅有两个不动点0、2,且/(-2)<-工.

hx-c2

(1)试求函数/(X)的单调区间；

(II)已知各项不为零的数列｛q｝满足4S,/.(')=1,求证：一一-<ln-^<--;

%%+i〃％

(HI)设4=—工，7；为数列｛〃｝的前〃项和，求证：7；008-l<ln2008<7^007.

a,

27、已知函数/(x)的定义域为｛x|x¥版,左eZ｝,且对于定义域内的任何x、y,有

成立，</,(«)=1为正常数)，当0<x<2a时，/(x)>0.(I)判断/'(x)奇偶性；(II)证明f

(x)为周期函数；(山)求/(x)在3,3©上的最小值和最大值.

28、已知点R(—3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

2PM+3MQ=Q,而•两=0.(I)⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

(II)设4(项,必)、B(x2,y2)为轨迹C上两点，且演>1,必>。，N(1,0),求实数4,使力8=AAN,

且I相吟

29、已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为匚，两条准线间的距离为6.椭圆W的

3

左焦点为尸，过左准线与x轴的交点”任作一条斜率不为零的直线/与椭圆W交于不同的两点/、

B,点Z关于x轴的对称点为C.

(I)求椭圆W的方程；(II)求证：方=4而(4eR)；(HI)求面积S的最大值.

30、已知抛物线。：丁=办2,点尸(1,-J)在抛物线C上，过点P作斜率为无I、后的两条直线，

分别交抛物线。于异于点P的两点4(xi，yi),B(必，丫2)，且满足左i+%2=0.

(I)求抛物线C的焦点坐标；(II)若点M满足就=而，求点〃的轨迹方程.

31.设函数/(x)=；a?+&r2+cx(“<b<c),其图象在点4(1,.八1)),8(加,/(〃?))处的切线的斜率分

别为0,—。.(1)求证：0<-<1；(II)若函数/(x)的递增区间为[s,/],

求|s-f|的取值范围;(III)若当X-左时(衣是与。,6,c无关的常数)，

恒有/-1(X)+47<0,试求々的最小值.

32.如图，转盘游戏.转盘被分成8个均匀的扇形区域.游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭

头A所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）.假设箭头指到区域分界线

的概率为0.1,同时规定所得点数为0.某同学进行了一次游戏，记所得点数为求J的分布列及

数学期望.（数学期望结果保留两位有效数字）

33.设耳，居分别是椭圆C：」二+二=1（相＞0）的左，右焦点.

6m2m

（1）当PeC,且用丽2=0,\PFt\-\PF2|=80＞h求椭圆C的左，右焦点6、F2.

（2）/、工是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知产2的半径是1，过动点。的作工切线

QM,使得|。6|=0］。叫（河是切点），如下图.求动点0的轨迹方程.

34.已知数列｛6,｝满足q=5,<72=5,an+i=an+6an_x(n>2).

（1）求证：｛a,用+2%｝是等比数列；（2）求数列｛q｝的通项公式；

（3）设3"6"=〃（3”-a“）,且闻+向|++同＜相对于〃eM恒成立，求加的取值范

35.已知集合。=｛（须，》2）忖＞0,82＞0,玉+*2=左｝（其中％为正常数）.

（1）设〃二芭马，求〃的取值范围;

（2）求证：当左21时不等式（-!"一否）（」--/）＜（幺一2）2对任意（司,右）€。恒成立；

%x22k

1iL2

2

（3）求使不等式（一一x,）（一一x2）＞（——）对任意（七,）e。恒成立的公的范围.

须x22k

36、已知椭圆C：「+鼻=1（a＞b＞0）的离心率为Y6,过右焦点厂且斜率为1的直线交椭圆

a2b23

C于8两点，N为弦N8的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；

-------.

（2）对于椭圆C上任意一点M,试证：总存在角6（6GR）使等式：OM=COS0OA+s加6OB

成立。

37、已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线/：y=-2的距离小1。

(1)求曲线C的方程；(2)过点尸(2,2)的直线加与曲线。交于48两点，设标=4万.

