2023学年鲁教版(五四学制)七年级数学上册《2-3简单的轴对称图形》同步知识点分类练习题(附答案)

2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学上册《2.3简单的轴对称图形》同步知识点分类练习题（附答案）一．角平分线的性质ABCDDE＝2，则△BCE的面积等于（ ）A．10 B．7 C．5 D．4ABCDBCAM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BCBC，DE⊥ABE，DF⊥ACF．BE＝CF的理由；AB＝5，AC＝3AE、BE的长．中，∠C＝90°，AD是∠BACE，FAC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB． （2）AB＝AF+2EB．如图，四边形ABDC°，点OBD的中点，且OA平分∠ACD；E，DF⊥ACF、BE＝CF．平分∠BAC；AB+ACAE之间的等量关系．二．线段垂直平分线的性质中，AC＝4cmABACN，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cmBCBD∠A＝60°，∠ABD＝24°，则的度数为（ ）A．48° B．36° C．30° D．24°°，点DAB中点，且的平ABOBCAC上）CO为度．ABCDCDAEBE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：FC＝AD；AB＝BC+AD．MNACDABE．是等腰三角形；若∠A＝40的度数；AE＝6，△CBD20的周长．ENACBCABMN两点，DM与EN相交于点F．15cmAB的长；若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．三．等腰三角形的性质中，AB＝AC，ADBCE＝∠BAD．如图中为AB上一点为BC上一点且则∠CDE的度数为（ ）A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°A（）n•7°B（n﹣165°C（n﹣175°D（）n•8°如图，在第1个△A1BC中在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点A（）n•7°B（n﹣165°C（n﹣175°D（）n•8°如图，∠BOC＝9AOBOA＝1，按下列要求画图：AOCA11AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去直到得第n条线段之后就不能再画出符合要求的线段了则n＝ ．PBBA移动，同时，点Q从点CACQBCD．①PABCD的长；如图PBCPQBE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．1，如果∠BAD＝30°，ADBCEDC＝2，如果∠BAD＝40°，ADBCEDC＝与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：3ADBCDBC所在的直线上，点EAC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18的度数；当点DBC上（不与点C重合）与∠CDE的数量关系，并说明理由．四．等腰三角形的判定如图，在中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个平分∠BAC，AD⊥BDD，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．在△ABCACABBC＝C（过D作C交C于G）AB边ME、ED．求证：△MED为等腰三角形；1，Rt△ABCAB＝ACDEACAD＝EC，AM垂直BDBCNBDNEF．试判断△DEF的形状，并加以证明．（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）在你经历说明1）②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段D上，且四边形C为等腰梯形，如图．DEAC并说明理由．CDDBCABAC于E、F，求证：EF＝BE+CF．五．等腰三角形的判定与性质中，AB＝ACD、、FABBC、ACBE＝CF，BD＝CE．是等腰三角形；的度数．D，过DDE∥ACABE，若AB＝5，求线段DE的长．中，BA＝BC，DCBDB＝DA＝AC．（1）如图1，填空°，∠C＝ °；MBCMMH⊥ADABACN、E2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．、CBGBEAB＝AC，AD∥BE，∠GBE的ADDCD．平分∠ACE．与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．1中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABCBDAC于D．为等腰三角形；AEBCE2AECBE，请你探究中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．六．等边三角形的性质如图所示是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则的度数为（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°360ABACAMN的周长为．6ACAC运动（A、C不重合Q是B延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向B延长线方向运动Q不与B重合，过P作B于E，连接Q交B于．当∠BQD＝30AP的长；EDED化请说明理由．PQ4cmABBCP从顶点A，QB1cm/s，AQCPQ说明理由，若不变，则求出它的度数；是直角三角形？2QABBCAQ、CPCMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．（1）1MNABACDM＝DN、、MN之间的数量关系是；此时＝；ABAC为△ABC外一点，且∠N（1）1MNABACDM＝DN、、MN之间的数量关系是；此时＝；2NABACDM≠DN时，猜想问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．3NABCANC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．ABC1，PBP、PCAP之间的数量关系，并证明你的猜想；2，P内一点，且∠APD＝120ABPAB（P重合AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．当C与D的面积之和取最小值时＝ （直接写结果）、BCQ，设∠AQC＝ααP的移动而变化？请说明理由；如图，若点PD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）七．等边三角形的判定已知、、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 ．1ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD2DDE⊥ABCCF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．BC平分∠ABCACEF点．（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．DBC平分∠DAE，AE⊥BEE．BE∥AC的形状，并说明理由．M，交BEG，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．BEAD之间的关系，并说明理由；若∠C＝30请说明理由．P在△ABCQ在△ABC问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90EAC的中点．是等腰三角形：当°时，△BED是等边三角形．中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，DEC中点．的度数；是等边三角形．OC60°得△ADC，OD是等边三角形；当α＝150的形状，并说明理由；探究：当α是等腰三角形．八．等边三角形的判定与性质如图，过边长为1的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．E是△ABCE＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．12cmRt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC于点E．1EC是等边三角形；点M是线段D上的一点（不与点CD重合，以M为一边，在M的下方作∠60MG交E延长线于点2M，DG与AD之间的数量关系；NADBNBN的下方作∠BNG＝60°，NGDEGND，DGAD数量之间的关系，并说明理由．CABABAC、BCAB的AEDCBDCEMN．BEOMN分别是线段AD、BE的中点．的度数；求证：△MNC是等边三角形．ABBC，连接DE交（1）AG＝AD；AC于F，过D点作（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；△ △ （3）SDGF＝SADG+SECF．△ △ 12CAB与△CBN都是等边三角形．1ANBM是否相等？证明你的结论；2，ANMCE，BMCNF的形状，并证明你的结论．参考答案一．角平分线的性质1．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴S＝BC•∴S＝BC•EF＝×5×2＝5，故选：C．2）∥，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．3）证明：连接D，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴≌△，∴BE＝CF；，（2）解：在△AED和△AFD中，，∴D≌，∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．1）DC⊥⊥，∴DE＝DC，，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴≌△．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．，在Rt△ADC与Rt△ADE中，，∴≌△，∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．