北京市高考数学试卷(理科)(解析版)

精选文档精选文档PAGE22精选文档绝密★启用前

2019年一般高等学校招生全国一致考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出切合题目要

求的一项。

1.已知复数z=2+i，则zz

A.3B.5C.3D.5【答案】D

【分析】

【剖析】

题先求得z，而后依据复数的乘法运算法例即得.

【详解】∵z2i,zz(2i)(2i)5应选D.

门诚锰讧觊鲛伛枨戇歡專濰蓥醬畝。【点睛】本简单题，着重了基础知识、基本计算能力的考察.

2.履行以下图的程序框图，输出的s值为

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

【剖析】

依据程序框图中的条件逐次运算即可.

212s2【详解】运转第一次，k=1，312，

运转第二次，

运转第三次，

2222k2s，322，2222sk3，322，结束循环，输出s=2，应选B.

【点睛】此题考察程序框图，属于简单题，着重基础知识、基本运算能力的考察.

鰲緯嬈聽阀种剎闫鐙閨墾龀绨歸煬。x13t,3.已知直线l的参数方程为y24t（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是1246A.5B.5C.5D.5【答案】D

【分析】

【剖析】

第一将参数方程化为直角坐标方程，而后利用点到直线距离公式求解距离即可.

【详解】直线l的一般方程为4x13y20,即4x3y20,点1,0到直线l的距离|402|6d325,应选D.42【点睛】此题考察直线参数方程与一般方程的转变,点到直线的距离,属于简单题,着重基础知识?基本运算

能力的考察.殇誆貢赔驿藓閉饨诣騍诅烃赉兌轎。

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

x2y21a2b212（a＞b＞0）的离心率为4.已知椭圆，则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【答案】B

【分析】

【剖析】

由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得知足题意的等式.

ec1,c2a2b2【详解】椭圆的离心率a2,化简得3a24b2,应选B.

【点睛】此题考察椭圆的标准方程与几何性质,属于简单题,着重基础知识?基本运算能力的考察.

5.若x，y知足|x|1y，且y≥-1，则3x+y的最大值为A.-7B.1C.5D.7【答案】C

【分析】

【剖析】

第一画出可行域，而后联合目标函数的几何意义确立其最值即可.

1y,【详解】由题意y1x1y作出可行域如图暗影部分所示.

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

设z3xy,yz3x,

当直线0经过点时,z取最大值5.应选C.

【点睛】此题是简单线性规划问题的基此题型,依据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大题,着重了基

础知识?基本技术的考察.

报貽閔鐸尘宮樹縵樣滤迟鉅宠刪横。m–m5lgE1212E26.在天文学中，天体的明暗程度能够用星等或亮度来描绘.两颗星的星等与亮度知足，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10–10.1

【答案】D

【分析】

【剖析】

lgE1E1E1先求出E2，而后将对数式换为指数式求E2，再求E2.mm5lgE1212E2,【详解】两颗星的星等与亮度知足令m21.45，m126.7，

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

1gE12mm2(1.4526.7)10.1E25215，E11010.1E21010.1E2E1，应选D.

【点睛】考察考生的数学应意图识、信息办理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.

7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABAC||BC|”的A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件【答案】C【分析】【剖析】

由题意联合向量的减法公式和向量的运算法例考察充分性和必需性能否成立刻可.

【详解】∵A?B?C三点不共线,∴

蔞轎閎苹筍鴆蕲鲶薮紗鑲衅櫝騶囂。|AB+AC|>|BC||AB+AC|>|AB-AC|

|AB+AC|2>|AB-AC|2AB?AC>0AB与AC

煉畴紉簽绍丧笼缚将骟赕蠑饌躉鳶。的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必需条件,应选C.

【点睛】此题考察充要条件的观点与判断?平面向量的模?夹角与数目积,同时考察了转变与化归数学思想.

脍赖迁羅骏钞碼泞廄餉犢蓠緱怿撟。8.数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是此中之一（如图）.给出以下三个结论：

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

①曲线C恰巧经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上随意一点到原点的距离都不超出③曲线C所围成的“心形”地区的面积小于此中，全部正确结论的序号是

籁镤銥闲蜡费髏騎桩艷攛獰烬缤紺。A.①B.②

【答案】C

【分析】

【剖析】

；

3.

