安徽省六安市舒城中学2015届高三数学上学期第一次统考试卷理含解析

PAGE2015学年安徽省六安市舒城中学高三（上）第一次统考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．iB．﹣iC．1D．﹣12．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．3．已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）A．∃x∈R，使sinx=x成立B．∀x∈R，sinx＜x均成立C．∃x∈R，使sinx≥x成立D．∀x∈R，sin≥x均成立4．函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．设a=dx，则二项式（ax﹣）8的展开式中x2项的系数是（）A．﹣1120B．1120C．﹣1792D．17926．双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．37．已知等比数列{an}，a2•a5•a8=，则数列{log2an}的前9项和等于（）A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．﹣108．已知点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为（）A．3B．C．D．9．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．已知集合M={y|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）=．12．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则sinC=．13．在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．14．设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为．15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx，⑤若直线l在点P（x0，f（x0））处“切过”曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则x0=﹣．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．17．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．已知矩形BCC1B1所在平面与平面ABB1N垂直，AN∥BB1，AB⊥BB1，且BB1=8，AN=AB=BC=4，（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．19．已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=++…+，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）．（1）试求数列{an}的通项；（2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]关于n的表达式．20．已知点A（﹣2，0）和圆0：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，=，直线PA与BE交于点C．（1）求点C的轨迹曲线E的方程；（2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值．21．设g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．（1）求函数f（x）的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|﹣1|＜a成立；（3）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1a2都有a1a2≤λ1a1+λ2a2．

2014-2015学年安徽省六安市舒城中学高三（上）第一次统考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．iB．﹣iC．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z===﹣i+2，则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．3．已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）A．∃x∈R，使sinx=x成立B．∀x∈R，sinx＜x均成立C．∃x∈R，使sinx≥x成立D．∀x∈R，sin≥x均成立考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．解答：解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即￢p：．故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期，进一步判断函数的奇偶性．解答：解：函数y=cos2（x﹣）﹣cos2（x+）===sin2x∴y=sin2x的最小正周期为：T=f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x（x∈R）函数为奇函数故选：A点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，奇偶性的判断5．设a=dx，则二项式（ax﹣）8的展开式中x2项的系数是（）A．﹣1120B．1120C．﹣1792D．1792考点：二项式定理的应用；定积分．专题：二项式定理．分析：先求定积分得到a=2，再求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2项的系数．解答：解：∵a=dx=lnx=1﹣（﹣1）=2，则二项式（ax﹣）8的展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•，令8﹣=2，求得r=4，可得展开式中x2项的系数•24=1120，故选：B．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．3考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用圆心（0，2）到双曲线﹣=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切，设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，则d===1，∴双曲线离心率e==2．故选C．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题．7．已知等比数列{an}，a2•a5•a8=，则数列{log2an}的前9项和等于（）A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．﹣10考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质，求出a5=，再求出数列{log2an}的前9项和．解答：解：∵数列{an}是等比数列，∴a2•a8=a52，又a2•a5•a8=，∴a5=．∴数列{log2an}的前9项和等于log2a1•a2•…•a9=log2a59=﹣9．故选：A．点评：本题考查了等比数列的性质与前n项和，考查对数运算，是基础题．8．已知点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为（）A．3B．C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，然后由的几何意义得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点到定点（﹣1，0）的距离．由图可知，的最小值为（﹣1，0）到直线x+y=2的距离．等于．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面的基本性质及推论．分析：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，得到结论．解答：解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，故①不正确，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，故③正确，综上可知三个命题正确，故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系．10．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．已知集合M={y|y=}，N={x|y=log2（2﹣x）}，则∁R（M∩N）=（﹣∞，0）∪[2，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，求出M与N交集的补集即可．解答：解：由M中y=≥0，即M=[0，+∞），由N中y=log2（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴N=（﹣∞，2），∴M∩N=[0，2），则∁R（M∩N）=（﹣∞，0）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪[2，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则sinC=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意，由已知得a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理求出cosC，即可求出sinC．解答：解：在△ABC中，∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴a2+b2﹣c2=﹣ab；又由余弦定理得，cosC===﹣，∴sinC===．故答案为：．点评：本题考查了解三角形的有关知识，解题时应灵活应用余弦定理解答问题，是基础题．13．在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．14．设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（﹣1，1）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）是一个对称轴为x=1抛物线，然后把x轴下方的图形关于x轴翻折上去，设这个图形与x轴交点分别为x1，x2，那么必然有﹣1＜a＜x1＜b＜3，可求出b﹣a的范围，而ab﹣a﹣b=ab﹣=，即可求出所求．