上海市上南中学2022高三数学理上学期期末试卷含解析

上海市上南中学2022高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面向量，则向量的模是（）A. B. C.2 D.5参考答案：C因为向量，，，，故选C.2.已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，a12=

（

）

A．-3

B．3

C．6

D．0参考答案：答案：D3.当θ是第四象限时,两直线和的位置关系是

（

）

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．重合参考答案：B4.已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B． C． D．参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：D．5.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是()A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，4)

D．(4，＋∞)参考答案：C6.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A． B． C． D．4参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．【点评】本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长．7.已知集合，，则为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（

）A．（0，4]

B．

C．

D．参考答案：C二次函数对称轴为，所以定义域[0，m]包含，所以，，结合二次函数对称性可知，所以m的取值范围是，故选C考点：二次函数单调性与最值9.已知，则（A）1 （B）2 （C）-1 （D）-3参考答案：A

由题意知，所以，选A.10.已知函数在上有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点.则下列命题：①直线A1G与平面AEF平行；②直线D1D与直线AF垂直；③平面AEF截正方体所得的截面面积为；④点C与点G到平面AEF的距离相等；⑤平面AEF截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为___

____．参考答案：③⑤12.的展开式的常数项为

．参考答案：1513.如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P.若PA=4，PC=5，则CBD=__________.参考答案：略14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则m＝

.参考答案：15.已知实数x，y均大于零，且x+2y=4，则log2x+log2y的最大值为．参考答案：1考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解答：解：∵实数x，y＞0，且x+2y=4，∴4≥2，化为xy≤2，当且仅当x=2y=2时取等号．则log2x+log2y=log2（xy）≤log22=1．因此log2x+log2y的最大值是1．故答案为：1．点评：本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．16.已知是虚数单位，若，则的值为

。参考答案：-317.若则5

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为﹣4；（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C﹣）﹣2=0，∴sin（2C﹣）=1，∵C∈（0，π），∴2C﹣∈（﹣，），∴2C﹣=，即C=，将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，把c=代入得：a=1，b=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．（1）求k的值，并求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?参考答案：（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以．（2）由．当且仅当，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元20.已知函数(I)当时，求的解集；(II)若不等式的解集包含，求a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当a=1时，不等式即f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为

…………5分（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），即3x≤x﹣a≤﹣3x，求得x≤﹣，且x≤．当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．

…………10分法二：不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），即3x≤x﹣a≤﹣3x即在上恒成立所以有即…………10分21.如果P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R都成立，q：关于x的方程4x2+4（a﹣2）x+1=0无实数根，且P与q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当命题p，q是真命题时，分别求得a的范围，可得这2个命题中只有一个是真命题时，实数a的取值范围【解答】解：若命题p为真，则△=（2a）2﹣16＜0?﹣2＜a＜2．若命题q为真，△=[4（a﹣2）]2﹣16＜0，?1＜a＜3．当p为真q为假时：?﹣2＜a＜2且a≤1或a≥3?﹣2＜a≤1当p为假q为真时：?﹣a≤﹣2或a≥2且1＜a＜3?2≤a＜3综上：实数a的取值范围为：?﹣2＜a≤1或2≤a＜3【点评】本题主要考查了命题的真假的判断和应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．22.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知是圆柱底面圆的直径，底面半径，圆柱的表面积为；点在底面圆上，且直线与下底面所成的角的大小为.（1）【理科】求点到平面的距离；（2）【理科】求二面角的大小（结果用反三角函数值表