①当4=1时，求直线相的方程；②当AAOB的面积为4班时(O为坐标原点)，求力的值。

38、已知数列｛4｝的前〃项和为S“，对一切正整数〃，点都在函数/(x)=/+2x的图

像上，且过点月(〃,S“)的切线的斜率为k“.

(1)求数列｛《,｝的通项公式.(2)若4=2"。〃，求数列他,｝的前〃项和7；.

(3)设0=｛x|x=3,〃eN*｝,R=｛x\x=2%,〃eN*｝,等差数列｛c“｝的任一项cn&QryR,

其中G是0c火中的最小数，110<eg<115,求｛c“｝的通项公式.

3

39、已知S.是数列｛q｝的前〃项和，。2=2,且S.+1—3S,+2S,T+1=0,其中

*r、S-n

n>2,n&N.⑴求数列｛凡｝的通项公式为；⑵计算也」一的值.(文)求S,,.

40、函数/(x)对任意x£R都有f(x)+fU-x)=；.(1)求/(2)和/d)+"trOSeN)的值;

乙2nn

(2)数列｛%｝满足/=/(0)+/(-)+/(-)+-•■+/(—)+/⑴,求数列｛4｝的通项公式。

nnn

A1£

(3)令b“==~,T.="+"+>+…+k,S,=32-2试比较Tn与Sn的大小。

4。〃一1n

41.已知数列｛%｝的首项/=2Q+1(a是常数，且。。一1),an=2an_｝+/-4/7+2(w>2),

数列｛〃｝的首项4=4，6〃=。〃+〃2(〃？2)。

(1)证明：%,｝从第2项起是以2为公比的等比数列；

(2)设S“为数列也｝的前n项和，且｛S“｝是等比数列，求实数a的值；

(3)当a>0时，求数列｛%｝的最小项。

42.已知抛物线C：V=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第象限，且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程：

(3)求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们

把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥

的体积”.求出体积3后，它的•个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为上，

33

求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为北，求所有侧面面积之和的最小值”.

3

现有正确命题：过点的直线交抛物线C：V=2px(p>0)于p、Q两点，设点p关于

x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点Fo

试给出上述命题的‘'逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

5+2x

43.已知函数f(x)=-----,设正项数列｛。〃｝满足。尸1,%+1=/(%).

16-8x

(I)写出。2，。3的值；(H)试比较％与1的大小，并说明理由；

S111

(III)设数列｛〃,｝满足6"=一一记S产工4.证明：当n22时,S“〈一(2"-1).

4,=14

44.已知函数f(x)=x'—3ax(aGR).(I)当a=l时，求f(x)的极小值；

(II)若直线菇x+y+m=0对任意的meR都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；

(皿)设g(x)=|f(x)|,x6[-l,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

45.在平面直角坐标系中，已知三个点列｛A3｛BJ,｛&｝,其中4,(〃,%),%(〃,4,)

(〃一1,0),满足向量与向量共线，且点(B,n)在方向向量为(1,6)的

线上q=。,6]=-。.(1)试用a与n表示%(〃22)；

(2)若戈与行两项中至少有一项是a的最小值，试求a的取值范围。

46.已知耳(-2,0),尸2(2,0),点P满足|防HPg1=2，记点尸的轨迹为后(1)求轨迹6的方程；

(2)若直线，过点用且与轨迹少交千八0两点.(i)无论直线/绕点£怎样转动，在x轴上

总存在定点〃(切,0)，使恒成立，求实数勿的值.

(ii)过只0作直线x=」的垂线序、0B,垂足分别为/、B,记尸川+131,求人的取值范

2\AB\

围.

47.设的、々a*x?)是函数/(x)=4+bx?-/x(a>0)的两个极值点.

⑴若玉=-1/2=2,求函数/U)的解析式；⑵若|士|+卜2|=2直,求6的最大值；

(3)若X]<X<X2,且二2=。，函数g(x)=/'(x)-a(x-X]),求证：|g(x)|<—a(3a+2)2.

48.已知/(x)=log“x(0<a<,若数列｛4｝

使得2,/(%),/(%),/(%)，……,),2〃+4(〃eN*)成等差数列.