解答：解：f（x）=|x2﹣2x﹣1|=|（x﹣1）2﹣2|，如图示：，设这个图形与x轴交点分别为x1，x2（x1＜x2），那么在x1＜x＜x2，f（x）有最大值，在x=1时取得，f（1）=2，解方程f（x）=|x2﹣2x﹣1|=2，可以算出x=3或者﹣1，那么必然有﹣1＜a＜x1＜b＜3，若1＜a＜b，且f（a）=f（b），此时a2﹣2a﹣1＜0，b2﹣2b﹣1＞0，那么有a2﹣2a﹣1=﹣（b2﹣2b﹣1）解得：a+b=，ab﹣a﹣b=ab﹣=，判断b﹣a的取值范围，显然，0＜b﹣a＜（﹣1）﹣（﹣3）=2，那么：0＜（b﹣a）2＜4，于是：﹣1＜＜1，即：﹣1＜ab﹣a﹣b＜1．故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题．15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx，⑤若直线l在点P（x0，f（x0））处“切过”曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则x0=﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：新定义；导数的概念及应用．分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则可判断①③正确；②④错，而⑤，求出f（x）的导数，说明切线的斜率存在，由曲线C在P附近位于直线l的两侧，则曲线C关于点P对称，运用f（x）满足f（m+x）+f（m﹣x）=2n，则f（x）关于点（m，n）对称，求出m即可判断正确．解答：解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故命题②错误；对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故命题③正确；对于④，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题④错误；对于⑤，f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），得f′（x）=3ax2+2bx+c，则切线的斜率为f′（x0）=3ax02+2bx0+c存在，又曲线C在P附近位于直线l的两侧，则曲线C关于点P对称，设对称点为（m，n），则f（m+x）+f（m﹣x）=2n，化简得（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d﹣n=0，上式对x∈R恒成立，则3ma+b=0，即m=﹣，则有x0=﹣，故命题⑤正确．故答案为：①③⑤点评：本题考查新定义的理解和运用，考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间和极值、最值，同时考查三次函数的对称中心，该题是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．17．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图所给的数据能求出a．（2）先由频率直方图的数据求出50个样本小球重量的平均值，由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值．（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2，且ξ～B（3，）．ξ的取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分）解得a=0.03．…（2分）（2）50个样本小球重量的平均值为=24.6（克）．…（3分）由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．…（4分）（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2，则ξ～B（3，）．…（5分）ξ的取值为0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=（）（）2=，P（ξ=2）=（）2（）=，P（ξ=3）=（）3=．…（10分）∴ξ的分布列为：ξ0123P…（11分）∴Eξ==．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．18．已知矩形BCC1B1所在平面与平面ABB1N垂直，AN∥BB1，AB⊥BB1，且BB1=8，AN=AB=BC=4，（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出•=0，=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；（2）求出平面NCB1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线C1N与平面CNB1所成的角（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知•=0，利用向量数量积为0求出a的值，并求出的值．解答：（1）证明：∵BA，BC，BB1两两垂直．…（2分）以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）∵•=（4，4，0）•（﹣4，4，0）=﹣16+16=0=（4，4，0）•（0，0，4）=0∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；…（4分）（2）解：设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则，取=（1，1，2），∵=（4，﹣4，﹣4），∴sinθ=；…（8分）（3）解：∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣2，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴•=0∴（﹣2，0，a）•（1，1，2）=0，∴a=1．又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=1时，MP∥平面CNB1∴=…（12分）点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．19．已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=++…+，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）．（1）试求数列{an}的通项；（2）求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]关于n的表达式．考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用裂项法求和，结合S2=，S3=，即可求数列{an}的通项；（2）先化简，再利用错位相减法，即可得出结论．解答：解：（1）Sn=++…+=（﹣），∵S2=，S3=，∴（﹣）=，（﹣）=，∴a1=1，d=1，∴an=n；（2）T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2﹣1）]+[log2（2）]=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）]∵[log21]=0，[log22]=[log23]=1，…[log22m]=[log2（m+1）]=…=[log2（m+1﹣1）]=m．∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（2n﹣1）]+[log2（2n）]=0+1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n，由S=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1，则2S=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n，∴﹣S=1×2+1×22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n=﹣（n﹣1）•2n，∴S=（2﹣n）•2n﹣2∴T=（2﹣n）•2n﹣2+n．点评：本题考查数列的应用，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知点A（﹣2，0）和圆0：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆0上的动点，PD⊥AB，交AB于D，=，直线PA与BE交于点C．（1）求点C的轨迹曲线E的方程；（2）若点Q、R是曲线E上不同的点，且PQ、PR与曲线E相切，求△OQR面积的最小值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由已知得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，y0），由直线PA与BE交于C，故x≠±2，，①且，②，①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程．（2）设Q（x1，y1），R（x2，y2），设直线QR的方程为y=kx+m，直线QR的方程为，由y=kx+m与椭圆联立，得（4k2+3）x2﹣8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式结合已知条件能求出△OQR面积的最小值．解答：解：（1）∵点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，∴B（2，0），∵从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，∴M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，y0），直线PA与BE交于C，故x≠±2，，①且，②①②相乘得点C的轨迹曲线E的方程为．…（5分）（2）设Q（x1，y1），R（x2，y2），又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为y=kx+m，则PQ、PR的方程分别为，所以直线QR的方程为，比较系数，得k=﹣，m=，即y0=，x0=﹣y0=，∴4m2=16k2+9，③…（7分）另一方面，由y=kx+m与椭圆联立，得（4k2+3）x2﹣8kmx+4m2﹣12=0，于是得x1+x2=，④，x1x2=，⑤…（9分）因为O到QR的距离为d=，所以△OQR的面积：S=|QR|d=|