C.①②D.①②③

将所给方程进行等价变形确立x的范围可得整点坐标和个数，联合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距

离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确立图形面积的范围.y|x|2,13x20,x24x2y21xyy2xy1x213x2【详解】由得,,2443,因此x可为的整数有0,-1,1,C:x2y21xy进而曲线恰巧经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.22x2y2x2y21xyxy12,解得x2y22C由得,,因此曲线上随意一点到原点的距离都不超出2.结论②正确.以下图,易知A0,1,B1,0,C1,1,,D0,1,S1111132SABCD,即“心形”区四边形ABCDABCD22,很明显“心形”地区的面积大于的面积域的面积大于3,说法③错误.

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

应选C.

【点睛】此题考察曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,着重基础知识?基本运算

胆鉬曄狯撓齟蝉铁誚曄搀餘鋇導黌。能力及剖析问题解决问题的能力考察,浸透“美育思想”.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

9.函数f(x)=sin22x的最小正周期是．

【答案】2.

粮齋氬龅搖蝈別茔鉴裝澠涇俩異稳。【分析】

【剖析】

将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，而后求解其最小正周期即可.

21cos4x2fxsin2x2【详解】函数,周期为【点睛】此题主要考察二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

10.设等差数列{a}的前n项和为S，若a=-3，S=-10，则a=，S的最小值为．nn255n【答案】(1).0.(2).-10.【分析】【剖析】第一确立公差,而后由通项公式可得a5的值，进一步研究数列中正项?负项的变化规律,获得和的最小值.

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

【详解】等差数列an中,S55a310,得a32,a23,公差da3a21,a5a32d0,由等差数列an的性质得n5时,an0,n6时,an大于0,因此Sn的最小值为S4或S5,即为10.【点睛】此题考察等差数列的通项公式?乞降公式?等差数列的性质,难度不大,着重重要知识?基础知识?基本运算能力的考察.

某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图以下图．假如网格纸上小正方形的边长为

1，那么该几何体的体积为．

绑黾潁俩讣畫团滠鞯鏤悦鼉氢掴嶸。【答案】40.

【分析】

【剖析】

画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.

【详解】在正方体中复原该几何体，以下图

1

几何体的体积V=43-2（2+4）×2×4=40

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

【点睛】易错点有二，一是不可以正确复原几何体；二是计算体积有误.为防止犯错，应着重多察看、仔细算.

12.已知l，m是平面外的两条不一样直线．给出以下三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以此中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【答案】假如l⊥α，m∥α，则l⊥m.【分析】【剖析】将所给论断，分别作为条件、结论加以剖析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，获得以下三个命题：（1）假如l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）假如l⊥α，l⊥m，则m∥α不.正确，有可能m在平面α内；（3）假如l⊥m，m∥α，则l⊥α不.正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】此题主要考察空间线面的地点关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

13.设函数f（x）=ex+ae-x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【答案】(1).-1;(2).,0.【分析】

【剖析】

第一由奇函数的定义获得对于a的恒等式，据此可得a的值，而后利用导函数的分析式可得a的取值范围.尝髏談觎滤钽总薊蠶丟濘獨侠铜岗。

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

fxexaexfxfx,exaexexaex【详解】若函数为奇函数,则，a1exex0x恒成立.对随意的xxxxfxeaef'x2xeae0恒成立,a,a0.若函数是R上的增函数,则e即实数a的取值范围是,0【点睛】此题考察函数的奇偶性?单一性?利用单一性确立参数的范围.解答过程中,需利用转变与化归思想,转变成恒成立问题.着重要点知识?基础知识?基本运算能力的考察.

14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价钱挨次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增添销量，李明对这四种水果进行促销：一次购置水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会获得支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购置草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单获得的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【答案】(1).130.(2).15.【分析】【剖析】（1）将购置的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再依据促销规则可的结果；（2）依据y＜120、y120分别研究.【详解】（1）x=10，顾客一次购置草莓和西瓜各一盒，

需要支付（60+80）-10=130元.

