江西省九江市吴城中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

江西省九江市吴城中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x,y满足约束条件,则下列不等式恒成立的是A.

B.

C.

D.参考答案：C2.将函数y=sin（2x+）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为

（A）

（B）

（C）0

（D）

参考答案：B将函数y=sin（2x+）的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.3.已知数列{}是等比数列，且a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋＝

A．16（1－）B．16（1－）

C．（1－）D．（1－）参考答案：C略4.设向量a，b均为单位向量,且，则a与b的夹角为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C5.对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；

④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④参考答案：B【考点】正弦函数的定义域和值域．

【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个．③A=[0，1]为函数f（x）=|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2xln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．6.右图是计算函数的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，参考答案：B略7.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为

（

）

参考答案：C略8.已知集合，，则A∩B=（

）A.（-1,2） B.（1,2） C.（0,2） D.（－1,1）参考答案：C【分析】分别求出集合A和集合B，再求出集合A,B的交集。【详解】由题解得，，则，选C。【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。9.函数的零点个数为(

)

(A) (B)

(C)

(D)参考答案：B10.已知为直角坐标系原点，，的坐标均满足不等式组，则的最小值为A． B．

C．

D．1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是定义在R上以3为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是__________________________．参考答案：12.（选修4—5不等式选讲）若对于任意实数x不等式

恒成立，则实数的取值范围是：

；

参考答案：13.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①；②；③；④其中在区间上通道宽度可以为的函数有

(写出所有正确的序号).参考答案：①③④【知识点】单元综合B14函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[-1，1]，

满足-1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；

函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2-y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x-1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；

函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤＜1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．【思路点拨】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．14.设O、A、B、C是平面上四点，且，，则______________。参考答案：15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，且轴，则到直线明的距离为__________。参考答案：略16.若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出满足题意的椭圆个数，即可求出概率．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，a≠b，所以有两类，一类是a，b从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56一类是a从9，10，两个数字中选一个，b从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72，所以所求概率为，故答案为．17.给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为______．参考答案：2设，则由得，则表示点C到定点距离平方的最大值，由图象可知，当点C为时，最大，此时。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是与的交点，平面，是侧棱的中点，异面直线和所成角的大小是60.（Ⅰ）求证：直线SA∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案：解：（Ⅰ）连结，……1分四边形是正方形，是的中点，……2分又是侧棱的中点，//.………………4分又平面，平面，直线//平面.…………………5分（Ⅱ）建立如图空间坐标系，则……

……7分设平面的法向量，则有即

解得……………9分直线与平面所成角记为，则………12分略19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正死棱锥组合而成，，.（1）证明：平面平面；（2）当正四棱锥的高为1时，求二面角的余弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2).试题分析：(1)借助题设条件运用线面、面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的数量积公式求解.试题解析：（2）由（1）平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系，因为正四棱锥的高为1，，则，所以，，.设平面的一个法向量，则，即，取，则，，所以，即二面角的余弦值是.考点：直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围；(3)若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.参考答案：(1)

（2）

（3）见解析(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）因为，所以，

①又因为过点，所以，

②联立①②解得，故椭圆方程为.

………………4分(2)将代入并整理得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得.

………………8分(3)设直线的斜率分别为和，只要证明即可.设，，则.

………………10分所以所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形．

………………14分21.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中是棱的中点，.(1)

求证：;(2)

平面分此棱柱为两部分，求这两部分的体积比。参考答案：22.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）椭圆的焦点在x轴上，且a=，e=，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．（2）将y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x1+x2，x1x2；计算?得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．【解答】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分c=e?a=×=，故b===，…4分所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x