(1)求｛4｝的通项an;

(2)设2=4•/(4),若限｝的前n项和是Sn,且*yVl,求证：S〃+2<3.

1-671一。

22

49.点P在以々，居为焦点的双曲线£:0—彳=1(。>0/>0)上，已知叼，町，

ah

|PF｝|=2|PF2|,0为坐标原点.(I)求双曲线的离心率e；

---*27—*—"-*

(II)过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于4,舄两点，且。片OP2=--,2PP｝+PP2=0,

求双曲线E的方程；

(III)若过点0(见0)(加为非零常数)的直线/与(2)中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两

点M、N,且荻=2丽(4为非零常数)，问在x轴上是否存在定点G,使丽1(GM-AGN)?

若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由.

50.已知函数f(x)-ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x?+6x+12,利直线m：y=fcv+9,又

/'(一1)=0.(I)求a的值；

(ID是否存在人的值，使直线加既是曲线丁=/(x)的切线，又是y=g(x)的切线；如果存在，

求出左的值；如果不存在，说明理山.

(III)如果对于所有x2—2的x,都有f(x)<kx+9<g(x)成立，求上的取值范围.

51.已知二次函数/(》)=办2+6x+c,(“,6,ceR)满足：对任意实数x,都有/(x)2x,且当xe

(1,3)时，有/(》)4!(》+2)2成立。(1)证明：/⑵=2。

8

(2)若/(—2)=0,/(x)的表达式。

(3)设g(x)=/(x)-1-xxe[0,+8),若g(x)图上的点都位于直线y的上方，求实数

m的取值范围。

52.(1)数列｛a｝和｛bj满足%+6,+…+2)(n=l,2,3-),求证瓜｝为等差数列的

H

充要条件是E｝为等差数列。(8分)

(2)数歹U｛a｝和｛c,,｝满足c“="，+2a,用(〃eN*),探究｛4｝为等差数列的充分必要条件，需

说明理由。[提示：设数列®｝为％=a“一a“+2("=1,2,3…)

53.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分,

平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行.根

据以往经验，每局甲赢的概率为1，乙赢的概率为1，且每局比赛输赢互不受影响.若甲第n局赢、

23

平、输的得分分别记为%=2、。“=1、a,,=0〃eN*,1W〃W5,令S“=%+0+…+4-

(I)求S3=5的概率；(II)若随机变量4满足S4=7(J表示局数)，求J的分布列和期望.

54.如图，已知直线/与抛物线/=4y相切于点P(2,1),且与x轴

交于点A,定点B的坐标为(2,0).(I)若动点M满足

~AB~BM+y[2^4M\=0,求点M的轨迹C；(H)若过点B的直线/'

(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F

之间)，试求A0BE与A0BF面积之比的取值范围.

55,已知/、8是椭圆£■+匚=l(a>6>0)的一条弦，HQ，1)是48中点，以〃为焦点，以椭圆的右

a2b2

准线为相应准线的双曲线与直线交于N(4,—1).

(1)设双曲线的离心率e,试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.

(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.

(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：/(x)=-]4+二,数列｛4,｝的前前项和为S,”点-——)在曲线

V厂4+1

y=/(x)上(〃€N*),且q=1,%>0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；(2)数列也,｝的前“项和为T,,,且满足二甲=二二+16〃2-8〃一3,

设定伍的值，使得数列｛”,｝是等差数列；(3)求证：S“>1J4〃+1-L〃eN*

2

57、已知数列｛a“｝的前n项和为Sn，并且满足ai=2,nan+i=Sn+n(n+1).