（2）设顾客一次购置水果的促销前总价为y元，y

＜120元时，李明获得的金额为y×80%，切合要求.y

元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，

鳞鞯馋妈时鹨瓚诽囪訐蓯裤屿览藥。yy

即8（y-x）≥7y，x≤8，即x≤（8）min=15元.

因此x的最大值为15.

【点睛】此题主要考察不等式的观点与性质、数学的应意图识、数学式子变形与运算求解能力，有必定难

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

度.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

1

15.在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=2．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

3

7鎣漲鳅畲药謁羨駱驮疟運拋綠譾囱。5

【答案】(Ⅰ)；

23(Ⅱ)7.【分析】【剖析】(Ⅰ)由题意列出对于a,b,c的方程组，求解方程组即可确立b,c的值；(Ⅱ)由题意联合正弦定理和两角和差正余弦公式可得sinBC的值.a2c2b21cosB2ac2a3bc2a3b7【详解】(Ⅰ)由题意可得：c5，解得：.sinB1cos2B32，(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：bcsinCcsinB53联合正弦定理sinBbsinC可得：14，cosC1sin2C11很明显角C为锐角，故14，sinBCsinBcosCcosBsinC23故7.

【点睛】此题主要考察余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考察学生的

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

转变能力和计算求解能力.

如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD

三办严跸會厌痨輥垒嘍茧谘癤澀飯。PF1的中点，点F在PC上，且PC3．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；PG2（Ⅲ）设点G在PB上，且PB3．判断直线AG能否在平面AEF内，说明原因．

【答案】(Ⅰ)看法析；

3

(Ⅱ)3；(Ⅲ)看法析.【分析】【剖析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判断定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)成立空间直角坐标系，联合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)第一求得点G的坐标，而后联合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线能否在平面内.【详解】(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判断定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴成立以下图的

空间直角坐标系Axyz，蠣墾兴絲孙赓岡鹨盗泾芈續来厭蚀。

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

易知：A0,0,0,P0,0,2,C2,2,0,D0,2,0，1F224PF3PC,,由可得点F的坐标为333，1PE2PDE0,1,1由可得，mx,y,z，则设平面AEF的法向量为：224224mAFx,y,z,,3xy3z03333mAEx,y,z0,1,1yz0，据此可得平面AEF的一个法向量为：m1,1,1，很明显平面AEP的一个法向量为n1,0,0，cosm,nmn13mn313，3二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为3.2G4,2,2(Ⅲ)易知P0,0,2,B2,1,0，由PG33PB可得，422

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

AG3,,则33，注意到平面AEF的一个法向量为：m1,1,1，

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

其mAG0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．最近几年来，挪动支付已成为主要支付方式之一．为认识

某校学生上个月A，B两种挪动支付方式的使用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B

两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额散布状况以下：

濁鳟曉瓚鯀据詡羋讵頃蘚鷚鳗齡锩。交（0,1000]（1000,2000]大于2000付金额（元）

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，预计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于

1000元的人数，求X的散布列和数学希望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发

鲢侪纹勛慘赕箫溆篋謨晋伛戗鸡纯。现他们本月的支付金额都大于2000元．依据抽查结果，可否定为样本仅使用A的学生中本月支付金额大

于2000元的人数有变化？说明原因．

鈹箋驛鐫卻锶誆浃鞯凭唤觊桡叁齔。2

【答案】(Ⅰ)5；

(Ⅱ)看法析；

(Ⅲ)看法析.

【分析】

【剖析】

(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得知足题意的概率值；

(Ⅱ)第一确立X可能的取值，而后求得相应的概率值可得散布列，最后求解数学希望即可.

(Ⅲ)由题意联合概率的定义给出结论即可.

【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540人，则：

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

p402该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率1005.(Ⅱ)由题意可知，

35，金额大于25，仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占1000的人数占25，金额大于35，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占1000的人数占且X可能的取值为0,1,2.326222326313pX2pX0pX15525，5525，5525，X的散布列为：X012pX6136252525

EX06113261其数学希望：252525.(Ⅲ)我们不以为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.原因以下：随机事件在一次随机实验中能否发生是随机的，是不可以预知的，跟着试验次数的增加，频次愈来愈稳固于

概率。

学校是一个相抵花费稳固的地方，每个学生依据自己的实质状况每个月的花费应当相对固定，出现题中这

种现象可能是发生了“小概率事件”.