1）过点O作C于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；，Rt△ABORt△AEO中，，∴≌△，∴∠AOB＝∠AOE，∴∠AOC＝∠AOE+∠∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．6）⊥B于，⊥C于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∵∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴E≌F．∴DE＝DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∵，∴∠ADE＝∠ADF．在△AED与△AFD∵，∴D≌．∴AE＝AF．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．二．线段垂直平分线的性质解：∵MNAB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN7cm，∴＝（，∴＝（，∵AN+NC＝AC，∴＝（，又∵AC＝4cm，∴＝﹣＝3．∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝24°，∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，故选：A．OBOC，∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，∵∠∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，∴B≌SA，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：证明点O是△ABC的外心，推出∠BOC＝108°，根据OB＝OC，推出∠OCE＝36°可得结论．故答案为：108．11）∥（已知，C＝（两直线平行，内错角相等，∵E是D的中点（已知，∴（中点的定义．，∵在△ADE与△FCE中，，∴E≌，∴（全等三角形的性质．（2）∵△ADE≌△FCE，∴，＝（全等三角形的对应边相等又∵BE⊥AF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵（已证，∴+（等量代换．1）B的垂直平分线MN交C于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；∵△ABD∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；∵ABMNACD，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，∵△CBD的周长为20，∴AC+BC＝20，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．（）、N分别垂直平分C和，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．三．等腰三角形的性质BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴＝＝9°，∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴＝，∴∠CBE＝∠BAD．14．解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，∵∠∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°，故选：D．∴∠BA1C＝＝75°，15．解：∵在△CBA1中，∠B＝30∴∠BA1C＝＝75°，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；∵A1A2＝A∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；∠EA∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以n为顶点的底角度数是（n×75°．则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．n（）如图，过P点作C交C于，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴DF＝CD＝CF∴DF＝CD＝CF，∴FBCBC＝∴FBCBC＝3，∴CD＝CF＝；（2）EDPAB上，PPF∥ACBCF，∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴ED＝EF+FD∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC＝∠ACB，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PMC，∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD＝DM，∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，综上所述，线段ED的长度保持不变．（）∵C＝D是C上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，（3）∠BAD＝2（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD1（）∵＝＝3°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β∴，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；∴，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；∴，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．四．等腰三角形的判定5个．∴△ABC是等腰三角形；∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，、∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，（∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠ABD＝∠ABC＝36∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；和△BCD证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．DDG∥ACBCG，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴≌在△GDF和△CEF中，，∴GD＝CE．∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．∴ME＝AB，MD＝AB，1）M为B∴ME＝AB，MD＝AB，∴ME＝MD，（2）∵ME（2）∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，同理，MD＝AB＝MA，∴∠同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC．解：△DEF是等腰三角形．证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB，∠BAD＝∠ACP，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴D≌，∴AD＝CP，∠ADB＝∠P，∵AD＝CE，∴CE＝CP，∵CN＝CN，∴N≌，∴∠P＝∠CEN，∴∠CEN＝∠ADB，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形．附加题：△DEF为等腰三角形，证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB＝∠ECN，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴D≌，∴AD＝CP，∠D＝∠P，∵AD＝EC，CE＝CP，又∵CN＝CN，∴N≌（SA，∴∠P＝∠E，∴∠D＝∠E，∴△DEF为等腰三角形．、CD、∠ACB，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵EF∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE＝ED，DF＝FC，故EF＝ED+DF＝BE+CF．五．等腰三角形的判定与性质证明：∵AB＝AC，，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∵∠A+∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∴DE＝BE＝AE∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5．2（），∴∠BCA＝∠BAC，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，故答案为：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，在△ACD中，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝72°，∴∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∵MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形；②CD＝BN+CE．证明：由①知AN＝AE，又∵BA＝BC，DB＝AC，∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，即CD＝BN+CE．2（）∵∥，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；②∵AD∥BE，由知AB＝AD，又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠DCE，（2）∠BDC＝∠BAC（2）∠BDC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∴∠BDC+ ∠ABC＝∠ACE，∵∠∴∠BDC+ ∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+ ∠ABC＝∠ABC∴∠BDC+ ∠ABC＝∠ABC+ ∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．