(1)求数列｛为｝的通项公式可；(2)设，为数歹U｛祟｝的前“项和，求却

58、已知向量加=(',_!-)(。〉0),将函数一。的图象按向量m平移后得到函数

a2a2

g(x)的图象。

(I)求函数g(x)的表达式；(II)若函数g(x)在［血,2］上的最小值为h(a),求"(0的最大值。

5%已知斜三棱柱Z8C—44G的各棱长均为2,侧棱网与底面/8C所成角为今，

且侧面ABB,4±底面ABC.4

(1)证明：点用在平面/8C上的射影0为N3的中点；\//

(2)求二面角C一/4一8的大小；(3)求点G到平面CB/的距离.A

60、如图，已知四棱锥S-也3c。中，△“/)是边长为。的正三角形，平面平面438,四边

形Z8C。为菱形，ZDAB=60u,尸为/。的中点，。为S3的中点.汰、

/、\

(I)求证：尸。〃平面SO(II)求二面角3-PC-。的大小./\\

61.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列｛&｝的集合:

①止产《风用；②^WM淇中〃eN*,M是与n无关的常数.

(1)若｛&｝是等差数列，S“是其前n项的和，a3=4,S3=18,证明：｛S„｝GW

(2)设数列间的通项为“=5〃一2",且也｝€少，求M的取值范围;

(3)设数列｛以｝的各项均为正整数，且｛c“｝e肌证明：c„<c„+1

62.数列｛%｝和数列｛"｝(»eN+)由下列条件确定：⑴«,<0,4>0；

(2)当上22时，为与“满足如下条件：当生磬±20时，4=%7,4=%；也;当

“T+AT<0时，4=%+如,b=b..

2'2"1k

解答下列问题：(I)证明数列｛4-4｝是等比数列；

Y)

(II)记数列｛〃(4—%)｝的前〃项和为S“，若已知当“>1时，lim—=0,求!触s”.

(Ill)〃(〃22)是满足4>%>…>>的最大整数时,用生,(表示〃满足的条件.

63.已知函数/(x)=lnx+—+“x,xe(O,+8)(a为实常数).

x

(1)当2=。时，求/(X)的最小值；

(2)若/(x)在[2,+8)上是单调函数，求a的取值范围；

(3)设各项为正的无穷数列满足lnx,,+」一证明：x“Wl(nGN*).

Xn+\

64.设函数/(x)=+依2+以(x>0)的图象与直线少=4相切于"(1,4).

(I)求/(》)=》3+原2+乐在区间(0,4]上的最大值与最小值；

(II)是否存在两个不等正数SJ(s</),当xw[s,/]时，函数/(》)=/+依2+云的值域也是

[5,/],若存在，求出所有这样的正数S,7:若不存在，请说明理由；

(山)设存在两个不等正数s,/(s</),当xw[s,〃时，函数/(》)=/+以2+版的值域是

[ks,kt],求正数左的取值范围.

65.已知数列｛4｝中，％=1,〃％+]=2(q+%+…+4)(〃€N*).

(1)求。2，。3，。4；(2)求数列｛%｝的通项/；

(3)设数列也｝满足4=-也+|=’。+*求证：bn<\(n<k)

24

66、设函数/3)=(1+》)2-2111(1+》).(1)求/。)的单调区间；

⑵若当xe时，(其中e=2.718…)不等式恒成立，求实数加的取值范围；

e

⑶试讨论关于X的方程：/(x)=x2+X+”在区间[0,2]上的根的个数.

67、已知/(x)=x?+ax+<7(a42,xeR),g(x)=e~x,①(x)=/(x)-g(x).

(1)当“=1时，求力(x)的单调区间；

(2)求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x=1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积；

(3)是否存在实数a,使0(x)的极大值为3?若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.

68、已知椭圆G：=+二=1(。>8>0)的离心率为L,直线/：y=x+2与以原点为圆心、椭圆

ab3

Ci的短半轴长为半径的圆O相切。(1)求椭圆G的方程；

(2)设椭圆G的左焦点为F,,右焦点为F2,直线6过点F1,且垂直于椭圆的长轴，动直线12

垂直于/1,垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交/2于点M,求点M的轨迹C2的方程;

(3)设Q与x轴交于点Q,不同的两点R、S在C2上，且满足丽•丽=0,

求10Ml的取值范围。

X2v2厂

69、已知Fi,Fz是椭圆C:。+4=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(—&,1)在椭圆上，线段PF?

crb'

与y轴的交点M满足两+用而=0。(1)求椭圆C的方程。(2)椭圆C上任一动点卜1(%,打)关

于直线y=2x的对称点为出(x1)yi)，求3x「4%的取值范围。

v-2

70、已知48,。均在椭圆“：r+v=1(。>1)上，直线ZB、4c分别过椭圆的左右焦点尸|、

CT

,一，■•2

F2,当4。大月=0时，有94片/尸2=〃6.

