2023届上海市闵行区高三一模数学试题

数学练习卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）同学们应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，，则______．2.若x满足（其中i为虚数单位），则x＝______．3.双曲线的离心率为______．4.在中，已知边，角，，则边______．5.已知正实数x、y满足，，则______．6.将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3概率为______．7.如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）8.若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．9.已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．10.已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为______．11.已知函数在区间上值域为，且，则的值为______．12.已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，同学们应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列不等式中，解集为的是（）A. B.C. D.14.“”是“的二项展开式中存在常数项”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件15.已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（）A.命题①和②均真命题 B.命题①为真命题，命题②为假命题C.命题①为假命题，命题②为真命题 D.命题①和②均为假命题16.已知数列满足，，如果，那么（）A. B.C. D.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值．18.如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线．（1）求点C到平面的距离；（2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由．19.2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．20.如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．（1）求直线BC的方程；（2）求证：；（3）已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．21.定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．（1）判断函数和是否具有C关系；（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m取值范围．数学练习卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）同学们应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，，则______．【答案】2.若x满足（其中i为虚数单位），则x＝______．【答案】##3.双曲线的离心率为______．【答案】4.在中，已知边，角，，则边______．【答案】5.已知正实数x、y满足，，则______．【答案】6.将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为______．【答案】7.如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）【答案】（只要使得即可）.8.若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．【答案】19.已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．【答案】10.已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为______．【答案】11.已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______．【答案】##12.已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______．【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，同学们应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列不等式中，解集为的是（）A. B.C. D.【答案】C14.“”是“的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A15.已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（）A.命题①和②均为真命题 B.命题①为真命题，命题②为假命题C.命题①为假命题，命题②为真命题 D.命题①和②均为假命题【答案】B16.已知数列满足，，如果，那么（）A. B.C. D.【答案】A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）169.【解析】【分析】（1）由已知可知，公差.根据等比中项的性质，可得，解得，即得数列的通项公式；（2）经化简可求出，即可得到最大值.【小问1详解】设公差为，因为，所以.则由、、成等比数列可得，即，整理可得，又，所以，又，所以，.【小问2详解】由（1）知，，，所以，所以，当时，有最大值，为169.18.如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线．（1）求点C到平面的距离；（2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决；（2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小【小问1详解】连接CO并延长交AB于M，又正△ABC内接于圆柱下底面圆O，则，又平面ABC，平面ABC则，又，,平面,平面则平面，则点C到平面的距离为由圆柱的底面半径为1，可得，则则【小问2详解】连接，平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接由，平面，平面，可得平面由，平面，平面，可得平面又，平面，平面则平面平面，又平面，则平面，连接OB，则19.2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．【答案】（1）3位；第75百分位数是30（2）【解析】【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；（2）根据对立事件和组合数公式求概率.【小问1详解】由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；【小问2详解】11名球员没有年龄不小于30的概率,所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.20.如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．（1）求直线BC的方程；（2）求证：；（3）已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，.【解析】【分析】(1)由题意可得，由截距式写出直线的方程，再化成一般式即可；(2)设,可得直线的方程，从而可解得点的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的值即可得证；(3)由题意可得T的坐标，设的方程为，设点T到和的距离分别为，，利用点到线的距离公式表示出，，进而可得的代数式，再判断当为定值时是否有解，即可判断.【小问1详解】解：由题意可得，所以直线的方程的截距式为，即为；【小问2详解】证明：设,因为，所以直线的方程为：；联立，得，即；直线的方程为：，即，当时，，即，所以==，又因为，所以，所以===.得证；【小问3详解】解：不存在，理由如下：由题(2)可知，不妨令，则，则，所以点T到的距离，设的方程为：，则点T到的距离，所以当时，，所以存在满足条件的.21.定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．（1）判断函数和否具有C关系；（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．【答案】（1）是（2）（3）【解析】【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.【小问1详解】与是具有C关系，理由如下：根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，因为，，，所以，令，即，解得，所以与具有C关系.【小问2详解】令，因为，，所以，令，则，故，因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，当时，显然成立；当时，在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，综上：，即.【小问3详解】因为和，令，