31）如图1C＝7＝3°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，∴∠DBC＝∠ABD＝35∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ACB＝35°，∴△BCD为等腰三角形；2ACAH＝ABEH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠EAH，∴≌（SA，∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，∴EH＝HC，∴AB+BE＝AH+HC＝AC，∴BD+AD＝AB+BE；3ABAF＝AC由（1）得：△BCDBD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF＝∠EAC，∴≌（SA，∴∠F＝∠C＝35°，∴BF＝BE，∴AB+BE＝AB+BF＝AF，∴BD+AD＝AB+BE；探究如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，∵∠ABC＝70°，∴∠AFB＝∠BAF＝35°，∵∠BAC＝75°，∴∠HAB＝105°，∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，∴AF＝EF，∵∠AFC＝∠C＝35°，∴AF＝AC＝EF，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．六．等边三角形的性质，中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故选：D．∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．（）∵C是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∴＝，即6∴＝，即6＝6，解得，∴AP＝2；PQDEPPF∥QC，∴△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，∴≌（，∴BD＝DF，而△APF是等边三角形，PE⊥AF，∵AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3为定值，即DE的长不变．PQDEQF⊥ABABFQE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，，∴∠APE＝∠BQF，，∴≌，∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴DE＝∴DE＝EF，∴DE＝AB，∵EB+AE＝BE∴DE＝AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．3（）6°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由条件得AP＝BQ，∴Q≌（SA，∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∴PB＝2BQ，得∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∴2∴2，得＝4，＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°此时，（）如图，MN之间的数量关系＝M此时，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB＝AM+BM，∴＝；∴AM：AB＝2：3，∴＝；猜想：结论仍然成立，证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴＝；∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；CNCM1＝BM∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．猜想：AP＝BP+PC，BPEPE＝PCCE，∵∠BPC＝120°，∴∠CPE＝60°，又PE＝PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BCA＝60°，∴∠ACB＝∠PCE，∴∠ACB+∠BCP＝∠PCE+∠BCP，即：∠ACP＝∠BCE，∴≌（SA，∴AP＝BE，∵BE＝BP+PE，∴AP＝BP+PC．ADPADB∵∠APD＝120°∴由（1）得PB′＝AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，AB′＝AD，∠BAC＝∠DAB′＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD＝∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′＝BD，∴PA+PD+PC＞BD．∴S△APC +S＝x•+ （﹣•（∴S△APC +S＝x•+ （﹣•（2a﹣x）＝x2﹣ax+a2，x＝﹣＝﹣＝a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；P理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°；理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°．七．等边三角形的判定a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．3（）∥，∴∠CDB＝∠ABD，又∵BD∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，∴AD＝DC；（2）△DEF为等边三角形，＝（已证，，∴点F是BD的中点，∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．4（）＝6＝7°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∴∠FBD＝∠ABC＝25∴∠FBD＝∠ABC＝25°，∵AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°．（2）证明：∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BD＝DC，AD⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．4（）＝，点D是C的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥BE，∴∠E＝90°＝∠ADB，∵AB平分∠DAE，在△ADB和△AEB中，，在△ADB和△AEB中，，∴B≌，∴AD＝AE；（2）△ABC是等边三角形．理由：∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，∴△ABC是等边三角形．（E垂直平分，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠5＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠5＝∠C；∵AD平分∠MAC，∴∠3＝∠4，∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠1＝∠2，∴BE垂直平分AD．（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：∵BE垂直平分AD，∴BA＝BD，又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，∴△AEG是等边三角形．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC∴AB＝AC．∵，在△ABP与△ACQ∵，∴≌（SA．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∴△APQ是等边三角形．∴BE＝AC，DE＝AC，1）∵＝C90°，点∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∴△BED是等腰三角形；（2）∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠EDA，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，∴∠DAB＝∠DEB，∠EAB+∠∴∠DAB＝∠DEB，∵△BED是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．故答案为：150．∴∠B＝×（180°﹣120°）＝30°，4（）∴∠B＝×（180°﹣120°）＝30°，∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°﹣30°＝90°；∴AD＝EC＝ED＝DC，（2）证明：∵∠∴AD＝EC＝ED＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．4（）＝6°，∴△COD是等边三角形；解：当＝15C15D是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°∴α＝140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．八．等边三角形的判定与性质PPF∥BCACF．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．，∵在△PFD和△QCD中，，∴D≌（，∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴AE+CD＝DE＝AC，∴∴AE+CD＝DE＝AC，∴DE＝．故答案为：．∵AC∴DE＝．故答案为：．EDBCMADBCN，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∵BE＝6cm，DE＝2cm，∴DM＝4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，