(I)求椭圆”的方程；(II)设P是椭圆〃上的任一点，跖为圆N:/+(y-2)2=1的任一条

直径，求而•丽的最大值.

71.如图，4%6相)和8(〃,-6〃)两点分别在射线0$、01'上4/

移动，且0』砺=一；，。为坐标原点，动点P满足砺=万+砺.

(I)求加•〃的值；仁\,

(n)求P点的轨迹c的方程，并说明它表示怎样的曲线？一氏\。:

(IH)若直线/过点E(2,0)交(II)中曲线C于M、N两\0

点，且该=3丽，求/的方程.y

72已知函数/(x)=；x2+alnx,g(x)=(a+I)xH(x)-/(x)-g(x)»

(1)若函数/(x)、gG)在区间［1,2］上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数。的取值范围；

(2)a、B是函数H(x)的两个极值点，a<B，P&(1,e］(e=2.71828…)。求证：对任意的为、

X2€［a,切，不等式|“(芭)一〃(々)1<1成立

73.设/(x)是定义在［―1,1］上的奇函数，且当-lWx<0时，/(x)=2x3+5ax2+4a2x+/)

(I)求函数/(x)的解析式；(II)当1<。<3时，求函数/(x)在(0,1］上的最大值g(a)；

(HI)如果对满足l<aW3的一切实数a,函数/(x)在(0,1］上恒有/(x)W0,求实数6的取值范围.

74已知椭圆C的中心为原点，点尸(1,0)是它的一个焦点，直线/过点/与椭圆。交于48两点,

—*—*,5

且当直线/垂直于x轴时，—.(I)求椭圆。的方程;

6

(II)是否存在直线/,使得在椭圆。的右准线上可以找到一点尸，满足A48P为正三角形.如果

存在，求出直线/的方程；如果不存在，请说明理由.

75.已知数列｛。"｝满足q=；,aj-1

n(w>2,WGN).

(-l)，，a„-i-2

(I)求数列MJ的通项公式a.；(H)设“=—求数列也“｝的前〃项和S“；

an

(IID设c“=a“sin(2〃；D),数列｛cJ的前〃项和为7；.求证：对任意的〃eN*,(,<；.

76、已知函数/'(x)=(x2-x-1)e“'(aH0)

a

(1)求曲线N=/(x)在点40,/(O))处的切线方程

(2)当。<0时，求函数/(x)的单调区间

(3)当。>0时，若不等式/(x)+』20,对XE-2,+o］恒成立，求Q的取值范围。

aLa)

X-Z7

77、已知函数f(x)=——，其中a为实数.

Inx

⑴当a=2时,求曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程；

(2)是否存在实数a,使得对任意xw(0,l)U(l,+8),/(x)>«恒成立?若不存在，请说明理由，

若存在，求出。的值并加以证明.

78、已知/(xXlnx.gaXif+s+iQwvO),直线/与函数/(n)、g(x)的图像都相切，且

与函数/(x)的图像的切点的横坐标为1。(I)求直线/的方程及〃?的值；

(II)若〃a)=/(x+l)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数〃(x)的最大值;

(III)当0<b<a时，比较：«+2qf(a+6)与b+2q/(2a)的大小,

79、已知抛物线C：/=的准线与％轴交于M点，过/点斜率为k的直线I与抛物线。交于/、

8两点(Z在"、8之间).⑴尸为抛物线。的焦点，若求人的值：

4

(2)如果抛物线。上总存在点。，使得。1_LQ8,试求左的取值范围.

80、在平面直角坐标系中，已知定圆F:住一1尸+A'=1(F为圆心)，定直线力三二-2•，作与圆

F内切且和直线上相切的动圆P,(1)试求动圆圆心P的轨迹E的方程。

(2)设过定圆心F