【点睛】此题以支付方式有关检查来设置问题，考察概率统计在生活中的应用，考察概率的定义和散布列

的应用，使学生领会到数学与现实生活息息有关.

已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别韓內狲韙鳄续铝課紜癇怅恸儲态赂。

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ)x24y，y1；(Ⅱ)看法析.

【分析】

【剖析】

(Ⅰ)由题意联合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，联合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，进而确立圆的方程，最后令x=0

即可证得题中的结论.

諭档緋锱虬钸纺胇茕阒鎔殇蟈窃巹。2,1222p12，【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：p故抛物线方程为：x24y，其准线方程为：y1.(Ⅱ)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为0,1，设直线方程为ykx1，与抛物线方程x24y联立可得：x24kx40.故：x1x24k,x1x24.1x22x2kx1,kx2M,1,N2x4x,4ON设，则44，OMx44y1xy1A,1B,1直线OM的方程为4，与联立可得：x1，同理可得x2，22,122x1x2易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：x1x2，222xx22k2122k222x1x24x12x1且：x1x2x1x2，x1x2x1x2，x2y24k21则圆的方程为：2k1，令x0整理可得：y22y30，解得：y13,y21，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点0,3,0,1.【点睛】此题主要考察抛物线方程的求解与准线方程确实定，直线与抛物线的地点关系，圆的方程的求解

及其应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.饮伫阋荤鑿鋪鋒鉛购鋤鶯骯靨铴褳。

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

f(x)1x3x2x19.已知函数4.（Ⅰ）求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当x[2,4]时，求证：x6f(x)x；（Ⅲ）设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间[2,4]上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．【答案】（Ⅰ）xy0和27x27y640.（Ⅱ）看法析；（Ⅲ）a3.

【分析】

【剖析】

(Ⅰ)第一求解导函数，而后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确立切线方程；

(Ⅱ)由题意分别证得fxx60和fxx0即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意联合(Ⅱ)中的结论分类议论即可求得a的值.f(x)3x22x1f(x)3x22x11x8【详解】（Ⅰ）4，令4得x0或许3.当x0时，f(0)0，此时切线方程为yx，即xy0；x888yx643f( )272727x27y6403当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为xy0和27x27y640.g(x)f(x)x1x3x2g(x)3x22xg(x)3x22x0x8（Ⅱ）设4，4，令4得x0或许3，g(x)0，g(x)x(0,8)g(x)因此当x[2,0]时，为增函数；当3时，g(x)0，为减函数；当8x[,4]时，g(x)0，g(x)为增函数；3

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

而g(0)g(4)0，因此g(x)0，即f(x)x；h(x)f(x)x61x3x260，因此h(x)0，即f(x)x6，同理令4，可求其最小h(2)上可得x6f(x)x.（Ⅲ）由（Ⅱ）知6f(x)x0，因此M(a)是a,a6中的大者，若aa6，即a≤3，M(a)aa3；若aa6，即a3，M(a)a6a63；因此当M(a)最小，M(a)3，此3.【点睛】本主要考利用函数研究函数的切方程，利用函数明不等式的方法，分的数学

思想等知，意在考学生的化能力和算求解能力.

20.已知数列{a}，从中取第i、第i、⋯、第i(i<i<⋯<i)，若aiaiai，称新数n12m12m12m列ai，，ai，ai{a}的度m的增子列．定：数列{a}的随意一都是{a}的度1的增12mnnn子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个度4的增子列；（Ⅱ）已知数列{an}的度p的增子列的末的最小am0，度q的增子列的末的最小an0.若p<q，求：aman；0<0（Ⅲ）无数列{an}的各均正整数，且随意两均不相等.若{an}的度s的增子列末的最小2s–1，且度s末2s–1的增子列恰有2s-1个（s=1，2，⋯），求数列{an}的通公式．【答案】(Ⅰ)1,3,5,6.

(Ⅱ)分析；

(Ⅲ)分析.

【分析】

【剖析】

更多优良资料，微信小程序/民众号：“高中资料

侠”

(Ⅰ)由题意联合新定义的知识给出一个知足题意的递加子列即可；

(Ⅱ)利用数列的性质和递加子列的定义证明题